第18讲 等腰三角形（讲义）-2025年中考数学一轮复习讲义（含练习）

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TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc156158026" \l "_Tc156054062" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc156158027" 考点一 等腰三角形的性质与判定
\l "_Tc156158028" 题型01 等腰三角形的定义
\l "_Tc156158029" 题型02 根据等边对等角求角度
\l "_Tc156158030" 题型03 利用等边对等角证明
\l "_Tc156158031" 题型04 根据三线合一求解
\l "_Tc156158032" 题型05 根据三线合一证明
\l "_Tc156158033" 题型06 格点图中画等腰三角形
\l "_Tc156158034" 题型07 根据等角对等边证明等腰三角形
\l "_Tc156158035" 题型08 根据等角对等边证明边相等
\l "_Tc156158036" 题型09 根据等角对等边求边长
\l "_Tc156158037" 题型10 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
\l "_Tc156158038" 题型11 等腰三角形性质与判定综合
\l "_Tc156158039" 题型12 等腰三角形有关的折叠问题
\l "_Tc156158040" 题型13 等腰三角形有关的规律探究问题
\l "_Tc156158041" 题型14 等腰三角形有关的新定义问题
\l "_Tc156158042" 题型15 等腰三角形有关的动点问题
\l "_Tc156158043" 题型16 探究等腰三角形中线段间存在的关系
\l "_Tc156158044" 考点二 等边三角形的性质与判定
\l "_Tc156158045" 题型01 利用等边三角形的性质求线段长
\l "_Tc156158046" 题型02 手拉手模型
\l "_Tc156158047" 题型03 等边三角形的判定
\l "_Tc156158048" 题型04 等边三角形与折叠问题
\l "_Tc156158049" 题型05 等边三角形有关的规律探究问题
\l "_Tc156158050" 题型06 等边三角形有关的新定义问题
\l "_Tc156158051" 题型07 利用等边三角形的性质与判定解决多结论问题
\l "_Tc156158052" 考点三 线段垂直平分线的性质与判定定理
\l "_Tc156158053" 题型01 利用垂直平分线的性质求解
\l "_Tc156158054" 题型02 线段垂直平分线的判定
\l "_Tc156158055" 题型03 线段垂直平分线的实际应用
考点一 等腰三角形的性质与判定
等腰三角形的概念：有两边相等的三角形角等腰三角形．
等腰三角形性质：
1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.
2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）.
等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
1. 等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论.
2. 顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为45°.
3. 等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴．
4. 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．
5. 等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则b20）的图象上，则k的值为 ．

【变式4-4】（2023·河北·统考模拟预测）如图，点D,C,E在直线l上，点A,B在l的同侧，AC⊥BC，若AD=AC=BC=BE=5,CD=6，则CE的长为 ．

题型05 根据三线合一证明
【例5】（2023·陕西榆林·校考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC的中点，一个圆过点A，交边AB于点E，且与BC相切于点D，则该圆的圆心是（ ）
A．线段AE的垂直平分线与线段AC的垂直平分线的交点
B．线段AB的垂直平分线与线段AC的垂直平分线的交点
C．线段AE的垂直平分线与线段BC的垂直平分线的交点
D．线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线的交点
【变式5-1】（2023·山东青岛·统考一模）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F分别是AO，CO的中点．
(1)求证：DE=BF；
(2)请从以下三个条件：①AC=2BD；②∠BAC=∠DAC；③AB=AD中，选择一个合适的作为已知条件，使四边形DEBF为菱形．
你选择添加的条件是：______（填写序号）；添加条件后，请证明四边形DEBF为菱形．
【变式5-2】（2023·广西河池·校考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点．以BD为直径作圆O，交边AB于点P，连接PC，交AD于点E．
(1)求证：AD是圆O的切线．
(2)若PC是圆O的切线，BC=4，求PE的长．
【变式5-3】（2023·贵州黔东南·统考三模）（1）如图，直线AB经过⊙O上一点C，连接OA,OB，从以下三个信息中选择两个作为条件，剩余的一个作为结论组成一个真命题，并写出你的证明过程．①OA=OB；②CA=CB；③AB是⊙O的切线．你选择的条件是____________，结论是______（填序号）；
（2）在（1）的条件下，若∠AOB=90°，OA=42，求图中阴影部分的面积．
题型06 格点图中画等腰三角形
【例6】（2023·江苏扬州·统考一模）如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，每个小正方形的边长为1，M、N分别是AB、BC上的格点．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM、PN，则满足∠MPN=45°的点P有（ ）个
A．3B．4C．5D．6
【变式6-1】（2023·广西玉林·统考一模）如图，在由边长相同的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．再选择一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，符合点C条件的格点个数是( )

A．1B．2C．3D．4
【变式6-2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考模拟预测）图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1

(1)在图1中画一个腰长为5，面积为10的等腰三角形ABC，（点A、B、C在小正方形的顶点上）．
(2)在图2中画出一个腰长为10的等腰三角形DEF（点D、E、F在小正方形的顶点上），并直接写出等腰三角形DEF的底角的正切值为__________．
【变式6-3】（2023·浙江丽水·统考二模）如图，是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点叫作格点．线段AB的端点均在网格上，分别按要求作图，每小题各画出一个即可．

