第24讲 特殊四边形-菱形（讲义）-2025年中考数学一轮复习讲义（含练习）

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TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc156917260" \l "_Tc156807534" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc156917261" 考点一 菱形的性质与判定
\l "_Tc156917262" 题型01 利用菱形的性质求角度
\l "_Tc156917263" 题型02 利用菱形的性质求线段长
\l "_Tc156917264" 题型03 利用菱形的性质求周长
\l "_Tc156917265" 题型04 利用矩形的性质求面积
\l "_Tc156917266" 题型05 利用矩形的性质求坐标
\l "_Tc156917267" 题型06 利用矩形的性质证明
\l "_Tc156917268" 题型07 添加一个条件证明四边形是菱形
\l "_Tc156917269" 题型08 证明四边形是菱形
\l "_Tc156917270" 题型09 根据菱形的性质与判定求角度
\l "_Tc156917271" 题型10 根据菱形的性质与判定求线段长
\l "_Tc156917272" 题型11 根据菱形的性质与判定求面积
\l "_Tc156917273" 题型12 根据菱形的性质与判定解决多结论问题
\l "_Tc156917274" 题型13 与菱形有关的新定义问题
\l "_Tc156917275" 题型14 与菱形有关的规律探究问题
\l "_Tc156917276" 题型15 与菱形有关的动点问题
\l "_Tc156917277" 题型16 菱形与一次函数综合
\l "_Tc156917278" 题型17 菱形与反比例函数综合
\l "_Tc156917279" 题型18 菱形与一次函数、反比例函数综合
\l "_Tc156917280" 题型19 菱形与二次函数综合
考点一 菱形的性质与判定
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形的性质：
1）具有平行四边形的所有性质；
2）四条边都相等；
3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角.
4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心.
菱形的判定：
1）A
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
2）一组邻边相等的平行四边形是菱形.
3）四条边相等的四边形是菱形.
【解题思路】判定一个四边形是菱形时，可先说明它是平行四边形，再说明它的一组邻边相等或它的对角线互相垂直，也可直接说明它的四条边都相等或它的对角线互相垂直平分．
菱形的面积公式：S=ah=对角线乘积的一半（其中a为边长，h为高）.
菱形的周长公式：周长l=4a（其中a为边长）.
1. 对于菱形的定义要注意两点:a.是平行四边形;b.一组邻边相等.
2. 定义说有一组邻边相等的平行四边形才是菱形,不要错误地理解为有一组邻边相等的四边形是菱形.
3. 菱形的面积S=对角线乘积的一半，适用于对角线互相垂直的任意四边形的面积的计算.
4. 在求菱形面积时,要根据图形特点及已知条体灵活选择面积公式来解决问题，
5. 在利用对角线长求菱形的面积时,要特别注意不要漏掉计算公式中的12 .
题型01 利用菱形的性质求角度
【例1】（2022·河北石家庄·校考模拟预测）如图，菱形ABCD中，∠1=15°，则∠D=（ ）
A．115°B．150°C．125°D．130°
【变式1-1】（2023·陕西西安·一模）如图，将菱形纸片沿着线段AB剪成两个全等的图形，则∠1的度数是（ ）
A．40°B．60°C．80°D．100°
【变式1-2】（2023·浙江嘉兴·统考二模）如图，菱形ABCD中，以点A为圆心，以AB长为半径画弧，分别交BC,CD于点E，F． 若∠EAF=60°，则∠D的度数为 ．

【变式1-3】（2020·吉林长春·统考二模）如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC=124°，则∠OED= 度．
【变式1-4】（2023·湖南永州·统考一模）如图，菱形ABCD中，∠CBD=75，分别以A、B为圆心，大于AB的一半长为半径画弧，两弧在AB的两侧分别交于点P、Q，作直线PQ交AB于点E，交AD于点F，连接BF，求∠DBF的度数．
题型02 利用菱形的性质求线段长
【例2】（2022·安徽·合肥38中校考模拟预测）如图在菱形ABCD中，AD=12，对角线AC和BD交于点O，点E，F分别是OD和OC的中点，AE与BF交于点G，则EF的长为 ．

