2025湖北省云学部分重点高中高二上学期12月联考数学试卷含解析

这是一份2025湖北省云学部分重点高中高二上学期12月联考数学试卷含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.椭圆x27+y29=1的长轴长为( )
A. 7B. 3C. 2 7D. 6
2.在空间直角坐标系O−xyz中，点(1,−2,3)关于y轴的对称点为( )
A. (−1,−2,−3)B. (−1,2,−3)C. (−1,−2,3)D. (1,2,3)
3.在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，一定能作为空间向量的一个基底的是( )
A. {AB,AD,B1D1}B. {AB,AA1,C1D1}
C. {AB,A1A,A1D1}D. {AA1,AC,CC1}
4.树人中学参加云学联盟数学考试，小明准备将考试分数制作成频率分布直方图，因时间紧未制作完全，如图，已知考试分数均在区间[65,135]内，记分数的平均数为X，中位数为Y，则( )
A. X>YB. X=Y
C. X0)的焦点F，与抛物线C相交于A，B两点，与y轴相交于点M.若FM=3FA，|FB|=5，则|AB|=( )
A. 253B. 152C. 203D. 356
8.点P是正方体ABCD−A1B1C1D1的表面及其围成的空间内一点，已知正方体的棱长为2，若AB⋅AP=2，AP与平面ABCD所成的角为30∘，则点P的轨迹的形状是( )
A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.随机事件A，B满足P(A)=0.4，P(B)=0.6，P(A∪B)=0.8，则有( )
A. P(AB)=0.2B. P(AB)=0.24C. A，B不是互斥事件D. A，B相互独立
10.平行六面体ABCD−A1B1C1D1所有棱长都等于1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60∘，如图，则有( )
A. |BD1|=2
B. BD1⊥CD
C. 平面AA1C1C⊥平面BB1D1D
D. 平行六面体ABCD−A1B1C1D1的体积为 22
11.在平面直角坐标系内，动点P到两定点F1(−2,0)，F2(2,0)的距离之积等于6，点P的轨迹记为曲线C.曲线C与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，其部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称B. |OA|= 6
C. 当点P位于B点处时，∠F1PF2最大D. 点P到x轴的最大距离为32
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知A(3,0)，B(0,4)，直线y=kx+1将△AOB分割成面积相等的两部分(O为坐标原点)，则k= .
13.在直棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC= 7，BC=4，BB1=2，D为B1C1中点，则直线BD，A1C所成角的余弦值为 .
14.双曲线E:x2a2−y2b2=1的左，右焦点分别为F1，F2，P是双曲线E的右支上的一点，△PF1F2的内切圆圆心为I(1,2)，记△PF1I，△PF2I的面积分别为S1，S2，则S1−S2= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知以坐标轴为对称轴的双曲线C经过点P(1,1)，离心率e= 3.求双曲线C的方程，及其焦点坐标和渐近线方程.
16.(本小题15分)
甲乙两人进行答题活动，每人各答两道题.已知甲答对第1道题的概率为710，答对第2道题的概率为12，乙答对每道题的概率都为35.甲乙答对与否互不影响，各题答对与否也互不影响.
(1)求甲答对一道题的概率;
(2)求甲乙两人答对题目的个数相等的概率.
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC//AD，AD=2，AB=BC=1，经过点C的平面α与侧棱PA、PB、PD分别相交于点Q、E、F，且BD//平面α.
(1)求证：PA⊥平面ABCD;
(2)若平面α与平面PAC的夹角为θ，且csθ= 36，求线段AQ的长度.
18.(本小题17分)
如图，已知圆M:(x−2)2+(y−1)2=25，过坐标原点O作圆M的两条互相垂直的弦AB，CD.
(1)求证：|AB|2+|CD|2为定值;
(2)当AC//BD时，求直线AC的方程和直线BD的方程.
19.(本小题17分)
已知直线l:y=kx+b与圆O:x2+y2=1相切.
(1)求k2−b2的值;
(2)已知椭圆E:x24+y23=1在点P(x0,y0)处的切线方程为x0x4+y0y3=1，若直线l与椭圆E相交于A，B两点，分别过A，B作椭圆E的切线，两条切线相交于点Q，求点Q的轨迹方程;
(3)是否存在这样的二次曲线F:λx2+μy2=1，当直线l与曲线F有两个交点M，N时，总有OM⊥ON?若存在，求出λ+μ的值;若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了椭圆的方程以及性质，属于基础题．
根据椭圆的方程即可求解．
【解答】
解：由已知可得：a2=9，所以a=3，所以椭圆的长轴长为2a=6，
故选D.
