2025高考数学一轮复习-10.6-事件的相互独立性、条件概率与全概率公式-专项训练【含答案】

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1.在一段时间内,若甲去参观市博物馆的概率为0.6,乙去参观市博物馆的概率为0.5,且甲、乙两人各自行动,则在这段时间内,甲、乙两人至少有一个去参观市博物馆的概率是( )
A.0.3
C.0.8
2.甲每天在6:30至6:50出发去上班,其中在6:30至6:40出发的概率为0.3,在该时间段出发上班迟到的概率为0.1;在6:40至6:50出发的概率为0.7,在该时间段出发上班迟到的概率为0.2,则甲某天在6:30至6:50出发上班迟到的概率为( )
D.0.3
3.已知P(B)=0.4,P(B|A)=0.8,P(B|A)=0.3,则P(A)等于( )
A.34 B.38
C.13 D.15
4.在高三复习经验交流会上,共有3名女同学和6名男同学进行发言.现用抽签的方式决定发言顺序,事件Ak(1≤k≤9,k∈N*)表示“第k个发言的是女同学”,则P(A8|A2)等于( )
A.14 B.712
C.16 D.13
5.羽毛球单打实行“三局两胜”制(无平局),甲、乙两人争夺比赛的冠军.甲在每局比赛中获胜的概率均为34,且每局比赛结果相互独立,则在甲获得冠军的条件下,比赛进行了三局的概率为( )
A.13 B.25
C.23 D.45
6.已知事件A,B,且P(A)=0.5,P(B)=0.2,如果A与B互斥,令m=P(AB);如果A与B相互独立,令n=P(AB),则n-m= .
7.某小组有20名射手,其中一、二、三、四级射手分别为2,6,9,3名.又若选一、二、三、四级射手参加比赛,则在比赛中射中目标的概率分别为0.85,0.64,0.45,0.32,今随机选一人参加比赛,则该小组比赛中射中目标的概率为 .
8.有一批同规格的产品,由甲、乙、丙三家工厂生产,其中甲、乙、丙工厂分别生产3 000件,3 000件,4 000件,而且甲、乙、丙工厂的次品率依次为6%,5%,5%,现从这批产品中任取一件,则
(1)取到次品的概率为 ;
(2)若取到的是次品,则其来自甲厂的概率为 .
9.某企业使用新技术对某款芯片进行试生产.在试产初期,该款芯片的生产有四道工序,前三道工序的生产互不影响,第四道是检测评估工序,包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中,前三道工序的次品率分别为P1=110,P2=19,P3=18.
(1)求该款芯片在进入第四道工序前的次品率;
(2)如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰,合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽查检验.在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下,求工人在流水线进行人工抽检时,抽检一个芯片恰为合格品的概率.
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10.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,p2,p3,且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p,则( )
A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B.该棋手在第二盘与甲比赛,p最大
C.该棋手在第二盘与乙比赛,p最大
D.该棋手在第二盘与丙比赛,p最大
11.甲的手机购物平台经常出现她喜欢的商品,这是电商平台推送的结果,假设电商平台第一次给甲推送某商品时,她购买此商品的概率为34;从第二次推送起,若前一次不购买此商品,则此次购买的概率为13;若前一次购买了此商品,则此次仍购买的概率为25,那么电商平台在第二次推送时,甲不购买此商品的概率为 .
12.甲、乙、丙三名同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12,且每场比赛结果互不影响.
(1)求甲连胜四场的概率;
(2)求需要进行第五场比赛的概率;
(3)求丙最终获胜的概率.
13.在某地区进行流行病学调查,随机调查了100位某种疾病患者的年龄,得到如下的样本数据的频率分布直方图.
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率;
(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人,若此人的年龄位于区间[40,50),求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率,精确到0.000 1).