【变式2-1】（2023·浙江·模拟预测）已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为43，则另一条对角线的长为 ．
【变式2-2】（2022·湖南长沙·校考二模）如图，四边形ABCD是边长为5的菱形，对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程x2-2m+1x+8m=0的两实数根，DH是AB边上的高，则DH= ．

【变式2-3】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考模拟预测）如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，点E在线段OD上，连接CE，若BE=CD=2DE，AC=27，则CE的长为 ．

【变式2-4】（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，在菱形ABCD中，对角线AC=2，BD=1，AC，BD相交于点O，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过点O作OF⊥CE交CE于点F，则OF的长度为 ．

题型03 利用菱形的性质求周长
【例3】（2023·河北沧州·校考模拟预测）矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，CE∥BD，DE∥AC，若AB=6，AD=8，则四边形OCED的周长是( )

A．10B．20C．28D．30
【变式3-1】（2023·广东汕头·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A的坐标为0,3，∠D=60°，则菱形ABCD的周长为（ ）

A．13B．14C．15D．83
【变式3-2】（2023·河南商丘·统考一模）如图，菱形ABCD中，点E，F，G分别为AB，AD，CD的中点，EF=4，FG=3，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．12B．16C．18D．20
【变式3-3】（2023·湖南永州·校考二模）如图，在菱形ABCD中，M、N分别为AB、AC的中点，若MN=3，则菱形ABCD的周长为 ．

【变式3-4】（2023·湖南长沙·长沙市南雅中学统考一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E，F分别为边AB，AD上的中点，连接EF．

(1)求证：AC⊥EF；
(2)若EF=6，tan∠AEF=13，求菱形ABCD的周长．
题型04 利用矩形的性质求面积
【例4】（2022·黑龙江哈尔滨·统考一模）一个菱形的周长是20，两条对角线的比是4:3，则这个菱形的面积是（ ）
A．12B．96C．48D．24
【变式4-1】（2023·青海海东·统考三模）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA=6，OH=4，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．72B．48C．24D．9
【变式4-2】（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知菱形ABCD的周长为24，对角线AC、BD交于点O，且AC+BD=16，则该菱形的面积等于 ．
【变式4-3】（2022·福建龙岩·校考模拟预测）如图，菱形ABCD中，∠CBA=60°，其中一条对角线AC=6cm，则该菱形的面积是 cm2．

题型05 利用矩形的性质求坐标
【例5】（2022·陕西西安·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴且AD=4，∠A=60°，将菱形ABCD绕点O顺时针旋转，使点D落在x轴正半轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（ ）

A．0，23B．2，-4C．23，0D．0，-23
【变式5-1】（2023·天津河西·天津市新华中学校考一模）如图，四边形ABCD是菱形，点D在x轴上，顶点A，B的坐标分别是(0，2)，(4，4)，则点C的坐标是（ ）

A．(4，2)B．(6,2)C．(6,4)D．(8,2)
【变式5-2】（2023·河南周口·淮阳第一高级中学校考三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知菱形ABCD的顶点A-3,3，C1,-1，对角线BD交AC于点M，交x轴于点N，若BN=2ND，则点B的坐标是（ ）

A．32,72B．2,22C．（4，2）D．（2，4）
【变式5-3】（2023·河南南阳·统考三模）菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知顶点A8,0，点D是OA的中点，点P是对角线OB上的一个动点，∠AOC=60°，当PA+PD最短时，点P的坐标为（ ）
A．6,23B．6,433C．4,2D．4,433
【变式5-4】（2023·天津红桥·统考三模）如图，四边形ABCD为菱形，点A-3,0，点D0,4，点B在x轴的正半轴上，则点C的坐标为（ ）．

A．5,4B．4,5C．4,3D．3,4
【变式5-5】（2023·陕西咸阳·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为4,0，点B、C 在第一象限, ∠AOC=60°，求点C的坐标．

