2025高考数学一轮复习-10.5-古典概型、概率的基本性质-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-10.5-古典概型、概率的基本性质-专项训练【含答案】，共12页。
1.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )
A.110 B.15
C.310 D.25
2.在一个不透明的容器中有6个小球,其中有4个黄球、2个红球,它们除颜色外完全相同,如果一次随机取出2个球,那么至少有1个红球的概率为( )
A.25 B.35
C.715 D.815
3.在一次随机试验中,事件A1,A2,A3发生的概率分别是0.2,0.3,0.5,则下列说法正确的是( )
A.A1∪A2与A3是互斥事件,也是对立事件
B.(A1∪A2)∪A3是必然事件
C.P(A2∪A3)=0.8
D.P(A1∪A2)≤0.5
4.甲、乙、丙三人玩传球游戏,每个人都等可能地把球传给另一人,由甲开始传球,作为第一次传球,经过3次传球后,球回到甲手中的概率为( )
A.18 B.516
C.14 D.12
5.从正六边形的6个顶点中任取3个构成三角形,则所得三角形是直角三角形的概率为( )
A.310 B.12
C.35 D.910
6.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率为 .
7.已知A,B为两个事件,P(A)=12,P(B)=34,写出P(AB)的一个可能的值为 .
8.一个盒子里装有除颜色外完全相同的6个小球,其中有编号分别为1,2,3,4的红球4个,编号分别为4,5的白球2个,从盒子中任取3个小球(假设取到任何一个小球的可能性相同).则在取出的3个小球中,小球编号最大值为4的概率是 .
9.某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位:毫米)有关.据统计,当X=70时,Y=460;X每增加10,Y增加5.已知近
20年X的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,
160,200,140,110,160,220,140,160.
(1)完成如下的频率分布表;
近20年六月份降雨量频率分布表
(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同,并将频率视为概率,求今年六月份该水力发电站的发电量低于
490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率.
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
10.(多选题)一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的四个球,除了标号外没有其他差异,现采用不放回方式从中任意摸球两次,设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”,事件B=“第二次摸出球的标号小于3”,则下列选项正确的是( )
A.P(A)=512 B.P(A∪B)=56
C.P(AB)=16 D.P(B)=712
11.某家族有X,Y两种遗传性状,该家族某成员出现X性状的概率为415,出现Y性状的概率为215,X,Y两种性状都不出现的概率为710,则该成员X,Y两种性状都出现的概率为( )
A.115B.110C.215D.415
12.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33名成员,一些成员参加了不止一个小组,具体情况如图所示.现随机选取一名成员,则他至少参加2个小组的概率为 ,他至多参加2个小组的概率为 .
13.某学校团委组织了一次知识讲座活动,活动结束后随机抽取120名学生对讲座情况进行调查,其中男生与女生的人数之比为1∶1,抽取的学生中男生有40名对讲座活动满意,女生中有30名对讲座活动不满意.
(1)完成下面的2×2列联表,并依据小概率值α=0.1的独立性检验判断能否认为对讲座活动是否满意与性别有关;
(2)从被调查的对讲座活动满意的学生中,利用分层随机抽样的方法抽取7名学生,再在这7名学生中抽取3名学生谈谈自己听讲座的心得体会,求其中恰好抽中2名男生与1名女生的概率.
参考数据:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.
14.研究表明,温度的突然变化会引起机体产生呼吸道上皮组织的生理不良反应,从而导致呼吸系统疾病的发生或恶化.某数学建模兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒学生人数多少之间的关系,他们记录了某周连续六天的温差,查阅了这六天中每天新增患感冒而去校医室就诊的学生人数,得到数据如表所示.
参考数据:∑i=16yi2=3 160,∑i=16(yi-y)2=256,∑i=16(xi-x)(yi-y)=120.
