第12讲 反比例函数的图象、性质及应用（讲义）-2025年中考数学一轮复习讲义（含练习）

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TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc154874817" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc154874818" 考点一 反比例函数的相关概念
\l "_Tc154874819" 题型01 用反比例函数描述数量关系
\l "_Tc154874820" 题型02 判断反比例函数
\l "_Tc154874821" 题型03 根据反比例函数的定义求字母的值
\l "_Tc154874822" 考点二 反比例函数的图象与性质
\l "_Tc154874823" 题型01 判断反比例函数图象
\l "_Tc154874824" 题型02 反比例函数点的坐标特征
\l "_Tc154874825" 题型03 已知反比例函数图象，判断其解析式
\l "_Tc154874826" 题型04 由反比例函数解析式判断其性质
\l "_Tc154874827" 题型05 由反比例函数图象分布象限，求k值
\l "_Tc154874828" 题型06 判断反比例函数经过象限
\l "_Tc154874829" 题型07 已知反比例函数增减性，求参数的取值范围
\l "_Tc154874830" 题型08 已知反比例函数增减性，求k值
\l "_Tc154874831" 题型09 由反比例函数的性质比较大小
\l "_Tc154874832" 题型10 求反比例函数解析式
\l "_Tc154874833" 题型11 与反比例函数有关的规律探究问题
\l "_Tc154874834" 考点三 反比例系数k的几何意义
\l "_Tc154874835" 题型01 一点一垂线
\l "_Tc154874836" 题型02 一点两垂线
\l "_Tc154874837" 题型03 两点一垂线
\l "_Tc154874838" 题型04 两点两垂线
\l "_Tc154874839" 题型05 两点和原点
\l "_Tc154874840" 题型06 两曲一平行
\l "_Tc154874841" 考点四 反比例函数与一次函数综合
\l "_Tc154874842" 题型01 一次函数图象与反比例函数图象综合
\l "_Tc154874843" 题型02 一次函数与反比例函数交点问题
\l "_Tc154874844" 题型03 一次函数与反比例函数综合应用
\l "_Tc154874845" 考点五 反比例函数的实际应用
\l "_Tc154874846" 题型01 行程问题
\l "_Tc154874847" 题型02 工程问题
\l "_Tc154874848" 题型03 物理问题
\l "_Tc154874849" 题型04 分段问题
\l "_Tc154874850" 题型05 几何问题
考点一 反比例函数的相关概念
反比例函数的概念：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数.反比例函数的解析式也可以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、y=kx-1（k≠0）的形式.
反比例函数解析式的特征: ①等号左边是函数y，等号右边是一个分式；
②k≠0；
③分母中含有自变量x，且指数为1.
1. 反比例函数y=kx（k≠0）的自变量x的取值为一切非零实数，函数y的取值是一切非零实数.
2. 反比例函数的表达式中，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式．
3. 反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值k.