题型06 利用矩形的性质证明
【例6】（2023·新疆乌鲁木齐·统考模拟预测）如图，在菱形ABCD中，E,F是对角线AC上的两点，且AE=CF．
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)证明四边形BEDF是菱形．
【变式6-1】（2023·山西·山西实验中学校考模拟预测）如图，在菱形ABCD中，AC是对角线，点E是线段AC延长线上的一点，在线段CA的延长线上截取AF=CE，连接DF，BF，DE，BE．试判断四边形FBED的形状，并说明理由．
【变式6-2】（2024上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）【操作探究】
已知：在菱形ABCD中，点M在直线BD上，过M作AC的平行线交直线AD于点E，交直线AB于点F．
(1)【举例感知】如图1，当点M在线段BD上时，求证：AC=ME+MF；
(2)【类比探究】
①当点M在DB延长线上时，直接写出AC、ME、MF三条线段之间的数量关系．
②当点M在BD延长线上时，直接写出AC、ME、MF三条线段之间的数量关系．
【变式6-3】（2020·北京·统考中考真题）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．

【变式6-4】（2022·湖北宜昌·统考中考真题）已知菱形ABCD中，E是边AB的中点，F是边AD上一点．
(1)如图1，连接CE，CF．CE⊥AB，CF⊥AD．
①求证：CE=CF；
②若AE=2，求CE的长；
(2)如图2，连接CE，EF．若AE=3，EF=2AF=4，求CE的长．
题型07 添加一个条件证明四边形是菱形
【例7】（2022·湖北襄阳·统考中考真题）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（ ）

A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形
C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形
【变式7-1】（2019·宁夏·统考中考真题）如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AC⊥BDB．AB=ADC．AC=BDD．∠ABD=∠CBD
【变式7-2】（2021·北京·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在BC,AD上，AF=EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
【变式7-3】（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是 ．（只需写出一个条件即可）
题型08 证明四边形是菱形
【例8】（2022·江苏连云港·统考中考真题）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE=AD，且BE⊥DC．
(1)求证：四边形DBCE为菱形；
(2)若△DBC是边长为2的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，求PM+PN的最小值．
【变式8-1】（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．
【变式8-2】（2023·云南·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，且E、F分别在边BC、AD上，AE=AF．

(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)若∠ABC=60°，△ABE的面积等于43，求平行线AB与DC间的距离．
【变式8-3】（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE=EF=FD，∠BAF=∠DCE=90°．
(1)求证：△ABF≌△CDE；
(2)连接AE，CF，已知__________（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．
条件①：∠ABD=30°；
条件2：AB=BC．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）
题型09 根据菱形的性质与判定求角度
【例9】（2020·河北唐山·统考一模）如图，①以点A为圆心2cm长为半径画弧分别交∠MAN的两边AM、AN于点B、D；②以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C；③分别连接BC、CD、AC，若∠MAN=60°，则∠ACB的大小为 ．
【变式9-1】（2023·四川成都·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，分别以C、B为圆心，取AB的长为半径作弧，两弧交于点D．连接BD、AD．若∠ABD=130°，则∠CAD= ．
【变式9-2】（2022·宁夏中卫·统考一模）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，则∠BAD的度数是 ．
【变式9-3】（2022·浙江金华·统考一模）如图，雨伞不论张开还是收紧，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC．当伞收紧时，点D与点M重合，且点A，E（F），D在同一条直线上．已知伞骨的部分长度如下（单位：cm）：DE=DF=AE=AF=40．
(1)求AM的长．
(2)当伞撑开时，量得∠BAC=110°，求AD的长．（结果精确到1cm）
参考数据：sin55°≈0.8192,cs55°≈0.5736,tan55°≈1.4281．
题型10 根据菱形的性质与判定求线段长
【例10】（2023·湖北荆州·统考模拟预测）在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（ ）

A．4B．6C．8D．10
【变式10-1】（2023·海南省直辖县级单位·校考三模）如图，在矩形ABCD中，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于E，交AD于F，连接AE、CF．若AB=3，∠DCF=30°，则EF的长为（ ）