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查空间中点的对称，属于基础题．
根据一个点关于y轴对称的点的坐标是只有纵坐标不变，横坐标和竖坐标变为相反数，求解即可．
【解答】
解：∵一个点关于y轴对称的点的坐标是只有纵坐标不变，横坐标和竖坐标变为相反数，
∴点(1,−2,3)关于y轴对称的点的坐标为(−1,−2,−3)，
故选：A.
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查空间向量的基底，属于基础题.
根据空间向量的基底的定义对选项逐项判断即可.
【解答】
解：对于四棱台ABCD−A1B1C1D1，
A选项中，AB，AD，B1D1共面，不符合要求；
B选项中AB，C1D1可能共线，不符合要求;
D选项中，AA1，AC，CC1共面，不符合要求，
故选C.
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查频率分布直方图，平均数、中位数，属于基础题.
计算出Y的值，估计出X的范围，即可判断.
【解答】
解：Y=85+×10=88，
X>70×0.2+80×0.225+90×0.25+100×0.125+110×0.1+115×0.1=89.5，
∴X>Y，
故选A.
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查求圆的标准方程，属于基础题.
求出动直线l恒过定点(1,1)，即圆的圆心，结合圆半径即可得圆方程.
【解答】
解：动直线l:(k+2)x−(k−1)y−3=0，即kx−y+2x+y−3=0，
由x−y=02x+y−3=0⇒x=1y=1，即动直线l恒过定点(1,1)，
因为动直线l:(k+2)x−(k−1)y−3=0被定圆C截得的弦长等于2，
则定点(1,1)为圆的圆心，半径为1，
故圆C的方程为(x−1)2+(y−1)2=1，
故选B.
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查点到直线的距离公式的运用，属于中档题.
根据点到直线的距离公式分情况即可判断.
【解答】
解：当直线l的斜率不存在时，设其方程为x=a，
由题意可知|a−(−2)|=1且|a−2|=3，则a=−1使得两个式子同时成立.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+b，即kx−y+b=0，因为点A(−2,0)到直线l的距离为1，
所以|−2k+b| k2+(−1)2=1 ①.
因为点B(2,0)到直线l的距离为3，所以|2k+b| k2+(−1)2=3 ②.
由①②得|−2k+b||2k+b|=13，则b=4k或b=k.
当b=4k时，
代入①中，得3k2−1=0，该方程有2个不相等的实数根，即k=± 33;
当b=k时，代入①中，得k2=k2+1，该方程无解.
所以这样的直线l共有3条，
故选C.
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查抛物线的定义，考查抛物线的几何性质，考查抛物线中的线段长问题，属于基础题.
根据抛物线的几何性质得出xAxB=p24，根据已知条件得出xA=p3，利用抛物线的定义得出p，再利用抛物线的定义即可得出结论.
【解答】
解：设A(xA,yA)，B(xB,yB)，
抛物线的焦点Fp2,0，直线AB的方程为x=my+p2，
由x=my+p2y2=2px，消去x得，y2−2pmy−p2=0，
则yAyB=−p2，
则有xAxB=yAyB24p2=p24，
由于FM=3FA，FA=xA−p2,yA,FM=−p2,yM−yA，
所以xA=p3，则xB=3p4，
所以|FB|=xB+p2=3p4+p2=54p=5，所以p=4，
故|AB|=|BF|+|AF|=xA+xB+p=253，
故选A.
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查数量积的坐标运算，直线与平面所成角的向量求法，轨迹方程的求法，属于中档题.
由AB⋅AP=2可得，x=1，由cs⟨AP，AA1⟩=12，可得3z2−y2=1，故可判断点P的轨迹的形状.
【解答】
解：分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
设P(x,y,z)，由AB⋅AP=2，可得x=1，①
又cs⟨AP，AA1⟩=|2z|2 1+y2+z2=12，
可得3z2−y2=1，②
由①②可知，P点轨迹为双曲线，
故选C.
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查概率的性质、互斥事件、相互独立事件，属于中档题.
利用P(AUB)=P(A)+P(B)−P(AB)，求出P(AB)，再对各选项逐项判定，即可求出结果.