题型01 用反比例函数描述数量关系
【例1】（2023·山西忻州·校联考模拟预测）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即F1L1=F2L2．如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧力F与力臂L满足的函数关系是（ ）

A．正比例函数关系B．一次函数关系
C．反比例函数关系D．二次函数关系
【答案】C
【分析】根据杠杆平衡条件：F1L1=F2L2，并结合题意可得左侧F1L1是定值，从而进行判断．
【详解】由杠杆平衡条件：F1L1=F2L2，
∵铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧采取变动钩码数量即改变力F，或调整钩码位置即改变力臂L，确保杠杆水平平衡，
∴右侧力F与力臂L的乘积是定值，即右侧力F与力臂L满足反比例函数关系．
故选：C
【点睛】本题考查反比例函数的性质，掌握反比例函数中，自变量x与函数值y的积是定值是解题的关键．
【变式1-1】（2023·北京朝阳·统考一模）下面的三个问题中都有两个变量：
①矩形的面积一定，一边长y与它的邻边x；
②某村的耕地面积一定，该村人均耕地面积S与全村总人口n；
③汽车的行驶速度一定，行驶路程s与行驶时间t．
其中，两个变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）

A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】A
【分析】当两个变量的积为定值时，两个变量之间的函数关系可以用形如y=kx（k为常数，k≠0）的式子表示，由此逐项判断即可．
【详解】解：由函数图象可知，这两个变量之间成反比例函数关系，
①矩形的面积=x⋅y，因此矩形的面积一定时，一边长y与它的邻边x可以用形如y=kxk≠0的式子表示，即满足所给的函数图象；
②耕地面积=S⋅n，因此耕地面积一定时，该村人均耕地面积S与全村总人口n可以用形如y=kxk≠0的式子表示，即满足所给的函数图象；
③汽车的行驶速度=st，因此汽车的行驶速度一定，行驶路程s与行驶时间t不可以用形如y=kxk≠0的式子表示，即不满足所给的函数图象；
综上可知：①②符合要求，
故选A．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的定义．
【变式1-2】（2022·北京海淀·北京市十一学校校考二模）右图是一种古代计时装置（称为“漏刻”）的示意图：水从上面的贮水壶慢慢漏入下方的受水壶中，假设漏水量是均匀的，受水壶中的浮子和标尺就会均匀升高，那么，就可以根据标尺上的刻度来反映浮子的高度从而计时．现向贮水壶内注水，则在受水壶注满水之前，浮子的高度与对应注水时间满足的函数关系是（ ）
A．一次函数B．二次函数C．反比例函数D．无法确定
【答案】A
【分析】根据漏水量是均匀的，受水壶中的浮子和标尺就会均匀解答即可．
【详解】解：∵漏水量是均匀的，受水壶中的浮子和标尺就会均匀升高
∴浮子的高度与对应注水时间成正比
∴浮子的高度与对应注水时间满足的函数关系是一次函数
故选A．
【点睛】本题考查了判断函数关系，读懂材料，掌握一次函数、二次函数、反比例函数的特点是解答本题的关键．
题型02 判断反比例函数
【例2】（2023·湖北恩施·校考模拟预测）下列函数中，不是反比例函数的是（ ）
A．y=-3xB．y=-32xC．y=3x-1D．3xy=2
【答案】C
【分析】根据反比例函数解析式y=kx(k≠0)判断求解．
【详解】解：根据反比例函数解析式y=kx(k≠0)，知
A. y=-3x，符合定义，本选项不符合题意；
B. y=-32x=-32x，符合定义，本选项不符合题意；
C. y=3x-1，不符合定义，本选项符合题意；
D. 3xy=2，得y=23x，符合定义，本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的定义，理解解析式的特征是解题的关键．
【变式2-1】（2022·福建南平·统考一模）下面四个函数中，图象为双曲线的是（ ）
A．y=5xB．y=2x+3
C．y=4xD．y=x2+2x+1
【答案】C
【分析】根据一次函数，反比例函数及二次函数的函数解析式进行判断．
【详解】解：A. y=5x，是正比例函数，图象是直线，故该选项不正确，不符合题意；
B. y=2x+3，是一次函数，图象是直线，故该选项不正确，不符合题意；
C. y=4x，是反比例函数，图象是双曲线，故该选项正确，符合题意；
D. y=x2+2x+1，是二次函数，图象是抛物线，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查函数的表达式，解题关键是掌握一次函数，反比例函数，二次函数的表达式．
题型03 根据反比例函数的定义求字母的值
【例3】（2022上·山东枣庄·九年级校考期末）已知函数y=(m+1)xm2-5是关于x的反比例函数，则m的值是 ．
【答案】±2
【分析】根据反比例函数的定义：形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，即可求出m的值．
【详解】∵函数y=(m+1)xm2-5是关于x的反比例函数，
∴m+1≠0，m2-5=-1，
∴m=±2，
故答案为：±2
【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．
【变式3-1】（2022·江苏南京·校联考一模）已知反比例函数y＝kx的图象经过点（1，3）、（m，n），则mn的值为 ．
【答案】3
【分析】把点的坐标分别代入解析，即可求得k及mn的值．
【详解】解：把点（1，3）代入y＝kx
得k=3
故反比例函数的解析式为y=3x
把点（m，n）代入y=3x 得mn=3故答案为：3
【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式，理解在函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解决本题的关键．
【变式3-2】（2023·浙江杭州·校考二模）已知点A(-2,m-1)在反比例函数y=-2x的图象上，则m= ．