(1)在图1中画出以AB为边的平行四边形ABCD，且点C，D在格点上；
(2)在图2中画出等腰三角形ABE，且点E在格点上；
(3)在图3中画出直角三角形ABF，且点F在格点上．
题型07 根据等角对等边证明等腰三角形
【例7】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，D，E是△ABC边上的点，ED∥BC，BE平分∠ABC．

(1)求证：BD=DE；
(2)若BD:BC=2:3．直接写出S△ADE:S△EDC的值．
【变式7-1】（2023·江苏常州·统考二模）如图，已知△ABC．

(1)在图中用直尺和圆规作△ABC的角平分线BD，作∠ADE，使得∠ADE=∠C，射线DE交AB于点E（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，判断△BDE的形状，并证明你的结论．
【变式7-2】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，D是AB上的一点，C是⊙O上的一点，过点D作AB的垂线，与过点C的切线相交于点P，PD与AC相交于点E．
（1）求证：△PCE是等腰三角形；
（2）连接BC，若AD=OD，AE=258，BC=6，求PC的长．
题型08 根据等角对等边证明边相等
【例8】（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F则CF的长为（ ）

A．2B．3C．3.5D．4
【变式8-1】（2023·江苏苏州·统考二模）如图锐角△ABC中，AB=4，BC=6，∠A=2∠C，则AC的值为 ．

【变式8-2】（2023·浙江·统考二模）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，EB平分∠DEC．

(1)求证：BC=CE；
(2)若CE=AB，EA=EB，求∠C的度数．
【变式8-3】（2023·湖北武汉·统考二模）如图，AB∥CD，AD∥BC，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F．

(1)求证：DE=DF；
(2)若∠C=120°，直接写出∠1的度数．
题型09 根据等角对等边求边长
【例9】（2023·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为2，点F为对角线AC上一点，当∠CBF=22.5°时，则AF的长是（ ）

A．22-2B．116C．2D．5
【变式9-1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在△ABC中，∠B=45°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为点E.若DE=2，则BD的长为（ ）

A．4B．23C．2D．22
【变式9-2】（2023·河北石家庄·石家庄市第四十中学校考二模）如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，以点C为圆心，适当长为半径作弧，分别交BC，CD于M，N两点，分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠BCD的内部交于点P，射线CP交AD于点E，交BA的延长线于点F，则AF的长是（ ）

A．1B．2C．3D．4
题型10 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
【例10】（2020·安徽淮北·统考一模）如图，在矩形ABCD中， AB=4,BC=6,点E是AD的中点，点F在DC上，且CF=1,若在此矩形上存在一点P，使得△PEF是等腰三角形，则点P的个数是（ ）

A．3B．4C．5D．6
【变式10-1】（2018·江苏常州·统考一模）已知直线y=-3x+3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线y=-x-32+4上，能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有( )
A．8个B．4个C．5个D．6个
【变式10-2】．（2023·广东河源·统考一模）如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有（ ）个．
A．6B．8C．10D．12
题型11 等腰三角形性质与判定综合
【例11】（2023·北京顺义·统考二模）如图，在△ABC中，AD，BD分别是∠BAC，∠ABC的平分线，过点D作EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F．若AE=4，BF=6，则EF的长为 ．

【变式11-1】（2020·江苏泰州·统考一模）已知点A(2，m)，点P在y轴上，且△POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好有2个，则m= ．
【变式11-2】（2023·湖南邵阳·统考一模）如图，已知AB=63，点C在线段AB上，△ACD是底边长为6的等腰三角形且∠ADC=120°，以CD为边在CD的右侧作矩形CDEF，连接DF，点M是DF的中点，连接MB，则线段MB的最小值为 ．
【变式11-3】（2023·湖南娄底·统考一模）如图，函数y=kxx>0的图象过点An,2和B85,2n-3两点．

(1)求n和k的值；
(2)点C是双曲线上介于点A和点B之间的一个动点，若S△AOC=6，求C点的坐标；
(3)过C点作DE∥OA，交x轴于点D，交y轴于点E，第二象限内是否存在点F，使得△DEF是以DE为腰的等腰直角三角形?若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
题型12 等腰三角形有关的折叠问题
【例12】（2023·辽宁·模拟预测）【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在△ACD中，∠D=2∠C，AB⊥CD，垂足为B，且BC>AB．求证：BC=AD+BD．

①如图2，小鹏同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在BC上截取BE=BD，连接AE，将线段BC与AD，BD之间的数量关系转化为AD与CE之间的数量关系．

②如图3，小亮同学从∠D=2∠C这个条件出发给出另一种解题思路：作AC的垂直平分线，分别与AC，CD交于F，E两点，连接AE，将∠D=2∠C转化为∠D与∠BEA之间的数量关系．

请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类此分析】
（2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答．
如图4，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，过点A作AD∥BC（点D与点C在AB同侧），若∠ADB=2∠C．求证：BC=AD+BD．

【学以致用】
（3）如图5，在四边形ABCD中，AD=1003,CD=1213,sinD=35,∠BCD=∠BAD,∠ABC=3∠ADC，求四边形ABCD的面积．

【变式12-1】（2023·福建南平·统考二模）在等腰三角形ABC中，AB=AC，△DEC是由△ABC绕点C按顺时针方向旋转α角0