小学科学苏教版六年级下册2.应用第4课时同步测试题

这是一份小学科学苏教版六年级下册2.应用第4课时同步测试题，共15页。

知识点一 证明思路的分析
1.证明思路
要想证明一个命题是否正确,我们在思考时,可以由最后的结论反着向前追溯证明
2.证明思路的分析方法
先定位清楚题目“要证什么？”，然后再罗列出我们“需知什么”也就是要准备哪些条件,由此再考虑“只要证什么”,一直追溯到“已知”而证明的表述
证明逻辑顺序：“已知”→“可知”→“结论”.
3.证明的一般步骤
(1)分清命题的题设和结论;
如果问题与图形有关，要根据条件画出图形，并在图形上标出有关的字母与符号.
注意：无图几何、“射线”或“直线”等几何问题，我们可能还需要进行分类讨论.
(2)结合图形,写出已知求证;
(3)分析因果关系找出证明途径;
(4)有条理地写出证明过程(每一步推理都要有推理的依据).
知识点二 几何证明中常用的证明方法
题型1 简单的证明（辅助线的应用）
1．如图，已知，，求证：．
2．如图，已知，相交于点，且，，，．
（1）求证：；
（2）求的度数．
3．已知：如图，，．求证：．
4．如图，已知平分，于点，．求证：．
5．已知，如图，在中，，，平分，于，交于，求证：．
6．如图，已知点为等腰直角内一点，，，为延长线上的一点，且．
（1）求证：平分；
（2）若点在上，且，求证：．
题型2 构造平行线证明（辅助线的应用）
1．如图，已知在中，，是上一点，延长至点，使．联结交于点，求证：．
2．如图，中，是边的中点，过点的直线交于点，交的延长线于点，且．
求证：．
3．已知：如图，是的中点，点在上，且．
求证：．
4．如图，在锐角中，点是边上一点，，于点，与交于点．
（1）求证：；
（2）求证：是等腰三角形．
（3）若，求的值．
5．如图，平分交于，点为上一点， 且，交于． 求证：．
6．在等边中，动点在上，点在的延长线上，且．
（1）如图1，当点是中点时，求证：；
（2）当点不是中点时，判断线段与的数量关系，并结合图2说明理由；
（3）点在直线上运动，当时，若，请直接写出的长．
题型3 倍长中线法（辅助线的应用）
1．已知：如图，中，、在上，且，过作，交于点，平分．
求证：．
2．阅读材料并解答下列问题．
（1）在中，若，，则边上的中线的取值范围是 ．
（2）如图①，在中，点是边上的中点，交于点，交于点，且，若，，求线段的长度．（请根据阅读材料添加辅助线，并加以说明）
（3）如图②，在中分别以、为边向外作等腰直角和，点是的中点，联结、，当时， ．
3．阅读以下材料，完成以下两个问题．
阅读材料已知：如图，中，、在上，且，过作交于点，．求证：平分．
结合此题，，点是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示
以图（1）为例，证明过程如下：
证明：延长至，使，连接．
在和中，
，
．
，．
，
．
．
．
，
．
．
平分．
问题1：参考上述方法，请完成图（2）的证明．
问题2：根据上述材料，完成下列问题：
已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，，，，，求的长．
题型4 截长补短法（辅助线的应用）
1．如图，在中，，是的平分线，求证：．
2．如图①，，平分，平分．
（1）求的度数；
（2）如图②，过点的直线交射线于点，交射线于点．求证：．
3．已知：在中，，平分，交于点，点在线段上（点不与点，重合），且．
（1）如图1，若，且，则 ， ．
（2）如图2．
①求证：；
②若，且，求的度数．
4．【方法回顾】如图1，在中，，分别是边，的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长到点，使，连接，证明，再证四边形是平行四边形即得证．
（1）上述证明过程中：
①证明的依据是 ．
．
．
．
．
②证明四边形是平行四边形的依据是 ；
【类比迁移】
（2）如图2，是的中线，交于点，交于点，且，求证：．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．
证明：如图2，延长至点，使，连接，请根据小明的思路完成证明过程；
【理解运用】
5．综合与实践徐老师给爱好学习的小敏和小洁提出这样一个问题：如图1，在中，，是的平分线．求证：．
（1）解决问题：小敏的证明思路：在上截取，连接．（如图
小洁的证明思路：延长至点，使，连接．（如图
请你任意选择一种思路完成证明．
问题升华：如图4，在中，若，，是外角的平分线，交的延长线于点，则线段，，之间的数量关系又如何？请证明．
题型5 延长法（辅助线的应用）