【解答】
解：由P(AUB)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.4+0.6−P(AB)=0.8，
得P(AB)=0.2，故A正确，B错误;
因为P(AB)=0.2≠0，所以A，B不是互斥事件，故C正确;
因为P(AB)=0.2≠P(A)P(B)=0.4×0.6=0.24，所以A，B不是相互独立事件，故D错误.
故选AC.
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查利用向量求线段的长，利用向量判断线线，面面垂直，柱体的体积，属于中档题.
利用向量对选项逐个计算即可判断.
【解答】
解：对于选项A，由|BD1|=|BA+AD+DD1|= (BA+AD+DD1)2= 1+1+1−1−1+1= 2，所以A错误;
对于选项B，BD1⋅CD=(BA+AD+DD1)⋅CD=1−12−12=0，所以B正确;
对于选项C，BD⋅AA1=(AD−AB)⋅AA1=0，∴BD⊥AA1，又BD⊥AC，AA1∩AC=A，AA1,AC⊂平面AA1C1C，所以BD⊥平面AA1C1C，所以平面AA1C1C⊥平面BB1D1D，故C正确;
由题易知，A1−ABD为正四面体，其体积为V0=13⋅ 34⋅ 63= 212，
所以平行六面体的体积为V=6V0=6× 212= 22，故D正确，
故选BCD.
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查曲线与方程，利用方程研究曲线的性质，属于较难题.
对于A，分别以−x代x，以−y代y，即可判断；对于B，令y=0即可判断；对于C，利用余弦定理和基本不等式即可判断；对于D，利用三角形的面积公式即可判断.
【解答】
解：设P(x,y)，由|PF1|⋅|PF2|=6，可得 (x+2)2+y2⋅ (x−2)2+y2=6，
对于A，由曲线方程可知，将−x代替x，方程不变;将−y代替y，方程不变，故A对；
对于B，令y=0，解得|x−2|⋅|x+2|=6，即x2=10，故B错;
对于C，设∠F1PF2=θ，由余弦定理，有csθ=PF1 2+|PF2|2−162|PF1|⋅|PF2|≥2|PF1|⋅|PF2|−162|PF1|⋅|PF2|=−13，当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立，故C对;
对于D，仍设∠F1PF2=θ，由ΔPF1F2的面积S可知S=12|PF1||PF2|sinθ=12|F1F2||yp|，|yP|=32sinθ，|yp|最大时为32，此时θ=90∘小于∠F1BF2，故D对.
故选ACD.
12.【答案】16
【解析】【分析】
本题考查直线的截距式方程，斜截式方程，直线过定点问题，属于较易题.
易知直线y=kx+1经过点D(0,1)，利用△BCD的面积为△AOB的面积的一半，求出点C的横坐标，由点C在直线AB上，求出点C的纵坐标，再由直线y=kx+1过点C，即可求出k的值.
【解答】
解：直线y=kx+1经过定点D(0,1)，设直线y=kx+1与线段AB相交于点C，
∴S△BCD=12S△AOB=12×xC×3=3，∴xC=2，
易知直线AB的方程为x3+y4=1，∴由点C在直线AB上，可得yC=43，
∴直线y=kx+1过点(2,43)，∴k=16，
故答案为16.
13.【答案】0
【解析】【分析】
本题考查异面直线所成角的向量求法，属于基础题.
建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解.
【解答】
解：取 BC的中点O，连接AO，DO，因为AB=AC，
所以AO⊥BC，以O为坐标原点，OA为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为BC=4，AB=AC= 7，所以OA= 3，
则A1( 3,0,2)，B(0,−2,0)，C(0,2,0)，D(0,0,2)，
所以A1C=(− 3,2,−2)，BD=(0,2,2)，
所以A1C⋅BD=0+4−4=0，
则直线A1C与BD垂直，即直线BD，A1C所成角的余弦值为0，
故答案为0.
14.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查双曲线与三角形相结合设题，双曲线的定义、三角形的面积公式及三角形内切圆的性质，属于中档题.
由已知求出S1=r2|PF1|，S2=r2|PF2|，作差得到 S1−S2=r2(|PF1|−|PF2|)=ar，进一步求r和a，即可解决问题.
【解答】
解：由题设△PF1F2内切圆的半径为r，则S1=r2|PF1|，S2=r2|PF2|，
∴ S1−S2=r2(|PF1|−|PF2|)=ar.
