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    辽宁省沈文新高考研究联盟2025届高三上学期12月月度质量监测数学试卷(含答案)

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    辽宁省沈文新高考研究联盟2025届高三上学期12月月度质量监测数学试卷(含答案)

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    这是一份辽宁省沈文新高考研究联盟2025届高三上学期12月月度质量监测数学试卷(含答案),共16页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、选择题
    1.设集合,,则( )
    A.B.
    C.D.
    2.已知i是虚数单位,则复数,,若是实数,则实数a的值为( )
    A.B.2C.0D.1
    3.不等式成立的一个充分不必要条件是( ).
    A.B.C.D.
    4.一百零八塔,位于宁夏吴忠青铜峡市,是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群,是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一,塔的排列顺序自上而下,第一层1座,第二层3座,第三层3座,第四层5座,第五层5座,从第五层开始,每一层塔的数目构成一个首项为5,公差为2的等差数列,总计一百零八座,则该塔共有( )
    A.八层B.十层C.十一层D.十二层
    5.已知某圆锥的母线长为2,记其侧面积为S,体积为V,则当取得最大值时,母线与底面所成角的正弦值为( )
    A.B.C.D.
    6.已知函数,将图象上所有点向右平移个单位长度得到函数的图象,若是奇函数,在上单调递增,则的最大值为( )
    A.B.1C.2D.3
    7.已知圆的圆心为,且直线与圆相切,则圆的标准方程为( )
    A.B.
    C.D.
    8.如图,棱长为的正方体的内切球为球O,E,F分别是棱,的中点,G在棱上移动,则( )
    A.对于任意点G,平面
    B.直线被球O截得的弦长为
    C.过直线的平面截球O所得的所有截面圆中,半径最小的圆的面积为
    D.当G为的中点时,过E,F,G的平面截该正方体所得截面的面积为
    二、多项选择题
    9.下列通项公式中,对应的数列是递增数列的是( )
    A.B.
    C.D.
    10.已知,.若,则( )
    A.的最小值为9B.的最小值为9
    C.的最大值为D.的最大值为
    11.已知内角A,B,C对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是( )
    A.若,则
    B.若,则为等腰三角形
    C.若,则为锐角三角形
    D.若,,的三角形有两解
    三、填空题
    12.若函数是奇函数,则________.
    13.在《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图如图所示,俯视图中虚线恰好平分矩形的面积,则该“堑堵”的正视图的面积是________,体积是________.
    14.已知抛物线的焦点为F,过点F的直线与抛物线C交于点,,若点,且,则直线的斜率为________.
    四、解答题
    15.已知函数.
    (1)函数取得最大值或最小值时的x组成集合A,将集合A中的所有x的值,从小到大排成一数列,记为,求数列的通项公式;
    (2)令,求数列的前n项和.
    16.某学习小组在一次研究性学习中发现,以下三个式子的值都等于同一个常数,
    (1)求出这个常数;
    (2)结合(1)的结果,将该小组的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.
    17.在如图所示的五面体中,四边形为直角梯形,,平面平面,,是边长为2的正三角形.
    (1)证明:平面;
    (2)证明:平面.
    18.已知双曲线的焦点为,且过点.
    (1)求双曲线E的方程;
    (2)过点F作斜率分别为,的直线,,直线交双曲线E于A,B两点,直线交双曲线E于C,D两点,点M,N分别是,的中点,若,试判断直线是否过定点?若是,则求出该定点坐标;若不是,请说明理由.
    19.已知函数为自然对数的底数
    (1)求在处的切线方程;
    (2)当时,,求实数a的最大值;
    (3)证明:当时,在处取极小值.
    参考答案
    1.答案:C
    解析:设集合,
    可得:,且,故.
    故选:C.
    2.答案:A
    解析:因为,
    因为是实数,则,解得.
    故选:A.
    3.答案:A
    解析:不等式化为,即,,解得,不等式成立的充要条件是所以不等式成立的一个充分不必要条件是,故选A.
    4.答案:D
    解析:设该塔共有层,
    则,
    即,
    解得或(舍),
    即该塔共有层.
    故选:D
    5.答案:A
    解析:如图,C为圆锥底面的中心,则底面圆C,
    则即为圆锥母线与底面所成的角,
    设圆锥的半径为,则圆锥的高为,
    所以,
    当且仅当即,
    则母线与底面所成角的正弦值为.
    故选:A.
    6.答案:C
    解析:依题意,为奇函数,
    则,即,,
    由于,所以,,
    因为,则,
    由于在上单调递增,
    可得,解得,所以的最大值为2.