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现有一堆橙子用一台水果筛选机进行筛选,已知这一批橙子中大果与小果比例为3∶2,这台筛选机将大果筛选为小果的概率为0.02,将小果筛选为大果的概率为0.05.经过一轮筛选后,从筛选出来的“大果”里随机取一个,则这个“大果”是真的大果的概率为 .
参考答案
【A级 基础巩固】
1.解析:依题意,在这段时间内,甲、乙都不去参观市博物馆的概率为P1=(1-0.6)×(1-0.5)=0.2,所以在这段时间内,甲、乙两人至少有一个去参观市博物馆的概率P=1-P1=1-0.2=0.8.故选C.
2.解析:由题意,在6:30至6:50出发上班迟到的概率为0.3×0.1+0.7×0.2=0.17.故选B.
3.解析:P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A),
即0.4=0.8P(A)+0.3[1-P(A)],
解得P(A)=0.2=15.故选D.
4.解析:由题意,P(A8A2)=A32A77A99=672=112,P(A2)=A31A88A99=13,
所以P(A8|A2)=P(A8A2)P(A2)=11213=14.故选A.
5.解析:甲获得冠军的概率为34×34+14×34×34+34×14×34=2732,
甲获得冠军,且比赛进行了三局,对应概率为14×34×34+34×14×34=932,
所以在甲获得冠军的条件下,比赛进行了三局的概率为932÷2732=13.
故选A.
6.解析:因为P(A)=0.5,P(B)=0.2,
如果A与B互斥,则m=P(AB)=0,
如果A与B相互独立,n=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×(1-0.2)=0.4,
则n-m=0.4.
答案:0.4
7.解析:设B表示“该小组比赛中射中目标”,Ai(i=1,2,3,4)表示“选i级射手参加比赛”,则P(B)=∑i=14P(Ai)P(B|Ai)=220×0.85+620×0.64+920×
0.45+320×0.32=0.527 5.
答案:0.527 5
8.解析:设“任取一件产品来自甲厂”为事件A1,“任取一件产品来自乙厂”为事件A2,“任取一件产品来自丙厂”为事件A3,则A1,A2,A3彼此互斥,且A1∪A2∪A3=Ω,
P(A1)=3 0003 000+3 000+4 000=310,
P(A2)=3 0003 000+3 000+4 000=310,
P(A3)=4 0003 000+3 000+4 000=25,
设“任取一件产品,取到的是次品”为事件B,
则P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)
=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
=310×6%+310×5%+25×5%=531 000.
如果取到的零件是次品,
那么它是来自甲厂的概率为P(A1|B)=P(A1B)P(B)=P(A1)P(B|A1)P(B)=310×6%531 000=1853.
答案:(1)531 000 (2)1853
9.解:(1)该款芯片在进入第四道工序前的次品率
P=1-(1-110)×(1-19)×(1-18)=310.
(2)设“该款芯片智能自动检测合格”为事件A,“人工抽检合格”为事件B,则P(A)=910,P(AB)=1-310=710,则工人在流水线进行人工抽检时,抽检一个芯片恰为合格品的概率P(B|A)=P(AB)P(A)=710910=79.
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10.解析:法一 设棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率为P甲,在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率为P乙,在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率为P丙,由题意可知,
P甲=2p1[p2(1-p3)+p3(1-p2)]=2p1p2+2p1p3-4p1p2p3,
P乙=2p2[p1(1-p3)+p3(1-p1)]=2p1p2+2p2p3-4p1p2p3,
P丙=2p3[p1(1-p2)+p2(1-p1)]=2p1p3+2p2p3-4p1p2p3.
所以P丙-P甲=2p2(p3-p1)>0,P丙-P乙=2p1(p3-p2)>0,所以P丙最大.故选D.
法二(特殊值法) 不妨设p1=0.4,p2=0.5,p3=0.6,则该棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率P甲=2p1[p2(1-p3)+p3(1-p2)]=0.4;在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率P乙=2p2[p1(1-p3)+p3(1-p1)]=0.52;在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率P丙=2p3[p1(1-p2)+p2(1-p1)]=0.6.所以P丙最大.故选D.