过点M作MA⊥PF1于点A，MB⊥F1F2于点B，MC⊥PF2于点C，
则由△PF1F2的内切圆圆心为I(1,2)，知r=2，
|AF1|=|BF1|=1+c，|BF2|=|CF2|=c−1，|AP|=|PC|，故|PF1|−|PF2|=|AF1|−|CF2|=1+c−(c−1)=2a，得a=1，
故S1−S2=2.
故答案为2.
15.【答案】解：因为双曲线离心率e=ca= 3，则ba= b2a2= e2−1= 2，
即b= 2a，c= 3a.
若焦点在x轴上，则双曲线方程为x2a2−y22a2=1，
代入点P(1,1)可得1a2−12a2=1，解得a2=12，
所以双曲线方程为2x2−y2=1，焦点坐标为± 62,0，渐近线方程为y=± 2x;
若焦点在y轴上，则双曲线方程为y2a2−x22a2=1，
代入点P(1,1)可得1a2−12a2=1，解得a2=12；
所以双曲线方程为2y2−x2=1，焦点坐标为0,± 62，渐近线方程为y=± 22x.
【解析】本题考查双曲线的方程与性质，属于基础题.
根据离心率可得b= 2a，c= 3a.分类讨论焦点所在位置，设双曲线方程代入点P(1,1)求得a，即可得结果.
16.【答案】解：(1)记甲答对第i题为事件Ei(i=1,2)，则P(E1)=710，P(E2)=12.
记甲答对i道题为事件Ai(i=0,1,2)，则A1=E1E2+E1E2，
其中E1E2与E1E2互斥，E1，E2相互独立，
所以甲答对一道题的概率为P(A1)=P(E1E2)+P(E1E2)=710×12+310×12=12;
(2)记乙答对i道题为事件Bi(i=0,1,2)，
则P(A0)=310×12=320，P(A1)=12，P(A2)=710×12=720.
P(B0)=25×25=425，P(B1)=2×35×25=1225，P(B2)=35×35=925.
记甲乙两人答对题数相等为事件C，则C=A0B0+A1B1+A2B2，
且A0B0、A1B1、A2B2两两互斥，Ai与Bi(i=0,1,2)相互独立，
P(C)=P(A0B0)+P(A1B1)+P(A2B2)=320×425+12×1225+720×925=39100.
【解析】本题考查互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式，属于中档题.
(1)对甲答对一道题分类：第1题答对且第2题答错，第1题答错且第2题答对;
(2)对甲乙两人答对题目的个数相等分类：两人都答对0题，都答对1题，都答对2题.
17.【答案】解：(1)证明：因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AB⊥AD，
AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面PAB，
又PA⊂平面PAB，故AD⊥PA;
同理因为平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PA，
又因为AB、AD是平面ABCD内两相交直线，
所以PA⊥平面ABCD;
(2)以AB、AD、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则B(1,0,0)，D(0,2,0)，C(1,1,0)，设Q(0,0,λ)(λ>0)，
则BD=(−1,2,0)，CQ=(−1,−1,λ)，
因为BD//平面α，BD⊂平面PBD，平面PBD∩平面α=EF，所以BD//EF，
设平面α的法向量为n=(x,y,z)，则n⊥BD，n⊥CQ，
得n⋅BD=−x+2y=0n⋅CQ=−x−y+zλ=0，取y=λ，则n=(2λ,λ,3)，
记AD中点为M，则AC⊥BM，又PA⊥BM，
所以BM⊥平面PAC，
则可取平面PAC的法向量为BM=(−1,1,0)，
由csθ=|cs|=n⋅BMnBM=|λ| 2 5λ2+9= 36，
解得λ=3.
线段AQ的长度为3.
【解析】本题考查直线与平面垂直的判定，平面的夹角，属于中档题.
(1)利用面面垂直的性质得出直线AB，AD都垂直于PA，再利用线面垂直的判定定理即可得出结论；
(2)建立空间直角坐标系，利用向量根据平面的夹角即可求出线段AQ的长.
