2024-2025学年江苏省淮安市淮阴区高二上册期中考试数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省淮安市淮阴区高二上册期中考试数学检测试题（含解析），共22页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 若椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知点是抛物线的焦点，若抛物线上的点到的距离为，则点到轴的距离为（ ）
A. B. C. D.
4. 若在1和81之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则该等比数列的公比为（ ）
A. 3B. C. D.
5. 已知双曲线的一个焦点为,且双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的方程为
A. B. C. D.
6. 若等差数列的前n项和为，，．则取得最小值时n的值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
7. 已知，，动点C满足．则面积的最大值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
8. 若椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，过作直线的垂线交椭圆于两点，设的内切圆的半径为，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 设直线：，：，圆C：，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则或-1
B. 若，则
C. 恒过定点
D. 被圆C截得的弦长最小值为4
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 若数列为等差数列，其公差，则数列是递增数列
B. 若数列为等比数列，其公比，则数列递减数列
C. 若数列为等差数列，则数列为等比数列
D. 若数列的前n项和为，且，则数列是等差数列
11. 已知点，直线l：，曲线C上点满足到F的距离与到l的距离之积为16，则下列说法正确的有（ ）
A 曲线C关于y轴对称
B. 曲线C经过坐标原点
C. 设曲线C上动点到直线的距离为d，则的最小值为
D. 当点在曲线C上时，的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知直线l过点，且与两条坐标轴正半轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为______．
13. 设双曲线E：的左、右焦点分别为、，点P是双曲线E上的一点，若，，则双曲线E的离心率为______．
14. 已知直线：，圆：，圆：，若圆与圆和直线都相切，则圆的半径为______，若圆与圆和直线都相切，且两两不同，则圆的半径为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知三点，，在圆上，点为圆心．
（1）求圆的方程；
（2）过点作圆两条切线，切点为，求四边形的面积．
16. 已知数列的前项和为，且数列是首项为，公比为的等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求满足条件的最大正整数的值．
17. 已知抛物线C：过点，直线与抛物线相交于两点，若直线过点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）证明：以为直径的圆经过坐标原点；
（3）若，求直线的方程．
18. 已知数列的前n项和为，，．
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和为；
（3）若对任意恒成立．求实数的取值范围．
19. 已知，，动点P满足直线与直线的斜率之积，动点P的轨迹形成曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设点（t为常数且），求线段PT长度的最大值；
（3）经过点的两条直线，，直线与曲线C相交于A，M两点，直线与曲线C相交于B，N两点，若直线AB过定点，证明：直线MN恒过定点．
2024-2025学年江苏省淮安市淮阴区高二上学期期中考试数学
检测试题
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】直接根据倾斜角与斜率的关系即可.
【详解】直线的斜率为，
设其倾斜角为，则，
又，故其倾斜角为.
故选：B
2. 若椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据椭圆和双曲线焦点相同得到方程，得到答案.
【详解】双曲线的焦点在轴上，且焦点坐标为
因为椭圆与双曲线有相同的焦点，
所以，
解得.
故选：C
3. 已知点是抛物线的焦点，若抛物线上的点到的距离为，则点到轴的距离为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据条件，利用抛物线的定义，即可求解.
【详解】设，因为点到的距离为，
则，得到，
故选：A.
4. 若在1和81之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则该等比数列的公比为（ ）
A. 3B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据等比数列定义知，求解即得答案.
【详解】设这5个数组成的等比数列为，公比为，则，.
∵， 即
解得
故选：C.
5. 已知双曲线的一个焦点为,且双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的方程为
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：依题意有，解得，所以方程为.
考点：双曲线的概念与性质．
6. 若等差数列的前n项和为，，．则取得最小值时n的值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【正确答案】B
【分析】利用等差数列下标和的性质及前项和公式可得的通项公式，由可得等差数列的前4项为负数，从第五项开始为正数，即可得结果.
【详解】因为为等差数列，
，所以，，
，所以，
所以，
所以，解得，
所以等差数列的前4项为负数，从第五项开始为正数，
所以取得最小值时为4.
故选.
7. 已知，，动点C满足．则面积的最大值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【正确答案】A
【分析】令，利用向量数量积的坐标表示及已知求动点的轨迹，结合圆的性质求面积最大值.
【详解】令，则，
所以，即，
由构成三角形，所以点轨迹为且，
要使面积最大，只需与边最远，即为，
所以最大面积为.
故选：A
8. 若椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，过作直线的垂线交椭圆于两点，设的内切圆的半径为，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】由对称性确定的周长，再由弦长公式，点到线的距离公式求得面积，即可求出内切圆半径即可求解.