11.解析:设事件A表示“电商平台第一次给甲推送某商品,她购买了此商品”,则事件A表示“电商平台第一次给甲推送某商品,她未购买此商品”,事件B表示“电商平台第二次给甲推送某商品,她购买了此商品”,则事件B表示“电商平台第二次给甲推送某商品,她未购买此商品”,由P(A)=34,可知P(A)=1-P(A)=14,由P(B|A)=13,可知P(B|A)=
1-P(B|A)=23,由P(B|A)=25,可知P(B|A)=1-P(B|A)=35,
电商平台在第二次推送时,
甲不购买此商品的概率P(B)=P(A)·P(B|A)+P(A)P(B|A)=34×35+14×
23=3760.
答案:3760
12.解:(1)甲连胜四场只能是前四场全胜,则P1=(12)4=116.
(2)记事件A为“甲输”,事件B为“乙输”,事件C为“丙输”,故四场后结束比赛的概率
P=P(ABAB)+P(ACAC)+P(BCBC)+P(BABA)=4×(12)4=14,
故需要进行第五场比赛的概率P2=1-14=34.
(3)法一 记事件M为“甲最终获胜”,记事件N为“丙最终获胜”,则甲最终获胜的情况有BCBC,ABCBC,ACBCB,BABCC,BACBC,
BCACB,BCABC,BCBAC,则甲最终获胜的概率为P(M)=(12)4+(12)5×7=932;
由对称性可知乙最终获胜的概率和甲最终获胜的概率相等,
所以丙最终获胜的概率P(N)=1-2×932=716.
法二 ①只打四场比赛,此时丙只需赢三场,即第二场至第四场,其概率为(12)3=18,
②打五场比赛,最后一场丙赢,则丙在第二、第三、第四场比赛必然输一场,因此需分情况进行讨论:
(ⅰ)若丙第二场输,则第四场和第五场丙赢,其概率为(12)3=18;
(ⅱ)若丙第三场输,则第二场和第五场丙赢,其概率为(12)3=18;
(ⅲ)若丙第四场输,则前三场必有一人被淘汰,其概率为2×(12)5=116.
综上所述,丙获胜的概率P=18+18+18+116=716.
13.解:(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄x=10×(5×0.001+15×
0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+
75×0.006+85×0.002)=47.9.
(2)法一 由于患者的年龄位于区间[20,70)是由患者的年龄位于区间[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70)组成的,且互斥,所以所求的概率P=(0.012+0.017×2+0.023+0.020)×10=0.89.
法二 由于患者的年龄位于区间[20,70)是由患者的年龄位于区间[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70)组成的,且互斥,所以所求的概率P=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)×10=0.89.
(3)设“从该地区任选一人,年龄位于区间[40,50)”为事件A,“患这种疾病”为事件B,则P(A)=16%,
由频率分布直方图知这种疾病患者年龄位于区间[40,50)的概率为0.023×10=0.23,
结合该地区这种疾病的患病率为0.1%,
可得P(AB)=0.1%×0.23=0.000 23,
所以从该地区任选一人,若年龄位于区间[40,50),则此人患这种疾病的概率为P(B|A)=P(AB)P(A)=0.000 2316%≈0.001 4.
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14.解析:根据题意,记事件A1=“放入水果筛选机的橙子为大果”,事件A2=“放入水果筛选机的橙子为小果”,事件B=“水果筛选机筛选的橙子为大果”,可得P(A1)=35,P(A2)=25,
且P(B|A1)=1-0.02=4950,P(B|A2)=0.05=120,
则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=35×4950+25×120=76125,
P(A1B)=P(A1)P(B|A1)=35×4950=147250,所以P(A1|B)=P(A1B)P(B)=147152,即从筛选出来的“大果”里随机取一个,则这个“大果”是真的大果的概率为147152.
答案:147152