2025高考数学一轮复习-10.4-随机事件、频率与概率-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-10.4-随机事件、频率与概率-专项训练【含答案】，共11页。
1.从6个篮球、2个排球中任选3个球,则下列事件中,是必然事件的是( )
A.3个都是篮球B.至少有1个是排球
C.3个都是排球D.至少有1个是篮球
2.先后抛掷两枚质地均匀的硬币,观察它们落地时朝上的面的情况,该试验的样本空间中样本点的个数为( )
A.1B.2C.4D.8
3.某饮料生产企业推出了一种有一定概率中奖的新饮料.甲、乙两名学生都购买了这种饮料,设事件A为“甲、乙都中奖”,则与A互为对立事件的是( )
A.甲、乙恰有一人中奖
B.甲、乙都没中奖
C.甲、乙至少有一人中奖
D.甲、乙至多有一人中奖
4.用2,3,4这3个数组成没有重复数字的三位数,则事件“这个三位数是偶数”与事件“这个三位数大于342”( )
A.是互斥但不对立事件 B.不是互斥事件
C.是对立事件 D.是不可能事件
5.随机掷两枚骰子,记“向上的点数之和是偶数”为事件A,记“向上的点数之差为奇数”为事件B,则( )
A.A∩B≠ B.A⊆B
C.A,B互斥但不对立 D.A,B互为对立事件
6.打靶3次,设事件Ai=“击中i发”,其中i=0,1,2,3.那么A=A1∪A2∪A3表示的事件为 .
7.某射击运动员平时100次训练成绩的统计结果如表:
如果这名运动员只射击一次,估计射击成绩是6环的概率为 ,不少于9环的概率为 .
8.袋子中有六个大小质地相同的小球,编号分别为1,2,3,4,5,6,从中随机摸出两个球,设事件A为“摸出的小球编号都为奇数”,事件B为“摸出的小球编号之和为偶数”,事件C为“摸出的小球编号恰好只有一个奇数”,则下列说法正确的是 .
(填序号)
①A与B是互斥但不对立事件;
②B与C是对立事件;
③A与C是互斥但不对立事件.
9.如图,用A,B,C三个元件分别连接两个系统N1,N2,当元件A,B,C都正常工作时系统N1正常工作,当元件A,B,C至少有一个正常工作时系统N2正常工作,观察三个元件正常或失效的
情况.
(1)写出试验的样本空间;
(2)用集合表示下列事件:E=“系统N1正常工作”;F=“系统N2失效”.
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10.(多选题)小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了30次,每次朝上的点数都是2,则下列说法正确的是( )
A.朝上的点数是2的概率和频率均为1
B.若抛掷30 000次,则朝上的点数是2的频率约为0.17
C.抛掷第31次,朝上的点数一定不是2
D.抛掷6 000次,朝上的点数为2的次数大约为1 000
11.(多选题)一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件,给出以下四个事件:
事件A:恰有一件次品;
事件B:至少有两件次品;
事件C:至少有一件次品;
事件D:至多有一件次品.
下列选项正确的是( AB )
A.A∪B=C
B.B∪D是必然事件
C.A∩B=C
D.A∩D=C
12.用木块制作的一个四面体,四个面上分别标记1,2,3,4,重复抛掷这个四面体200次,记录每个面落在地上的次数(如表).下列四个说法中正确的是 .(填序号)
①该四面体一定不是均匀的;
②再抛掷一次,估计标记2的面落地的概率为0.72;
③再抛掷一次,标记4的面落地;
④再抛掷一次,估计标记3的面落地的概率为0.2.
13.某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如表:
甲分厂产品等级的频数分布表
乙分厂产品等级的频数分布表
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率;
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务?
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14.某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25 ℃,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20 ℃,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得到下面的频数分布表:
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.
参考答案
【A级 基础巩固】
1.解析:A,B是随机事件,C是不可能事件,D是必然事件.故选D.
2.解析:抛掷两枚质地均匀的硬币,且有先后顺序,则此试验的样本空间为{(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面)}.故选C.
3.解析:甲、乙两名学生都购买这种饮料,则样本空间Ω={(甲中,乙中),(甲中,乙不中),(甲不中,乙中),(甲不中,乙不中)},由对立事件的定义可知,若A=“甲、乙都中奖”,则A=“甲、乙至多有一人中奖”,即D选项正确.故选D.
4.解析:将2,3,4组成一个没有重复数字的三位数的情况有234,243,324,342,423,432,其中偶数有234,324,342,432,大于342的有423,432,所以两个事件不是互斥事件,也不是对立事件.故选B.