【答案】2
【分析】将点的坐标代入反比例函数解析式即可求出m值．
【详解】解：∵点A(-2,m-1)在反比例函数y=-2x的图象上，
∴-2×(m-1)=-2，
∴m=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的纵横坐标之积是定值k；理解点坐标与解析式的关系是解题的关键．
【变式3-3】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十七中学统考二模）如果反比例函数y=k-1x的图象经过点-2,1，则k的值是（ ）
A．1B．-2C．-1D．3
【答案】C
【分析】把点-2,1的坐标代入反比例函数解析式中得到一元一次方程并求解即可．
【详解】解：∵反比例函数y=k-1x的图象经过点-2,1，
∴1=k-1-2．解得k=-1．故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的定义，熟练掌握该知识点是解题关键．

在反比例函数中，k≠0与x的指数为-1这两个条件必须同时具备，解决此类问题的容易忽略k≠0的条件，从而得出错误答案.
考点二 反比例函数的图象与性质
一、反比例函数的图象与性质
1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。
3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．
题型01 判断反比例函数图象
【例1】（2022·黑龙江绥化·校考三模）当长方形的面积S是常数时，长方形的长a与宽b之间关系的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得到函数关系式为ab=S（常数），于是得到a、b是成反比例的量，根据函数关系式即可得到结论．
【详解】解：由长方形的面积公式得，a=Sb，且b>0，
故C选项符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的图象，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
【变式1-1】（2023·安徽亳州·统考三模）如图，在△ABC中，∠BAC=20°，AB=AC=2，且始终保持∠PAQ=100°．设BP=x，CQ=y（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据△ABC是等腰三角形，∠BAC=20°，得到∠ABC=∠ACB=80°，推出∠ABP=∠ACQ=100°，根据∠PAQ=100°推出∠PAB+∠CAQ=80°，根据三角形的外角等于不相邻的两内角的和，得到∠ACB=∠CAQ+∠AQC=80°，推出∠AQC=∠PAB，推出△APB∽△QAC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得x与y的函数关系式，即可进行判断．
【详解】∵△ABC中，∠BAC=20°，AB=AC=2，
∴∠ABC=∠ACB=80°
∴∠ABP=∠ACQ=100°
又∵∠PAQ=∠PAB+∠BAC+∠CAQ=100°
∴∠PAB+∠CAQ=80°
∵∠ACB=∠CAQ+∠AQC=80°
∴∠AQC=∠PAB
∴△APB∽△QAC
∴PBAC=ABQC，即x2=2y．
则函数解析式是y=4x．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形，相似三角形，反比例函数等，熟练掌握等腰三角形性质，三角形外角性质，相似三角形判定与性质，反比例函数图形与性质，是解决本题的关键．
【变式1-2】（2023·河北沧州·统考模拟预测）在平行四边形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，已知AE=2，且∠CBF=∠EAF，设EF=x，BF=y，假设x、y能组成函数，则y与x的函数的图象为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据平行四边形的性质得到S△ABD=S△BCD，然后证明出△AEF∽△BFC，然后利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ABD=S△BCD，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴CF=AE=2，∠AEF=∠BFC=90，
∵∠CBF=∠EAF，∠AEF=∠BFC，
∴△AEF∽△BFC，
∴EFCF=AEBF，
∴x2=2y，
∴y=4x，
∴y与x的函数的图象为双曲线在第一象限内的部分．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质等知识，解此题的关键是证明出△AEF∽△BFC．
【变式1-3】（2023·河南信阳·统考一模）参照学习函数y=2x的过程与方法，探究函数y=2x-2x≠2的图象与性质．
(1)m=__________________．
(2)请画出函数y=2x-2x≠2的图象；
(3)观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x0与双曲线y=4x交于A，B两点，
∴点A和点B关于原点对称，
把A2，m代入到y=4x中得：m=42=2，
∴A2，2，
∴B-2，-2，
故选C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的对称性，反比例函数与一次函数的交点问题，正确得到点A和点B关于原点对称是解题的关键．
【变式2-3】（2019·吉林长春·中考模拟）如图，函数y＝2x（x＞0）、y＝6x（x＞0）的图象将第一象限分成了A、B、C三个部分．下列各点中，在B部分的是（ ）
A．（1，1）B．（2，4）C．（3，1）D．（4，3）
【答案】C
【分析】根据反比例函数的图象和性质及题意可知，在B部分的点的坐标满足2x＜y＜6x，对其变形，得2＜xy＜6，然后将选项A、B、C、D的坐标值别代入进行对比，符合要求的即是答案.
