澄迈中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份澄迈中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是( )
A.①③B.②④⑤C.③④D.①②⑤⑥
2．命题“，”的否定为( )
A.，B.，
C.，D.，
3．已知，，，则的最小值是( )
A.4B.C.5D.9
4．下列各组函数表示同一函数的是( )
A.，B.，
C.，D.，
5．已知函数则( )
A.-1B.1C.2D.5
6．已知函数的定义域是，则函数的定义域是( )
A.B.
C.D.
7．已知函数是定义域为R的奇函数，且当时，.若函数在上的最小值为3，则实数a的值为( )
A.1B.2C.3D.4
8．若函数在区间上的最大值为，则实数( )
A.3B.C.2D.或3
二、多项选择题
9．已知，则下列不等式正确的是( )
A.B.C.D.
10．下列关于幂函数描述正确的有( )
A.幂函数的图像必定过定点和
B.幂函数的图像不可能过第四象限
C.当幂指数，，3时，幂函数是奇函数
D.当幂指数，3时，幂函数是增函数
11．已知，则等于( )
A.B.C.1D.-1
三、填空题
12．已知幂函数是偶函数，则__________.
13．若函数且，则__________.
14．若，，则的最小值为__________.
四、解答题
15．已知集合，集合.
(1)当时，求；
(2)若______，求实数a的取值范围
在①；②“”是“”的必要不充分条件；③，这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并解答（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
16．如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过C点已知米，米，设AN的长为米
(1)要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长度在什么范围内？
(2)求当AM，AN的长度分别是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出此最小值；
17．已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，.
(1)现已画出函数在y轴左侧的图像，如图所示，请补出完整函数的图像，并根据图像写出函数的增区间；
(2)写出函数的解析式和值域
18．珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热、发泡等工艺制成的一种新型的包装材料，疫情期间珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入x万元，珍珠棉的销售量可增加p吨，其中，每吨的销售价格为万元，另外每生产1吨珍珠棉还需要投入其他成本0.5万元
(1)写出该公司本季度增加的利润y与x（单位：万元）之间的函数关系；
(2)当x为多少万元时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？
19．已知函数，且，
(1)的解析式，并写出其定义域；
(2)用函数单调性的定义证明：在上单调递减
(3)若对任意，不等式恒成立，求实数c的取值范围
参考答案
1．答案：C
解析：对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确；
对②：因为集合，故正确，即②正确；
对③：空集是一个集合，而集合是以空集为元素的一个集合，
因此不正确；
对④：是一个集合，仅有一个元素0，
但是空集不含任何元素，于是，故④不正确；
对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确；
对⑥：显然成立，因此⑥正确
综上，本题不正确的有③④，于是本题选项为C.
故选：C.
2．答案：A
解析：命题“，”的否定就是把任意改为存在且大于零改为小于等于零，
故其否定为：，，
故选：A.
3．答案：B
解析：因为，
又，所以，
当且仅当，时取，故选B.
4．答案：C
解析：对于A，，
定义域和对应法则不一样，故不为同一函数；
对于B，，，定义域不同，故不为同一函数；
对于C，，，定义域和对应法则均相同，故为同一函数：
对于D，，，，
定义域不同，故不为同函数
故选：C.
5．答案：C
解析：，
故选：C
6．答案：C
解析：由题意得：，
解得：，
由，解得：，
故函数的定义域是，
故选：C.
7．答案：D
解析：因为是定义域为R的奇函数，
且当时，.
当时，，则，
所以当时，，此时
当时，在上恒成立，
函数在上单调递增，
当时，函数取得最小值，解得（舍，
当时，，，函数单调递减；
，，函数单调递增，
时，函数取得最小值，
解得，
综上，.
故选：D.
8．答案：B
解析：函数，
即，，
当时，不成立；
当，即时，在递减，
可得为最大值，
即，解得成立；
当，即时，在递增，可得为最大值，
即，解得不成立；
综上可得.
故选：B
9．答案：BCD
解析：对于A选项，，A错；
对于B选项，因为，则，，
，
故，B对；
对于C选项，因为，则，
由基本不等式可得，C对；
对于D选项，因为，
则，，，
，
所以，，D对
故选：BCD.
10．答案：BD
解析：选项A：幂函数的图像必定过定点，
不一定过，例，故A错误；
选项B：幂函数的图像不可能过第四象限，正确；
选项C：当幂指数时，幂函数不是奇函数，故C错误；
选项D：当幂指数时，幂函数是增函数，正确；
故选：BD
11．答案：AB
解析：令，
，
故选：AB
12．答案：-1
解析：因为函数是幂函数，
所以，解得或，
当时，的定义域为，不符合题意；
当时，的定义域为，
且，则为偶函数，符合题意
综上所述，.
故答案为：-1.
13．答案：0
解析：因为，
所以，解得.
故答案为：0
14．答案：
解析：，
，
当且仅当时，
即，等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：.
15．答案：(1)；
(2)答案见解析
解析：(1)依题意，，
当时，，
所以.
(2)选①，，由(1)知，，
因此，解得，
所以实数a的取值范围是.
选②，因“”是“”的必要不充分条件，
则，由(1)知，，
因此或，
解得或，即有，
所以实数a的取值范围是.
选③，，由(1)知，，
因此或，
解得或，
所以实数a的取值范围是或.
16．答案：(1)
(2)，最小面积为48平方米
解析：(1)设的长为x米
是矩形
由，得
，
解得或
即的取值范围为
(2)令，，则
当且仅当，即时，等号成立，
此时，最小面积为48平方米
17．答案：(1)递增区间是，，图像见解析
(2)
解析：(1)因为函数为偶函数,故图像关于y轴对称,补出完整函数图像如图所示:
由图可得函数的递增区间是,.
(2)设,则,所以,
因为是定义在R上的偶函数,
所以,
所以时,,
故的解析式为,
由图像可得值域为.
18．答案：(1)
(2)万元时，公司在本季度增加的利润最大，最大为8万元
解析：(1)由题意，列出函数关系式可得，
又因为，
所以，
所以该公司本季度增加的利润y与x（单位：万元）之间的函数关系为
；
(2)当时，
化简，
因为，所以，
由基本不等式可得，，
当且仅当，即时等号成立，所以，
此时当万元时，公司本季度增加的利润最大，最大为8万元；
当时，为减函数，所以当时，y有最大值为；
因为，所以当万元时，公司本季度增加的利润最大，最大为8万元
19．答案：(1)
(2)证明见解析
(3)
解析：(1)由已知可得，
解得，，
∴.
(2)任取，，且，
则，
∵，，且，
∴，，，
∴，
即，
∴在上单调递减
(3)由，不等式可化为，
因为对任意，不等式恒成立，即，
由(1)知，函数在为单调递减函数，
所以，
所以，
即实数c的取值范围.