18.【答案】解：由题意可知：圆M的圆心为M2,1，半径r=5，
(1)设AB,CD的中点分别为E,F，
则ME⊥AB,MF⊥CD，且AB⊥CD，
可知EOFM为矩形，则ME2+MF2=OM2=5，
所以AB2+CD2=4r2−ME2+4r2−MF2=200−4ME2+MF2=180
为定值；
(2)因为点O在圆M内，可知过点O的直线与圆M必相交，
分析可知，当直线AB或CD中有斜率不存在时不满足，
根据对称性不妨假设直线AB的斜率存在，设直线AB:y=kx，Ax1,y1,Bx2,y2,x1=λx2，
联立方程x−22+y−12=25y=kx，消去y可得k2+1x2−2k+2x−20=0，
则x1+x2=2k+2k2+1,x1x2=−20k2+1，即1+λx2=2k+2k2+1,λx22=−20k2+1，
消去x2可得4λk+22k2+12=−201+λ2k2+1，整理可得λ1+λ2=−5k2+1k+22，
可知直线CD的斜率不为0，设直线CD:x=−ky，Cx3,y3,Dx4,y4,y3=μy4，
联立方程x−22+y−12=25x=−ky，消去x可得k2+1y2+22k−1y−20=0，
则y3+y4=−22k−1k2+1,y3y4=−20k2+1，
即1+μy4=−22k−1k2+1,μy42=−20k2+1，
消去y4可得4μ2k−12k2+12=−201+μ2k2+1，整理可得μ1+μ2=−5k2+12k−12，
若AC//BD，则λ=μ，可得λ1+λ2=μ1+μ2，
即−5k2+1k+22=−5k2+12k−12，解得k=3或k=−13，
根据对称性不妨取k=3，代入求解，不妨取A−1,−3,B2,6,C−3,1,D6,−2，
所以直线AC的方程为2x+y+5=0，直线BD的方程为2x+y−10=0.
(或直线AC与直线BD互换)
【解析】本题考查直线与圆的位置关系的应用，属于较难题；
(1)取弦的中点，可得ME2+MF2=5，利用垂径定理求弦长，进而分析证明；
(2)设直线AB:y=kx，Ax1,y1,Bx2,y2,x1=λx2，联立方程利用根与系数关系可得λ1+λ2=−5k2+1k+22，同理可得μ1+μ2=−5k2+12k−12，若AC//BD，则λ=μ，进而解得k，求交点坐标，进而可得直线方程.
19.【答案】解：(1)由直线l与圆O相切，可得圆心O到直线l的距离d=|b| 1+k2=1，
即k2−b2=−1;
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，Q(xQ,yQ)，由条件所给的公式，
可知椭圆E在点A(x1,y1)处的切线AQ方程为x1x4+y1y3=1.
又因为点Q(xQ,yQ)在切线AQ上，可得x1xQ4+y1yQ3=1①，
同理可得x2xQ4+y2yQ3=1②，
由①②，可知A(x1,y1)，B(x2,y2)都在直线xQx4+yQy3=1上，
即直线AB方程为xQx4+yQy3=1③，因为圆O与直线AB相切，
所以点O到直线AB的距离d=1 (xQ4)2+(yQ3)2=1，
所以xQ216+yQ29=1，
由于点Q(x0,y0)具有任意性，且直线l的斜率存在，故点Q的轨迹方程为x216+y29=1(y≠0)，
(3)假设存在曲线F满足条件，设M(x3,y3)，N(x4,y4)，联立y=kx+bλx2+μy2=1，
消去y，得(λ+μk2)x2+2kbμy+μb2−1=0，Δ>0，
则x3+x4=−2kbμλ+μk2，x3x4=μb2−1λ+μk2，
由OM⊥ON，
所以OM⋅ON=x3x4+y3y4
=(k2+1)x3x4+kb(x3+x4)+b2
=(k2+1)×ub2−1λ+uk2+kb×(−2kbuλ+uk2)+b2
=b2(λ+μ)−(k2+1)λ+μk2，
由(1)可知：b2=k2+1，
∴上式=(k2+1)(λ+μ−1)λ+μk2=0恒成立，
所以存在曲线F，且λ+μ=1.
【解析】本题考查直线与圆的位置关系的判断及求参，与椭圆有关的轨迹问题，向量的数量积与向量的垂直关系，属于较难题.
(1)利用圆心到直线的距离等于圆半径即可求出答案；
(2)分别求出切线AQ，BQ的方程，由两方程即可求出AB的方程，因为圆O与直线AB相切，所以点O到直线AB的距离等于1，即可求出点Q的轨迹方程.
(3)由OM⋅ON=0，即可求出λ+μ=1.