5.解析:两枚骰子的点数情况包括都是奇数,都是偶数和一个为奇数,另一个为偶数,事件A包含了前两种情况,事件B就是第三种情况,故事件A与事件B互为对立事件.故选D.
6.解析:A=A1∪A2∪A3所表示的含义是A1,A2,A3这三个事件中至少有一个发生,则可能击中1发、2发或3发,即至少击中1发.
答案:至少击中1发
7.解析:由题表得,如果这名运动员只射击一次,估计射击成绩是6环的概率为10100=110,不少于9环的概率为12+8100=15.
答案:110 15
8.解析:样本空间Ω中样本点有15个,
用(x,y)表示可能的结果,x表示一个小球的编号,y表示另一个小球的编号,
则A={(1,3),(1,5),(3,5)},
B={(2,4),(2,6),(4,6),(1,3),(1,5),(3,5)},
C={(1,2),(1,4),(1,6),(3,2),(3,4),(3,6),(5,2),(5,4),(5,6)},
①A⊆B,A与B不是互斥事件,①错误;
②B∩C=,B∪C=Ω,所以B与C是对立事件,②正确;
③A∩C=,A∪C≠Ω,所以A与C是互斥但不对立事件,③正确.
答案:②③
9.解:用x1,x2,x3分别表示元件A,B,C的工作状态,系统工作状态可用(x1,x2,x3)表示,“0”表示“失效”状态,“1”表示“正常工作”
状态.
(1)试验的样本空间为{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),
(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}.
(2)E=“系统N1正常工作”={(1,1,1)};
F=“系统N2失效”={(0,0,0)}.
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10.解析:由题意知朝上的点数是2的频率为3030=1,概率为16,故A错误;当抛掷次数很多时,朝上的点数是2的频率在16≈0.17附近摆动,故B正确;抛掷第31次,朝上的点数可能是2,也可能不是2,故C错误;每次抛掷朝上的点数是2的概率为16,所以抛掷6 000次,朝上的点数为2的次数大约为6 000×16=1 000(理论和实际会有一定的出入),故D正确.故选BD.
11.解析:对于A选项,事件A∪B表示至少有一件次品,即事件C,故A选项正确;
对于B选项,事件B∪D表示至少有两件次品或至多有一件次品,次品件数包含0到5,即代表了所有情况,故B选项正确;对于C选项,事件A和B不可能同时发生,即事件A∩B=,故C选项错误;对于D选项,事件A∩D表示恰有一件次品,即事件A,而事件A和C不同,故D选项错误.故选AB.
12.解析:①就算该四面体是均匀的,理论上每个面落地的次数仍旧可能不一样(条件没有说均匀的正四面体),在均匀正四面体的条件下,随着试验次数的增多,每个面落地的次数将会变得越来越接近,换句话说,即使是均匀的正四面体,仅仅在200次试验下,得到落地的面的统计结果也可能不一样,故①错误;对于②③④,由于这200次试验2,3,4落在地面的频率分别为36200,42200,78200,即0.18,0.21,0.39,②中所估计的概率0.72和频率0.18差别过大,③认为再抛掷一次的话,标记4的面必定落地,是必然事件,概率为1,但频率只有0.39,因此不能认为必然发生,故②③错误;④中估计标记3的面落地的概率是0.2,和试验频率0.21非常接近,故④正确.
答案:④
13.解:(1)由试加工产品等级的频数分布表知,
甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为40100=0.4;
乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为28100=0.28.
(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为
65×40+25×20-5×20-75×20100=15(元).
由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为
70×28+30×17+0×34-70×21100=10(元).
比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润,厂家应选甲分厂承接加工业务.
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14.解:(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25 ℃,由题表数据可知,最高气温低于25 ℃的频率为2+16+3690=0.6.
所以六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,
若最高气温低于20 ℃,则Y=200×6+(450-200)×2-450×4=-100;
若最高气温位于区间[20,25),则Y=300×6+(450-300)×2-450×4=300;
若最高气温不低于25 ℃,则Y=450×(6-4)=900,
所以利润Y的所有可能取值为-100,300,900.
Y大于零,当且仅当最高气温不低于20 ℃,
由表格数据知,最高气温不低于20的频率为36+25+7+490=0.8.
因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
命中环数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
频数
2
4
5
6
9
10
18
26
12
8
四面体的面
1
2
3
4
频数
44
36
42
78
等级
A
B
C
D
频数
40
20
20
20
等级
A
B
C
D
频数
28
17
34
21
最高
气温
[10,
15)
[15,
20)
[20,
25)
[25,
30)
[30,
35)
[35,
40]
天数
2
16
36
25
7
4
利润
65
25
-5
-75
频数
40
20
20
20
利润
70
30
0
-70
频数
28
17
34
21