A．2B．5C．3D．22
【变式10-2】（2023·青海海东·统考三模）如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，P为BC边上的任意一点，连接PA，以PA、PC为邻边作▱PAQC，连接PQ，当AP=PC时，PQ的长为 ．

【变式10-3】（2023·吉林长春·统考二模）如图，小李将一张边长分别为4和10的矩形纸片对折、再对折，然后沿图中的虚线AC剪下，将纸展开，就得到一个四边形．若∠ACB=60°，则这个四边形的周长为 ．
题型11 根据菱形的性质与判定求面积
【例11】（2023·云南·模拟预测）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
(1)求证：四边形ADBF是菱形；
(2)若AB＝8，菱形ADBF的面积为40，求AC的长．
【变式11-1】（2022·贵州贵阳·统考模拟预测）折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，已知AB=8，AD=4，则MN的长是（ ）A．535B．25C．735D．45
【变式11-2】（2019·山东德州·校联考二模）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF
（1）求证：▱ABCD是菱形；
（2）若AB=5，AC=6，求▱ABCD的面积．
【变式11-3】（2022·吉林长春·校考模拟预测）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE//AC，AE//BD．
（1）求证：四边形AOBE是菱形；
（2）若∠AOB=60°，AC=4，求菱形AOBE的面积．
【变式11-4】（2022·江苏南京·统考一模）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、DC的中点．
(1)求证∠AEF=∠AFE；
(2)若菱形ABCD的面积为8，则△AEF的面积为______．
题型12 根据菱形的性质与判定解决多结论问题
【例12】（2023·内蒙古·一模）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：
①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；
④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【变式12-1】（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，四边形ABCD为菱形，BF∥AC，DF交AC的延长线于点E，交BF于点F，且CE:AC=1:2．则下列结论：①△ABE≌△ADE；②∠CBE=∠CDF；③DE=FE；④S△BCE:S四边形ABFD=1:10．其中正确结论是（ ）
A．①③B．①②④C．②③④D．①②③④
【变式12-2】（2022·湖南长沙·长沙市长郡双语实验中学校考模拟预测）如图，直线CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E．连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论：
①四边形ACBE是菱形； ②∠ACD=∠BAE； ③AF：FC=1：2；
其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
【变式12-3】（2023·福建宁德·校考模拟预测）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，点M，N分别在AD，将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使得点C落在AD上的一点E处，现给出以下结论：
①连接CM，四边形ENCM一定是菱形；
② F，M，C三点一定在同一直线上；
③当点E与A重合时，A，B，C，D，F五点在同一个圆上；
④点E到边MN，BN的距离可能相等．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
题型13 与菱形有关的新定义问题
【例13】（2020·河北唐山·统考模拟预测）定义：如图，若菱形AECF与正方形ABCD两个顶点A，C重合，另外两个顶点E，F在正方形ABCD的内部，则称菱形AECF为正方形ABCD的内含菱形．
若正方形的周长为16，其内含菱形边长是整数，则内含菱形的周长为 ；
若正方形的面积为18，其内含菱形的面积为6，则内含菱形的边长为 ．
【变式13-1】（2023·江苏盐城·统考一模）定义：若四边形中某个顶点与其它三个顶点距离相等，则这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点．

(1)判断：一个内角为60°的菱形________等距四边形．（填“是”或“不是”）
(2)如图2，在5×5的网格图中有A、B两点，请在答题卷给出的两个网格图上各找出C、D两个格点，使得以A、B、C、D为顶点的四边形以A为等距点的“等距四边形”，画出相应的“等距四边形”（互不全等），并写出该等距四边形的端点均为非等距点的对角线长．端点均为非等距点的对角线长为________．
(3)如图，在海上A，B两处执行任务的两艘巡逻艇，根据接到指令A，B两艇同时出发，A艇直接回到驻地O，B艇到C岛执行某项任务后回到驻地O（在C岛执行任务的时间忽略不计），已知A，B，C三点到O点的距离相等，AO∥BC，BC=100km，tanA=32，若A艇速度为65km/h，试问B艇的速度是多少时，才可以和A艇同时回到驻地？
【变式13-2】（2022·辽宁沈阳·东北育才双语学校校考三模）【定义】在平面直角坐标系xOy中，如果点A，C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A，C在直线y=x上，那么称该菱形为点A，C的“阳光菱形”，如图是点A，C的“阳光菱形”的一个示意图．