(1)已知第一天新增患感冒而就诊的学生中有6名女生,从第一天新增的患感冒而就诊的学生中随机抽取3名,若抽取的3人中至少有一名男生的概率为56,求y1的值;
(2)求出y关于x的经验回归方程y＾=b＾x+a＾,且据此估计昼夜温差为16 ℃时,该校新增患感冒而就诊的学生人数(用四舍五入法,结果保留整数).
附:b＾=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2,a＾=y-b＾x.
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【C级 应用创新练】
15.甲、乙两人分别投掷两枚骰子与一枚骰子,设甲的两枚骰子的点数分别为a与b,乙的骰子的点数为c,则|a-b|=c的概率为 (用最简分数表示).
参考答案
【A级 基础巩固】
1.解析:记“抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数”为事件A,用数组(x,y)表示可能的情况,x表示第一张卡片上的数字,y表示第二张卡片上的数字,
则事件A共包含以下10种情况:
(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),
而有放回连续抽取2张卡片共有5×5=25(种)不同情况,
则P(A)=1025=25.故选D.
2.解析:一次随机取出2个球,样本点总数为C62=15,至少有1个红球包含的样本点个数为C41C21+C22=9,所以至少有1个红球的概率P=915=35.
故选B.
3.解析:由事件A1,A2,A3不一定两两互斥,
所以P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2)≤0.5,
P(A2∪A3)=P(A2)+P(A3)-P(A2A3)≤0.8,且P[(A1∪A2)∪A3]≤1,
所以(A1∪A2)∪A3不一定是必然事件,无法判断A1∪A2与A3是不是互斥或对立事件,
所以A,B,C中说法错误.故选D.
4.解析:甲、乙、丙三人用a,b,c表示,由题意可知,传球的方式有以下形式,
(a,b,a,b),(a,b,a,c),(a,b,c,a),(a,b,c,b),(a,c,a,b),(a,c,a,c),
(a,c,b,a),(a,c,b,c),
故所求概率为28=14.故选C.
5.解析:任选3个不同顶点可有C63种情况,即共有20个三角形,
其中直角三角形有△ABD,△ABE,△BCF,△BCE,△ACD,△CDF,△BDE,△ADE,△ACF,△BEF,△CEF,△ADF,共12个,
故所得三角形是直角三角形的概率为12C63=35.
故选C.
6.解析:从甲、乙等5名同学中随机选3名,有C53种情况,其中甲、乙都入选有C31种情况,所以甲、乙都入选的概率P=C31C53=310.
答案:310
7.解析:因为P(A)=12,P(B)=34,
所以34≤P(A∪B)≤1,
所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=12+34-P(AB)=54-P(AB),
即34≤54-P(AB)≤1,
解得14≤P(AB)≤12.
答案:12(答案不唯一)
8.解析:基本事件总数n=C63=20,若编号为4的两个球有一个被取到,有C21·C32=6种取法;若编号为4的两个球都被取到,有C31=3种取法.
故小球编号最大值为4的基本事件数为9,所以小球编号最大值为4的概率为920.
答案:920
9.解:(1)在所给数据中,降雨量为110毫米的有3个,为160毫米的有
7个,为200毫米的有3个.故近20年六月份降雨量频率分布表为
(2)根据题意,Y=460+X-7010×5=X2+425,
故P(发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时)=P(Y530)=P(X210)=P(X=70)+P(X=110)+P(X=220)=120+320+220=310.
故今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率为310.
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10.解析:采用不放回方式从中任意摸球两次,用数组(x,y)表示可能的情况,x表示第一次摸出球的标号,y表示第二次摸出球的标号,则所有的情况有(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),
(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),共12种,
对于A选项,事件A包含的情况有(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),
(2,4),共6种,则P(A)=612=12,A错误;
对于B选项,事件A∪B包含的情况有(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),
(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),共10种,则P(A∪B)=1012=56,
B正确;
对于C选项,事件AB包含的情况有(1,2),(2,1),共2种,故P(AB)=
212=16,C正确;
对于D选项,事件B包含的情况有(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),
(4,2),共6种,故P(B)=612=12,D错误.故选BC.