1．如图，在四边形中，，，，连接．求证：．
2．如图，四边形中，，是上一点，连接，，，．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，求．
3．【思维探究】
（1）如图1，在四边形中，，，，连接．
求证：．
小明的思路是：延长到点，使，连接．根据．
推得，从而得到，然后证明，从而可证，请你帮助小明写出完整的证明过程；
【思维延伸】
（2）如图2，四边形中，，，连接，猜想、、之间
的数量关系，请说明理由．
4．（1）如图1，在四边形中，，，，连接，，，连接．求证：．
小明的思路是：延长到点，使 ，连接．根据，推得，从而得到 ，然后证明 ，再证明 为等边三角形．从而可证．
（2）如图2，四边形中，，，连接，猜想，，之间的数量关系，并说明理由．
（3）在四边形中，，，与相交于点．若四边形中有一个内角是，请直接写出线段的长．
题型4 正方形模型（辅助线的应用）
1．如图，正方形中，、是、边上两点，且，于，求证：．
2．如图，正方形中，、为，的上点且，求证：．
3．已知：如图，正方形的边上有一动点（与点，不重合），连接，延长至点，使得，过点作于点，交正方形的对角线于点．若．
（1）求的大小（用含的式子表示）；
（2）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
4．【问题背景】
如图1：在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图中线段、、之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ．
【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【学以致用】
如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长．
题型5 旋转模型（辅助线的应用）
1．如图①，，平分，平分．
（1）过点作直线，分别交、于、，求证：△是直角三角形．
（2）如图②，将直线绕点转动，使交于，交的延长线于点，则、、三条线段的长度之间存在何种等量关系？请你写出结论并加以证明．
（3）将直线绕点继续转动，使交于，交的反向延长线于，则、、三条线段的长度之间存在何种等量关系？请画出图形，并直接写出你的结论，不必证明．
结论： ．
2．综合与实践
主题：研究旋转的奥妙．
素材：一张等边三角形硬纸板和一根木棍．
步骤：如图，将一根木棍放在等边三角形硬纸板上，木棍一端与等边三角形的顶点重合，点在上（不与点，重合），将木棍绕点顺时针方向旋转，得到线段，点的对应点为，连接．
猜想与证明：
（1）直接写出线段与线段的数量关系．
（2）证明（1）中你发现的结论．
3．已知：点为的角平分线的任意一点，与互补，的两边与的两边交于、两点．
（1）如图1，当绕着点旋转时，和的数量关系是 ，请验证你的结论；
（2）如图2，若时，与仍然互补，这时与还相等吗？并加以证明．
证明类型
证明方法
证明两直线平行
利用平行线性质判定定理和公理
证明两线段相等
证法1：如果两线段分别在两个三角形中可证两个三角形全等
证法2：如果两线段在一个三角形中，可证它们所对的角
证法3：可以借助一条线段证明两线段都等于第二条
证明两角相等
证法1:利用平行线的性质证两角相等;
证法2：如果两角分别在两个三角形中,可证这两个三角形全等;
证法3：如果两角在一个三角形中，可证它们所对的边相等(等腰三角形的性质)
证明两直线互相垂直
证法1：利用垂直定义;
证法2：利用等腰三角形“三线合一”
解题技巧提炼
通过联结辅助线来证明（8字型）三角形全等，注意公共边的条件.
解题技巧提炼
先做辅助线构造平行线，然后利用平行线的性质得到边角关系证明三角形全等.
解题技巧提炼
如果遇到中点，我们一般可以考虑用倍长中线法证明三角形全等（SAS）.
阅读材料：出现“中点”、“中线”等条件的辅助线添加方法
如图在中，若，，求边上的中线的取值范围．
解：延长至点，使，联结，
因为是边上的中线
所以，
在与中，
，
所以，
所以，
因为在中，，
又因为，，
所以，
所以．
解题技巧提炼
通过截取线段长度，构造相等的边的关系证明三角形全等，此类题型多以SAS进行判定.
解题技巧提炼
通过延长线段长度，构造相等的边的关系证明三角形全等，此类题型多以SAS进行判定.
解题技巧提炼
正方形模型常考半角模型、图外旋转构造直角三角形与已知直角三角形全等.
解题技巧提炼
如果已知条件很难推理出三角形全等，我们不妨结合已知角度进行旋转图形，构造三角形全等.此类题型多考查ASA、SAS.