【运用】已知点M的坐标为2，2，点P的坐标为4，4．
(1)下列各组点，能与点M，P形成“阳光菱形”的是______．（直接填写序号）
①E-4，10，F10,-4 ；②G1，6，H6，1 ；③I0，5，J5，0．
(2)如果四边形MNPQ是点M，P的“阳光菱形”，点N在MP下方，且面积为16．
①求点N、点Q的坐标；
②如果直线y=kx-3k与折线MN-NP有唯一公共点，直接写出满足条件的k的取值范围．
【变式13-3】（2022·江西萍乡·校考模拟预测）若四边形对角线互相垂直，那么我们定义这种四边形为“对垂”四边形．
特征辨析
(1)下列4个图中，四边形ABCD不是“对垂”四边形的是（ ）
归纳探究
(2)如图1，ED⊥AF于O，动点P，Q都从O点出发，点P沿OE运动到B，点Q沿OF运动到C．
①当∠BAC=30°，OB=OC，OD=1，OA=4时，则AB2+CD2=___________，AD2+CB2=___________，据此结合（1）中相关图形试猜想“对垂”四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系：___________（用等式表示）；
②在“对垂”四边形ABCD中，当①中的条件都不存在时，①中所猜想的数量关系还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．
拓展应用
(3)如图2，四边形AEDB和四边形AGFC均为正方形，点B恰好在FC的延长线上，且已知AC=2，AB=3，求GE的长．
题型14 与菱形有关的规律探究问题
【例14】（2023·广东深圳·校考一模）如图，菱形OABC的顶点O(0,0)，A(-2,0)，∠B=60°，若菱形OABC绕点O顺时针旋转90°后得到菱形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2024次得到菱形OA2024B2024C2024，那么点C2024的坐标是( )

A．3,1B．1,-3C．-3,-1D．-1,3
【变式14-1】（2023·河南南阳·统考模拟预测）如图，正方形ABCD的顶点均在坐标轴上，且点B的坐标为2,0，以AB为边构造菱形ABEF，将菱形ABEF与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点F的对应点F2023的坐标为（ ）

A．-2,22B．22,-2C．-22,2D．-2,-22
【变式14-2】（2023·湖南永州·统考二模）如图，已知矩形ABCD的边长分别为6，4，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1；第二次，顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形AnBnCnDn的面积是（ ）

A．32n-4B．32n-3C．32n-2D．322n-3
【变式14-3】（2023·贵州铜仁·校考一模）如图，菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=1，延长CD至A1，使DA1=CD，以A1C为一边，在BC的延长线上作菱形A1CC1D1，连接AA1，得到△ADA1；再延长C1D1至A2，使D1A2=C1D1，以A2C1为一边，在CC1的延长线上作菱形A2C1C2D2，连接A1A2，得到△A1D1A2…按此规律，得到△A2021D2021A2022，记△ADA1的面积为S1，△A1D1A2的面积为S2⋅⋅⋅，△A2021D2021A2022的面积为S2022，则S2022= ．