    故选:C.
    7.答案:A
    解析:因为直线与圆相切,设圆的半径为r,
    则,
    所以圆的标准方程为.
    故选:A.
    8.答案:C
    解析:对于A,根据已知条件圆O为以O为圆心,半径的圆;G在棱上移动,
    当G与点A重合时,平面即为平面,因为D在直线上,
    所以平面,所以与平面相交,A错误;
    对于B,以D点为坐标原点,、、所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
    则、、、,
    则,,,
    设直线与直线夹角为,则,
    由此可知,连结,过O作直线的垂线,垂足为M,
    则在中,有,解得,
    设直线被球O截得的弦长为l,则,B错误;
    对于C,过直线的平面截球O所得的所有截面圆半径最小时,有垂直于过的平面,
    此时圆的半径为,圆的面积为,C正确;
    对于D,根据题意当G为的中点时,
    过E,F,G的平面截该正方体所得截面为正六边形,,
    在中,,所以边长,
    所以截面面积为,D错误.
    故选:C
    9.答案:ABD
    解析:对于A,由于,故数列是递增数列;
    对于B,由于,故数列是递增数列;
    对于C,由于,,,故数列不是递增数列;
    对于D,由于,,
    当时,,,即,
    又,所以数列是递增数列.
    故选:ABD.
    10.答案:BC
    解析:由题意知,.
    A.,
    当,即时,等号成立,
    所以的最小值是4,故A不正确;
    B.,
    当,,时,等号成立,
    所以的最小值为9,故B正确;
    C.由于,,故,
    当时等号成立,即时等号成立,
    所以的最大值为,故C正确;
    D.,
    当且仅当时,即时,等号成立,
    但,所以等号不能成立,故D不正确.
    故选:BC.
    11.答案:ABD
    解析:对于A,因为,则由正弦定理可得,
    ,所以,即,故A正确;
    对于B,由余弦定理得,
    化简得,故为等腰三角形,故B正确;
    对于C,由余弦定理,
    因为,所以,故只能判断C为锐角,无法判断A,B,故C错误;
    对于D,若,则由正弦定理得,
    因为,所以三角形有两解,故D正确;
    故选:ABD.
    12.答案:
    解析:若,则,故,而,
    所以.
    故答案为:
    13.答案:1;2
    解析:由三视图可知,该几何体的直观图如下图所示:
    该几何体为直三棱柱,正视图为等腰直角三角形,且斜边长上的高为1,斜边长为,
    故该“堑堵”的正视图的面积是,体积为.
    故答案为:1;2.
    14.答案:
    解析:设直线的斜率为k,,,则直线,,
    联立方程,消去y得,,
    则,,
    故,,
    设直线的倾斜角为,则,
    则,
    故,
    令,解得.
    故答案为:.
    15.答案:(1),;
    (2).
    解析:(1)由,
    所以且时,最小值为,且时,最大值为2,
    结合题意知,,故,
    (2)由,
    所以.
    16.答案:(1)
    (2)当时,,证明见详解
    解析:(1)因为
    ,
    故常数为;
    (2)推广:当时,.
    证明:因为,则,
    .
    17.答案:(1)见解析
    (2)见解析
    解析:(1)因为四边形为直角梯形,
    所以AB//CD,又平面CDEF,平面CDEF,
    所以AB//平面CDEF,
    又平面BAEF,平面平面,
    所以,又平面,平面,
    所以平面.
    (2)取的中点N,连接,,,,依题意易知,
    又因为平面平面,平面平面,
    所以平面,又平面,所以,
    又,,所以,
    所以,又,所以平面,
    又平面,所以,
    因为平面平面,平面平面,,
    所以平面,,由(1)有:,所以,
    在和中,,,
    又,所以,所以.
    因为,,平面,所以平面.
    18.答案:(1)
    (2)过定点,
    解析:(1)由题意知,
    解得,,
    所以双曲线E的方程是;
    (2)直线的方程为,设,,.
    由,得,
    所以,
    所以,所以,
    所以,
    同理可得,
    因为,所以,即,
    当且时,,
    所以直线的方程为,
    ,
    ,
    ,
    ,
    所以,
    所以直线过定点;
    当或时,直线的方程为,所以直线过定点.
    综上,直线过定点.
    19.答案:(1)
    (2)
    (3)证明见解析
    解析:(1)
    ,且,则所以在处的切线方程为
    (2)当时,,即,当时,,当时,,即,令,
    则,
    因为,所以
    当时,,在上单调递增;当时,,在上单调递减,所以,所以
    所以实数a的最大值为.
    (3)令,
    若,当,和都单调递增,所以单调递增,
    ①当,即时,则,,则在上单调递增,而,所以当时,,所以在上单调递减;当时,,所以在上单调递增;所以在处取极小值;
    ②当,即时,且,
    单调递增,所以存在,使得,且时,,则在上单调递增,而,
    所以当时,,所以在上单调递减;
    当时,,所以在上单调递增;
    所以在处取极小值.
    综上,当时,在处取极小值.
    ;
    ;
    .

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