【详解】根据题意可知，在B部分的点的坐标满足2x＜y＜6x，
对其变形，得2＜xy＜6.
选项A，（1，1），xy=1，不符合要求；
选项B，（2，4）,，xy=8，不符合要求；
选项C，（3，1），xy=3，符合要求；
选项D，（4，3）,，xy=12，不符合要求.
故选C.
【点睛】此题考查反比例函数的图象和性质、定义及表达式，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键.
【变式2-4】（2023·陕西渭南·统考一模）已知正比例函数y=ax（a为常数，a≠0）与反比例函数y=-2x的图象的一个交点坐标为1,m，则另一个交点的坐标为 ．
【答案】-1,2
【分析】正比例函数和反比例函数的图象是中心对称图形，则它们的交点一定关于原点对称．
【详解】∵已知正比例函数y=ax（a为常数，a≠0）与反比例函数y=-2x的图象的一个交点坐标为1,m，
∴m=-21=-2
∴交点坐标为1,-2
∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，
∴另一个交点的坐标与点1,-2关于原点对称，
∴该点的坐标为-1,2．
故答案为：-1,2．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称是解题的关键．
【变式2-5】（2022·福建漳州·统考模拟预测）已知直线y=2x与双曲线y=kx相交于A，B两点．若点A2,m，则点B的坐标是 ．
【答案】-2,-4
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【详解】解：将A2,m带入到y=2x中，得m=4，则A2,4
∵点A和点B关于原点对称
∴点B坐标为-2,-4．
故答案为：-2,-4．
【点睛】本题考查反比例函数图象的中心对称性，即两点关于原点对称．
【变式2-6】（2022·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）已知直线y=kx与双曲线y=k+6x的一个交点的横坐标是2，则另一个交点坐标是 ．
【答案】（-2，-4）
【分析】根据交点的横坐标是2，得到k+62=2k，求得k值，确定一个交点坐标为（2，4），根据图象的中心对称性质，确定另一个交点坐标即可．
【详解】∵交点的横坐标是2，
∴k+62=2k，
解得k=2，
故函数的解析式为y=2x，y=8x，
当x=2时，y=4，
∴交点坐标为（2，4），
根据图象的中心对称性质，
∴另一个交点坐标为（-2，-4），
故答案为：（-2，-4）．
【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，函数图象的中心对称问题，熟练掌握交点的意义，灵活运用图象的中心对称性质是解题的关键．
题型03 已知反比例函数图象，判断其解析式
【例3】（2023·湖南娄底·统考模拟预测）如图，下列解析式能表示图中变量x，y之间关系的是（ ）

A．y=1|x|B．|y|=1xC．y=-1|x|D．|y|=-1x
【答案】B
【分析】根据反比例函数的图象及绝对值的定义即可判断．
【详解】解：根据反比例函数的图象可得：
第一象限所对应的关系式为：y=1x，第四象限所对应的关系式为：y=-1x，
∴ y与x的关系式为：|y|=1x．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象及绝对值的定义，解题关键是熟悉反比例函数的图象．
【变式3-1】（2023·江苏徐州·统考二模）在平面直角坐标系中，对于点Pa,b，若ab>0，则称点P为“同号点”．若某函数图象上不存在“同号点”，其函数表达式可以是 ．
【答案】y=-1x（答案不唯一）
【分析】根据新定义可得函数图象不在第一，第三象限，从而可得答案．
【详解】解：∵对于点Pa,b，若ab>0，则称点P为“同号点”．
而某函数图象上不存在“同号点”，
∴函数图象不在第一，第三象限，
∴其函数表达式可以是y=-1x；
故答案为：y=-1x．
