2025高考数学一轮复习-8.5-椭　圆-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-8.5-椭　圆-专项训练【含答案】，共9页。
1.与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点,且满足短半轴长为25的椭圆的标准方程是( )
A.x225+y220=1 B.x220+y225=1
C.x220+y245=1 D.x280+y285=1
2. 椭圆x2a2+y2=1(a>1)的离心率为12,则a等于( )
A.233 B.2
C.3 D.2
3.一名木匠准备制作一张椭圆形的餐桌台面,如图,他先将一根细绳(无弹性)的两端固定在钉子上,然后用笔撑直绳子,转圈画出的图形就是一个椭圆.如果图中的两个钉子之间的距离为0.9 m,细绳长为1.5 m,将绳子与钉子固定所用的绳长忽略不计,则过该椭圆的中心的弦中,最短弦长为( )
A.0.6 m B.1.2 m C.0.8 m D.1.6 m
4.已知点A(m,n)在椭圆x24+y22=1上,则2m2+n2的最大值是( )
A.6B.8C.3D.2
5.设F1,F2为椭圆C:x25+y2=1的两个焦点,点P在C上,若PF1→·PF2→=0,则|PF1|·|PF2|等于( )
A.1B.2C.4D.5
6.已知椭圆的中心在原点,焦点在y轴上,离心率为12,请写出一个符合上述条件的椭圆的标准方程 .
7.已知椭圆x29+y25=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,|PF1|-|PF2|= .
8.已知F1,F2为椭圆C:x216+y24=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为 .
9.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点分别为F1,F2,且F2(7,0),上顶点为(0,2).
(1)求椭圆的标准方程;
(2)点P在椭圆上,若|PF1|=4,求∠F1PF2的大小.
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
10.(多选题)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点在圆x2+y2-5x-4y+4=0上,则该椭圆的离心率的可能取值有( )
A.12 B.14 C.255 D.55
11.(多选题)已知椭圆C:x2m+y21-m=1的焦点在x轴上,且F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,P为椭圆C上一点,则下列结论正确的是( )
A.120),焦点F1(-c,0),F2(c,0),左顶点为A,点E的坐标为(0,c),A到直线EF2的距离为62b.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若P为椭圆C上的一点,∠F1PF2=60°,△PF1F2的面积为3,求椭圆C的标准方程.
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【C级 应用创新练】
14.已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原点.
(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;
(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.
参考答案
【A级 基础巩固】
1.解析:由9x2+4y2=36,可得x24+y29=1,
所以所求椭圆的焦点在y轴上,且c2=9-4=5,
由题意得b=25,所以a2=b2+c2=25,
所以所求椭圆方程为x220+y225=1.故选B.
2. 解析:ca=a2-1a=12,所以a=233.故选A.
3.解析:根据题意,结合椭圆定义得,椭圆的长轴长为2a=1.5,焦距为2c=0.9,
所以a=34,c=920,
所以椭圆的短半轴长为b=a2-c2=(34) 2-(920) 2=144400=35=0.6,
因为过椭圆中心的弦中,最短的弦为椭圆的短轴,即2b=1.2,所以过该椭圆的中心的弦中,最短弦长为2b=1.2 m.故选B.
4.解析:由题意可得m24+n22=1,则m2=4-2n2,
故2m2+n2=8-3n2.
因为-2≤n≤2,所以0≤n2≤2,
所以2≤8-3n2≤8,即2≤2m2+n2≤8.
因此,2m2+n2的最大值为8.故选B.
5.解析:因为PF1→·PF2→=0,所以∠F1PF2=90°,
由椭圆方程可知,c2=5-1=4⇒c=2,
所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=42=16,
又|PF1|+|PF2|=2a=25,
平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=16+2|PF1|·|PF2|=20,
所以|PF1|·|PF2|=2.
故选B.
6.解析:由于椭圆的中心在原点,焦点在y轴上,
所以设椭圆的方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0),由于离心率为12,所以c2a2=14,
满足条件的椭圆方程为y24+x23=1(答案不唯一).
答案:y24+x23=1(答案不唯一)
7.解析:因为线段PF1的中点在y轴上,所以PF2⊥x轴,即∠PF2F1=π2,
所以|PF2|=b2a=53,所以|PF1|=2a-|PF2|=6-53=133,所以|PF1|-|PF2|=83.
答案:83
8.解析:法一 由椭圆C:x216+y24=1可知|F1F2|=43.由P,Q为C上关于
坐标原点对称的两个点,且|PQ|=|F1F2|,得|PO|=|QO|=23(O为坐标原点),所以P,Q既在椭圆x216+y24=1上,又在圆x2+y2=12上.不妨设点P在第一象限,则由x216+y24=1,x2+y2=12,可得P(463,233),所以由对称性,
可得四边形PF1QF2的面积S四边形PF1QF2=2S△PF1F2=2×12|F1F2|·yP=2×12×43×233=8.
法二 由椭圆方程知,a=4,b=2,则c=a2-b2=23.由点P在椭圆上,得|PF1|+|PF2|=8,
所以|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=64.①
由椭圆的对称性及|PQ|=|F1F2|知,
四边形PF1QF2是矩形,在Rt△PF1F2中,
由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
所以|PF1|2+|PF2|2=48.②
由①-②得|PF1|·|PF2|=8,
所以S四边形PF1QF2=|PF1|·|PF2|=8.
答案:8
9.解:(1)由已知得c=7,b=2,
又a2=b2+c2,所以a2=9,
所以椭圆的标准方程为x29+y22=1.
(2)点P在椭圆上,则|PF1|+|PF2|=2a=6,
|PF1|=4,所以|PF2|=2.
所以cs∠F1PF2=16+4-282×4×2=-12,
所以∠F1PF2=120°.
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10.解析:(x-52)2+(y-2)2=254,圆与x轴的交点坐标为(1,0),(4,0),与y轴的交点为(0,2),而椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点在x轴,
若焦点是(1,0),右顶点是(4,0),此时a=4,c=1,离心率e=14,
若焦点是(1,0),上顶点是(0,2),此时b=2,c=1,那么a=5,离心率e=55,
若焦点是(4,0),上顶点是(0,2),此时b=2,c=4,那么a=25,离心率e=255.
故选BCD.
11.解析:椭圆C:x2m+y21-m=1的焦点在x轴上,故m>1-m>0,解得12