【详解】
由椭圆方程x24c2+y23c2=1c>0，可得，
即，所以为等边三角形，
，
由题意可知：，即直线l为的角平分线，倾斜角为，
则点关于直线l对称，而 的周长为，所以的周长为，
因为直线l的方程为，椭圆方程为，
设，
联立方程，消去x得，
则Δ=−63c2−4×13×−9c2=576c2>0，可得，
则，
点直线l的距离为，
所以的面积为，
所以，解得：，
所以，
故选：C
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 设直线：，：，圆C：，则下列说法正确的有（ ）
A 若，则或-1
B. 若，则
C. 恒过定点
D. 被圆C截得的弦长最小值为4
【正确答案】BCD
【分析】根据直线平行与垂直的充要条件求解的值即可判断A，B；根据含参直线一般方程确定定点坐标即可判断C；根据直线与圆相的位置关系，求解相交弦长的最小值即可判断D.
【详解】对于A，若，则，所以，故A不正确；
对于B，若，则，解得，故B正确；
对于C，直线：，整理得，
令得，故直线恒过定点，故C正确；
对于D，圆C：的圆心，半径，设点为，则在圆内，
则当时，直线被圆截得的弦长最小，
因为，所以直线被圆截得的弦长的最小值为，
又，所以，此时解得，故存在使得被圆C截得的弦长最小值为4，故D正确．
故选：BCD
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 若数列为等差数列，其公差，则数列是递增数列
B. 若数列为等比数列，其公比，则数列是递减数列
C. 若数列为等差数列，则数列为等比数列
D. 若数列的前n项和为，且，则数列是等差数列
【正确答案】ACD
【分析】由等差、等比数列的概念及性质逐个判断即可.
【详解】对于A，由，可得，故单调递增，正确；
对于B，取，此时，由于，此时数列是递增数列，错误；
对于C：等差数列公差为，由，为常数，故数列为等比数列，正确；
对于D：由，令，可得：，
可得：
即：，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，正确，
故选：ACD
11. 已知点，直线l：，曲线C上的点满足到F的距离与到l的距离之积为16，则下列说法正确的有（ ）
A. 曲线C关于y轴对称
B. 曲线C经过坐标原点
C. 设曲线C上动点到直线的距离为d，则的最小值为
D. 当点在曲线C上时，的最小值为
【正确答案】BCD
【分析】先写出曲线C的方程，根据特殊点可判断A的真假，令求曲线C与轴的交点，可判断AD的真假，
【详解】设曲线C上的点，则曲线的方程为.
对A：令可得，所以点在曲线上，但点不在曲线上，故曲线不关于轴对称，所以A错误；
对B：令得或，故曲线过原点，所以B正确；
对C：若，则x−42+y2⋅x+4>42−42+y2⋅42+4，所以曲线上的点的横坐标都不大于，
所以，又，
所以（当且仅当时取 “”），所以C正确；
对D：若，则x−42+y2⋅x+4>−42−42+y2⋅−42+4≥42+4⋅42−4=16，
所以曲线上最左边的点为，所以，故D正确.
故选：BCD
关键点点睛：在列出曲线的方程后，确定的取值范围是判断D选项的关键.判断出后，结合的几何意义：表示曲线上的点到的距离，可求该式的最小值.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知直线l过点，且与两条坐标轴正半轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为______．
【正确答案】
【分析】设出截距式方程，代入已知点坐标求解．
【详解】由题意设直线方程为，且，
又直线过点，则，，
所以直线方程为，即．
故．
13. 设双曲线E：的左、右焦点分别为、，点P是双曲线E上的一点，若，，则双曲线E的离心率为______．
【正确答案】##
【分析】由双曲线定义和，求出，由余弦定理得到，求出离心率.
【详解】由双曲线定义知，
又，所以，
又，由余弦定理得
，
解得，故离心率为
故
14. 已知直线：，圆：，圆：，若圆与圆和直线都相切，则圆的半径为______，若圆与圆和直线都相切，且两两不同，则圆的半径为______．
【正确答案】 ① ## ②.
【分析】利用题目条件证明，再根据这一递推关系确定答案即可.
【详解】由题可知位于由圆和构成的曲边三角形内，这些圆之间的相切均为外切，且都位于直线上方.
设的圆心为，半径为，则根据和相切，有，
再由圆的位置关系，有.
由和相切有.
故，
则.
根据和相切，同理有，.
而，
故，
所以.
这就得到，而，
故，数列是斐波那契数列.
而，，所以，.
故；.
