2025高考数学一轮复习-8.7-抛物线-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-8.7-抛物线-专项训练【含答案】，共10页。
1.设抛物线y=112x2上一点P到x轴的距离是1,则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A.3 B.4 C.7 D.13
2.下列四个抛物线中,开口朝下且焦点到准线的距离为5的是( )
A.y2=-10x B.x2=-10y
C.y2=-5x D.x2=-5y
3.抛物线W:y2=4x的焦点为F,对于W上一点P,若P到直线x=5的距离是P到点F距离的2倍,则点P的横坐标为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.抛物线x2=4y上的点到其焦点的最短距离为( )
A.4 B.2 C.1 D.12
5.若抛物线y2=4x的准线为l,P是抛物线上任意一点,则P到准线l的距离与P到直线3x+4y+7=0的距离之和的最小值是( )
A.2 B.135 C.145 D.3
6.已知点A(1,5)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为 .
7.如图是抛物线形拱桥,当水面为l时,拱顶离水面2 m,水面宽4米,则水位下降1 m后,水面宽 m.
8.已知O为坐标原点,垂直于抛物线C:y2=2px(p>0)的轴的直线与抛物线C交于A,B两点,OA→·OB→=0,则|AB|=4,则p= .
9.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程;
(2)若过M作MN⊥FA,垂足为N,求点N的坐标.
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10.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线,交抛物线于A,B两点,
若|FA|=3|FB|,则直线的倾斜角等于( )
A.30°或150° B.45°或135°
C.60°或120° D.与p值有关
11.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,过F且被C截得的弦长为4的直线有且仅有两条,写出一个满足条件的抛物线C的方程: ,此时该弦的中点到x轴的距离为 .
12.已知抛物线C:y2=2px(p>0)经过点P(6,y0),F为抛物线的焦点,
且|PF|=10.
(1)求y0的值;
(2)点Q为抛物线C上一动点,点M为线段FQ的中点,试求点M的轨迹方程.
13.已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为32的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;
(2)若AP→=3PB→,求|AB|.
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【C级 应用创新练】
14.如图,一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分,杯口宽42 cm,
杯深8 cm,称为抛物线酒杯.
(1)在杯口放一个表面积为36π cm2的玻璃球,则球面上的点到杯底的最小距离为 cm;
(2)在杯内放入一个小的玻璃球,要使球触及酒杯底部,则玻璃球的半径的取值范围为 (单位:cm).
参考答案
【A级 基础巩固】
1.解析:因为x2=12y,则准线方程为y=-3,依题意,点P到该抛物线焦点的距离等于点P到其准线y=-3的距离,即3+1=4.故选B.
2.解析:四个抛物线中,只有抛物线x2=-10y与x2=-5y的开口朝下,又p=5,所以x2=-10y符合题意.故选B.
3.解析:由题意,得F(1,0),准线方程为x=-1,设点P的横坐标为a,a≥0,
由抛物线的定义可知|PF|=|a-(-1)|=|a+1|,则|a-5|=2|a+1|,解得a=1或-7(舍去),从而点P的横坐标为1.故选A.
4.解析:由已知焦点为(0,1),故抛物线上的点(x,y)到焦点的距离d=x2+(y-1)2=y2+2y+1=(y+1)2=y+1≥1.故选C.
5.解析:由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离,联立抛物线y2=4x及直线方程3x+4y+7=0,可得3y2+16y+28=0,Δ0),则点(2,-2)在抛物线上,代入可得p=1,
所以x2=-2y.当y=-3时,x2=6,
所以水面宽为26 m.
答案:26
8.解析:因为OA→·OB→=0,
所以|OA→|·|OB→|cs∠AOB=0,
所以∠AOB=90°,
因为|AB|=4,且AB⊥x轴,所以由抛物线的对称性知△AOB为等腰直角三角形,
设AB与x轴的交点为D,
所以AD=BD=OD=2,若点A在第一象限,
则A(2,2),
所以将A(2,2)代入y2=2px得4=4p,解得p=1.
答案:1
9.解:(1)抛物线y2=2px的准线为x=-p2,
由题意可得4+p2=5,所以p=2.
所以抛物线方程为y2=4x.
(2)由(1)知点A的坐标是(4,4),
由题意得B(0,4),M(0,2).又因为F(1,0),
所以kFA=43,且FA的方程为y=43(x-1),①
因为MN⊥FA,所以kMN=-34,且MN的方程为y-2=-34x,②
联立①②,解得x=85,y=45,
所以N的坐标为(85,45).
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10.解析:设点A位于第一象限,如图,l是抛物线的准线,作AM⊥l,BN⊥l,M,N为垂足,设|FB|=m,则|FA|=3m,由抛物线定义知|AM|=3m,|BN|=m,过B作BC⊥AM,垂足为C,则易得|CM|=|BN|=m,所以|AC|=2m.在Rt△ABC中,cs∠CAB=|AC||AB|=2m4m=12,∠CAB=60°,此时直线AB的倾斜角为60°,由对称性,直线AB的倾斜角也可为120°.故选C.
11.解析:易知过焦点的弦中,通径最短,所以2p