【变式14-4】（2020·甘肃兰州·兰州市外国语学校校考二模）如图，在菱形ABCD中，边长为1，∠A＝60˚，顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去，…，则四边形A2019B2019C2019D2019的面积是 ．
【变式14-5】（2019·甘肃白银·校联考一模）如图，作出边长为1的菱形ABCD，∠DAB＝60°，连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC＝60°，连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形ACC2D2，使∠D2AC1＝60°；…按此规律所作的第2019个菱形的边长为 ．
题型15 与菱形有关的动点问题
【例15】（2023·广东东莞·统考一模）如图菱形ABCD的边长为4cm，，∠A=60°，动点P，Q同时从点A出发，都以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路经向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x0≤x≤8之间的函数关系可用图象表示为（ ）
A．B．C．D．
【变式15-1】（2017·山东潍坊·统考一模）菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B2，0，∠DOB=60°，点E坐标为0,-3，点P是对角线OC上一个动点．则EP+BP的最短距离是 ．

【变式15-2】（2023·湖北省直辖县级单位·模拟预测）用四根一样长的木棍搭成菱形ABCD，P是线段DC上的动点（点P不与点D和点 C重合），在射线BP上取一点M，连接DM，CM，使∠CDM=∠CBP．
操作探究一

(1)如图1，调整菱形ABCD，使∠A=90°，当点M在菱形ABCD外时，在射线BP上取一点N，使BN=DM，连接CN，则∠BMC= ，MCMN=
操作探究二
(2)如图2，调整菱形ABCD，使∠A=120°，当点M在菱形ABCD外时，在射线BP上取一点N，使BN=DM，连接CN，探索MC与MN的数量关系，并说明理由；
拓展迁移
(3)在菱形ABCD中，∠A=120°，AB=6．若点P在直线CD上，点M在射线BP上，且当∠CDM=∠PBC=45°时，请直接写出MD的长．
【变式15-3】（2023·江苏盐城·景山中学校考模拟预测）如图，BD是菱形ABCD的对角线，AB=BD=2cm．动点P从点A出发，沿折线AB-BC以1cm/s的速度向终点C运动，当点P出发后，且不与点B重合时，过点P作PQ∥BD交折线AD-DC于点Q．以PQ为边作正三角形PQE，且点E与BD始终在PQ的同侧．设正三角形PQE与△ABD重叠部分图形的面积为Scm2，点P运动的时间为ts．

(1)当点E落在BD上时，求t的值；
(2)当点P在AB边上时，求S与t之间的函数关系式；
(3)当点E落在∠BDC的平分线上时，直接写出t的值．
【变式15-4】（2023·广东梅州·统考一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=6cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动．以PA为一边作∠APQ=120°，另一边PQ与折线AC-CB相交于点Q，以PQ为边作菱形PQMN，点N在线段PB上．设点P的运动时间为xs，菱形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为ycm2．

(1)当点Q在边AC上时，PQ的长为 cm．（用含x的代数式表示）
(2)当点M落在边BC上时，求x的值．
(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
题型16 菱形与一次函数综合
【例16】（2022·江苏常州·统考二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-43x+4的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边作菱形ABCD，BC∥x轴，则菱形ABCD的周长是 ．
【变式16-1】（2018·江苏无锡·统考一模）已知一次函数y=﹣3x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．直线l过点A且垂直于x轴．两动点D、E分别从A B两点间时出发向O点运动（运动到O点停止）．运动速度分别是每秒1个单位长度和3个单位长度．点G、E关于直线l对称，GE交AB于点F．设D、E的运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，四边形是菱形？判断此时△AFG与AGB是否相似，并说明理由；
（2）当△ADF是直角三角形时，求△BEF与△BFG的面积之比．
题型17 菱形与反比例函数综合
【例17】（2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点O为坐标原点，边CO在x轴正半轴上，∠AOC=60°，反比例函数y=3xx>0的图象经过点A，且交菱形对角线BO于点D，DE⊥x轴于点E，则CE长为（ ）

A．1B．3C．2-3D．3-1
【变式17-1】（2023·浙江嘉兴·统考二模）如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A,C在反比例函数y=kx(k0)的图像上．

(1)求该反比例函数的解析式；
(2)若点N是反比例函数图像上一点，当四边形ABCN是菱形时，求出点N坐标．
【变式17-4】（2023·河南周口·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为6,8，连接OA，过点A作x轴的垂线，垂足为B，∠AOB的平分线与线段AB交于点P．