关键点点睛：本题的关键在于对相切性质的运用.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知三点，，在圆上，点为圆心．
（1）求圆的方程；
（2）过点作圆的两条切线，切点为，求四边形的面积．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据圆的对称性可确定圆心为线段垂直平分线的交点，由此可求得圆心坐标和半径，进而得到圆的标准方程；
（2）根据垂直关系可求得切线长，根据四边形面积可求得结果.
【小问1详解】
由圆的对称性可知：圆心为线段垂直平分线的交点，
，线段中点为，线段垂直平分线方程为：，即，
又线段的垂直平分线为，，圆的半径，
圆的方程为.
【小问2详解】
，，，
，，
四边形的面积.
16. 已知数列的前项和为，且数列是首项为，公比为的等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求满足条件的最大正整数的值．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据等比数列的通项公式可得，再利用退一相减法可得；
（2）由，可得，即可得，解不等式，结合的单调性可得解.
【小问1详解】
由已知数列是首项为，公比为的等比数列，
则，即，
当时，，
当时，，
综上所述；
【小问2详解】
由（1）得，则，
所以，
所以，即，
又函数，，单调递增，
且，，
即满足的最大正整数为，
综上所述满足的最大正整数为.
17. 已知抛物线C：过点，直线与抛物线相交于两点，若直线过点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）证明：以为直径的圆经过坐标原点；
（3）若，求直线的方程．
【正确答案】（1）
（2）证明见解析 （3）或.
【分析】（1）将点代入方程求出，即可求得抛物线C的方程；
（2）直线l过点，所以设直线的方程为：，联立方程组，要证以为直径的圆经过坐标原点只需证明即可；
（3）由（2）可知，，由，所以，然后求解即可.
【小问1详解】
抛物线C：过点，所以，，
故抛物线C的方程为.
【小问2详解】
直线l过点，所以设直线的方程为：，
联立方程组得：，所以，
，设，，
所以，，
，，
所以，
所以，故以AB为直径的圆经过坐标原点.
【小问3详解】
由（2）可知，，
因为，所以，
所以，所以解得，
所以直线的方程为或.
18. 已知数列的前n项和为，，．
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和为；
（3）若对任意恒成立．求实数的取值范围．
【正确答案】（1）证明见解析，；
（2）；
（3）.
【分析】（1）根据题设递推关系有，结合等差数列定义判断证明，进而写出通项公式；
（2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求；
（3）将问题化为恒成立，作差法判断右侧的最小值，即可得参数范围.
【小问1详解】
由，则，又，
所以数列是首项、公差均为的等差数列，则，
所以
【小问2详解】
由，则，
所以，
所以.
【小问3详解】
由（1）（2），则，整理得恒成立，
令，则，
当时，当时，当时，
所以，即的最小值为，
综上，.
19. 已知，，动点P满足直线与直线的斜率之积，动点P的轨迹形成曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设点（t为常数且），求线段PT长度的最大值；
（3）经过点的两条直线，，直线与曲线C相交于A，M两点，直线与曲线C相交于B，N两点，若直线AB过定点，证明：直线MN恒过定点．
【正确答案】（1）
（2）
（3）过定点，证明见详解.
【分析】（1）写出斜率化简可以得到方程，注意点不能与，点重合；
（2）直接写出点到点距离，消元后配方即可；
（3）先用特殊位置求出点，然后证明直线过定点即可.
【小问1详解】
设点，由题意，化简得到，点不能与或重合，
故曲线的方程为.
【小问2详解】
设点坐标为，根据两点间距离公式写出，
又点在椭圆上，，消去得：
,
在椭圆中，可以得到当时，，
当时，；
综上，|PT|max=213t2+1,03；
【小问3详解】
直线过点.
如示意图，可先选择特殊位置，将点放置到位置，此时与关于轴对称，
直线方程分别为，
可以连接，得到直线，求出与交于点.
设，，，，设的中点，
将，两点代入椭圆，做差可得，整理得.
，点是线段中点，则，代入
可得：，整理后可以得到所在曲线的方程为.
注意到对于两端点在椭圆上的线段，设其中点为，则线段所在直线斜率存在时，都有.
同理，可设，的中点，，用同样方法可以得到和所在的曲线方程.
注意到在靠近点的四等分点处，的中点所在曲线为过和交点的曲线，
由曲线系的方法，，根据曲线关联的点的坐标之间的关系，，
可得，.
假设直线所过的定点为，计算用点和两点表示的斜率，并与点的坐标相乘得到：
，化简得到，可知线段满足两端点在椭圆上，与假设结果相符.
综上，直线过定点.
此题第1小问易错点在于忽略点的范围，第2小问需要注意分类讨论，第3小问采用先猜测再证明的方式可以减小计算量.