【点睛】本题考查的是阅读理解，新定义的含义，反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的分别是解本题的关键．
题型04 由反比例函数解析式判断其性质
【例4】（2023·山西晋城·统考一模）已知反比例函数y=-5x，则下列描述正确的是（ ）
A．图象位于第一、三象限
B．y随x的增大而增大
C．图象不可能与坐标轴相交
D．图象必经过点32，-53
【答案】C
【分析】根据反比例函数y=kxk≠0的图象性质进行逐项分析即可作答．
【详解】解：A、∵y=-5x，∴k=-5-9；当x=2时，y0的图象与边AC交于点E．

(1)当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标；
(2)连接EF、AB，求证：EF∥AB；
(3)如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式．
【答案】(1)E4,4
(2)见解析
(3)y=12x
【分析】（1）先求出F点的坐标，进而得到反比例函数的解析式，再求出E点坐标即可；
（2）分别求出直线EF,AB的解析式，即可得证；
（3）过点E作EM⊥x轴，交OB于点M，证明△EMG∽△GBF，列出比例式，求出BG的长，再利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：∵矩形AOBC中，OB=8,OA=4，
∴B8,0，C8,4，
当点F运动到边BC的中点时：F8,2，
∴k=2×8=16，
∴y=16x，
∵反比例函数y=kxk>0的图象与边AC交于点E，
∴yE=4，
∴xE=16÷4=4；
∴E4,4；
（2）如图：

∵F8,k8,Ek4,4，设直线EF的解析式为：y=ax+b，
则：8a+b=k8ka4+b=4，解得：a=-12b=k8+4，
∴直线EF：y=-12x+k8+4；
设：直线AB:y=mx+n，
∵A0,4,8,0，
∴8m+n=0n=4，解得：m=-12n=4，
∴直线AB：y=-12x+4，
∴EF∥AB；
（3）如图，过点E作EM⊥x轴，交OB于点M，则四边形AEMO为矩形，
∴EM=AO=4，

∵翻折，
∴∠ECF=∠EGF=90°,EC=EG,CF=FG，
∵∠EMG=∠FBG=∠EGF=90°，
∴∠EGM=∠BFG，
∴△EMG∽△GBF，
∴EMBG=EGFG，
∵F8,k8,Ek4,4，
∴FG=CF=4-k8，EG=CE=8-k4，BF=k8，
∴4BG=8-k44-k8，
∴BG=2，
在Rt△FBG中，FG2=BG2+BF2，
∴4-k82=22+k82，
∴k=12，
∴y=12x．
【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理．利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
考点要求
新课标要求
命题预测
反比例函数相关概念
理解与掌握反比例函数相关概念.
反比例函数是非常重要的函数，年年都会考，总分值为15分左右，常考考点为: 反比例函数图象的性质k的几何意义、双曲线上点的坐标特征、反比例函数与一次函数的交点问题以及反比例函数的应用与综合题等.其中前三个考点多以选择、填空题的形式出题，后三个考点则是基础解答题以及压轴题的形式出题.在填空题中,对反比例函数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐渐增大，常结合其他规则几何图形的性质一起出题,多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意.另外压轴题中也常以反比例函数为背景，考察一些新定义类问题.
综合反比例函数以上特点，考生在复习该考点时，需要准备堂握其各性质规律，并日多注意其与几何图形结合题的思考探究.
反比例函数的图象与性质
能画反比例函数的图象，根据图象和表达式y=kx (k≠0)探索并理解k>0和k0
k