(1)若反比例函数y=kxx>0的图像经过点P，求反比例函数的解析式．
(2)如图，过点A作x轴的平行线，交射线OP于点Q，过点Q作OA的平行线，交x轴于点R．求证：四边形OAQR是菱形．
【变式17-5】（2023·河南商丘·统考三模）如图，菱形OBAC顶点A在反比例函数y=kx (x>0)的图象上，点B在y轴上，点C为(4,3)．

(1)求k的值；
(2)点P为反比例函数图象上一个动点，过点P作PN⊥x轴于点N，交OA于点M，若PM=MN，求点P的坐标．
题型18 菱形与一次函数、反比例函数综合
【例18】（2023·江苏连云港·统考二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=mxm>0的图像相交于A3,4，B-4,n两点，与x轴相交于点C．

(1)求m和n的值；
(2)若点Pe,f在该反比例函数的图像上，且它到y轴的距离小于3，则f的取值范围是 ；（直接写出答案）
(3)以AC为边在右侧作菱形ACDE．使点D在x轴正半轴上，点E在第一象限，双曲线交DE于点F，连接AF,CF，则△ACF的面积为 ．（直接写出答案）
【变式18-1】（2023·浙江金华·统考一模）如图，已知反比例函数y1=kx与一次函数y2=x+2图象在第一象限内相交于A3,n与x轴相交于点B．
(1)求n和k的值．
(2)根据图象，当y1≥y2时，求x的取值范围．
(3)如图，以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标．
【变式18-2】（2023·安徽合肥·统考模拟预测）如图，已知一次函数y1=32x-3的图象与反比例函数y2=kx第一象限内的图象相交于点A4,n，与x轴相交于点B．
(1)求n和k的值；
(2)如图，以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交CD于点E，连接AE、BE，求S△ABE．
【变式18-3】（2021·山东济南·统考二模）如图，一次函数y=mx+1的图象与反比例函数y=kx的图象相交于A、B两点，点C在x轴正半轴上，点D(1,-2)，连接OA、OD、DC、AC，四边形OACD为菱形．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出反比例函数的值小于2时，x的取值范围；
(3)设点P是直线AB上一动点，且S△OAP=12S菱形OACD，求点P的坐标．
题型19 菱形与二次函数综合
【例19】（2023·江苏盐城·校考三模）规定：若一个四边形中，有且仅有三条边相等，那么我们称这个四边形为“准菱形”
(1)若二次函数y=ax2+bx+c的顶点为A(1,4)，且与x轴交于点B(-1,0)及点C．
①求二次函数表达式．
②y轴上是否存在点D，使得四边形ABDC为“准菱形”，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)已知四边形ABCD，点P为对角线BD上一点，PG∥AD，PQ∥BC，且PG=BG=CQ，
求证：四边形ABCD为“准菱形”．

(3)利用无刻度的直尺及圆规按要求进行作图：分别在线段BC、AD上找点P、Q，使得BP=PQ=QD．
提示：小红同学已写了一些步骤，请你按照小红的思路继续完成（保留作图痕迹；也可作自己的方法）
步骤一：分别以B、D为圆心，相同长度为半径画圆，交BC、AD于点E、F；

【变式19-1】（2022·广东广州·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+4（a＜0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，直线BC与对称轴交于点D．
(1)求二次函数的解析式．
(2)若抛物线y=ax2+bx+4（a＜0）的对称轴上有一点M，以O、C、D、M四点为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．
(3)将抛物线y=ax2+bx+4（a＜0）向右平移2个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点E，点F是新抛物线的对称轴上的一点，点G是坐标平面内一点，当以D、E、F、G四点为顶点的四边形是菱形时，求点F的坐标．
【变式19-2】（2022·湖南永州·统考一模）如图，一次函数y=33x-3图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y=33x2+bx+c图象过A、B两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【变式19-3】（2021·江苏泰州·统考二模）如图，已知二次函数y=ax2-4ax+3a（a>0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，横坐标分别为m，n（m