11.解析:记该家族某成员出现X性状为事件A,出现Y性状为事件B,则X,Y两种性状都不出现为事件A−∩B−,两种性状都出现为事件A∩B,
所以P(A)=415,P(B)=215,P(A−∩B−)=710,所以P(A∪B)=1-P(A−∩B−)=310,
又因为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),所以,P(A∩B)=P(A)+P(B)-
P(A∪B)=110.故选B.
12.解析:记“恰好参加2个小组”为事件A,“恰好参加3个小组”为事件B,随机选取一名成员,恰好参加2个小组的概率P(A)=1160+760+1060=715,恰好参加3个小组的概率P(B)=860=215,则至少参加2个小组的概率为P(A)+P(B)=715+215=35,至多参加2个小组的概率为1-P(B)=1-215=1315.
答案:35 1315
13.解:(1)2×2列联表如表所示.
零假设为H0:对讲座活动是否满意与性别无关.根据列联表中数据,
经计算得χ2=120×(40×30-20×30)260×60×70×50=247≈3.429>2.706=x0.1,根据小概率值α=0.1的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为对讲座活动是否满意与性别有关.
(2)由(1)知,在样本中对讲座活动满意的学生有70人,从中抽取7人,
“男生满意”的人中抽取40×770=4(人),
“女生满意”的人中抽取30×770=3(人),
记“恰好抽中2名男生与1名女生”为事件A,则P(A)=C42C31C73=1835,所以恰好抽中2名男生与1名女生的概率为1835.
14.解:(1)依题意,1-C63Cy13=56,
整理得6×5×4y1(y1-1)(y1-2)=16,
即y1(y1-1)(y1-2)=720=10×9×8,
解得y1=10,所以y1的值是10.
(2)由题表知,∑i=16xi=54,即x=9,
则∑i=16(xi-x)2=(-5)2+(-2)2+(-1)2+02+52+32=64,
于是b＾=∑i=16(xi-x)(yi-y)∑i=16(xi-x)2=12064=158,
又∑i=16(yi-y)2=∑i=16yi2-2y·∑i=16yi+6y2=∑i=16yi2-6y2=256,解得 y=22,
因此a＾=y-b＾x=22-158×9=418,
则y＾=418+158x,
当x=16时,y＾=418+158×16≈35,
所以可以估计,昼夜温差为16 ℃时,该校新增患感冒而就诊的学生人数为35.
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15.解析:甲、乙两人分别投掷两枚骰子与一枚骰子,设甲的两枚骰子的点数分别为a与b,乙的骰子的点数为c,则样本点总数n=6×6×6=216.
掷出的点数满足|a-b|=c包含的样本点(a,b,c)有:
(1,2,1),(2,1,1),(3,2,1),(2,3,1),(3,4,1),(4,3,1),(4,5,1),
(5,4,1),(5,6,1),(6,5,1),(1,3,2),(3,1,2),(2,4,2),(4,2,2),
(3,5,2),(5,3,2),(4,6,2),(6,4,2),(1,4,3),(4,1,3),(2,5,3),
(5,2,3),(3,6,3),(6,3,3),(1,5,4),(5,1,4),(2,6,4),(6,2,4),
(1,6,5),(6,1,5),共30个,所以掷出的点数满足|a-b|=c的概率P=30216=536.
答案:536
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
120
420
220
性别
满意情况
合计
满意
不满意
男生
女生
合计
120
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
日期
昼夜温
差x/℃
新增就诊
人数y
第一天
4
y1
第二天
7
y2
第三天
8
y3
第四天
9
y4
第五天
14
y5
第六天
12
y6
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
120
320
420
720
320
220
性别
满意情况
合计
满意
不满意
男生
40
20
60
女生
30
30
60
合计
70
50
120