重庆市南开中学校2024-2025学年高三上学期1月期末考试数学试题

这是一份重庆市南开中学校2024-2025学年高三上学期1月期末考试数学试题，文件包含数学试卷docx、8_南开第五次联考-数学答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共11页， 欢迎下载使用。
命审单位：重庆南开中学
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.设全集，集合
A.B.
C.D.
2.在复平面内，复数对应的点位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.如图，在正四棱锥中，为棱的中点，设，则用表示为
A.B.
C.D.
4.已知某班级将学生分为4个不同的大组，每个大组均有14名学生，现从这个班级里抽取5名学生参加年级活动，要求每个大组至少有1名同学参加，则不同的抽取结果共有
A.种B.种
C.种D.种
5.已知，则的最小值为
6.已知函数的定义域为，则下列选项一定正确的是
A.B.
C.D.的图象关于直线对称
7.在锐角中，，则的取值范围为
8.在正四棱台中，，且正四棱台存在内切球，则此正四棱台外接球的表面积为
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9.已知函数的图象关于直线对称，则
A.的最小正周期为B.的图象关于点对称
C.在上有最小值D.在上有两个极值点
10.设等差数列的前项和为，公差为，已知，则下列说法正确的是
A.的最小值为B.满足的最小值是14
C.满足的最大值是14D.数列的最小项为第8项
11.在棱长为4的正方体中，为棱中点，为侧面的中心，为线段（含端点）上一动点，平面交于，则
A.三棱锥的体积为定值
B.的最小值为
C.
D.平面将正方体分成两部分，这两部分的体积之比为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知非零向量满足：，且，则_____.
13.若，则_____.
14.已知点，点为圆上的动点，且.记线段中点为，则的最大值为_____.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知函数在处的切线与直线平行，其中.
（1）求的值；
（2）求函数在区间上的最值.
16.（15分）
某科技公司研发了一种新型的AI模型，用于图像识别任务.为了测试该模型的性能，对其进行了500次试验，并记录了每次试验中模型正确识别图像的数量，得到如下的样本数据频率分布直方图.
（1）估计这500次试验中该AI模型正确识别图像数量的均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）;
（2）以频率估计概率，随机对该模型进行3次试验，用表示这3次试验中正确识别图像数量不少于20个的次数，求的分布列和数学期望.
17.（15分）
在空间几何体中，底面是边长为2的菱形，其中.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值.
18.（17分）
已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为.
（1）求双曲线的方程；
（2）设直线与双曲线、圆相切，切点分别为，与渐近线相交于.两点.
（i）证明：为定值；
（ii）若.，求直线的方程.
19（17分）
集合为集合的子集，若数列满足：恒为的倍数，则称与“相关”.
（1）若，请写出一个不同于数列且首项为1的等差数列，使得与“相关”.（无需证明）;
（2）若数列满足：.
（i）证明：数列为等比数列，并求出;
（ii）若与"相关"，求所有满足条件的集合.