辽宁省沈文新高考研究联盟2025届高三上学期12月月度质量监测数学试卷(含答案)
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这是一份辽宁省沈文新高考研究联盟2025届高三上学期12月月度质量监测数学试卷(含答案),共16页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、选择题
1.设集合,,则( )
A.B.
C.D.
2.已知i是虚数单位,则复数,,若是实数,则实数a的值为( )
A.B.2C.0D.1
3.不等式成立的一个充分不必要条件是( ).
A.B.C.D.
4.一百零八塔,位于宁夏吴忠青铜峡市,是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群,是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一,塔的排列顺序自上而下,第一层1座,第二层3座,第三层3座,第四层5座,第五层5座,从第五层开始,每一层塔的数目构成一个首项为5,公差为2的等差数列,总计一百零八座,则该塔共有( )
A.八层B.十层C.十一层D.十二层
5.已知某圆锥的母线长为2,记其侧面积为S,体积为V,则当取得最大值时,母线与底面所成角的正弦值为( )
A.B.C.D.
6.已知函数,将图象上所有点向右平移个单位长度得到函数的图象,若是奇函数,在上单调递增,则的最大值为( )
A.B.1C.2D.3
7.已知圆的圆心为,且直线与圆相切,则圆的标准方程为( )
A.B.
C.D.
8.如图,棱长为的正方体的内切球为球O,E,F分别是棱,的中点,G在棱上移动,则( )
A.对于任意点G,平面
B.直线被球O截得的弦长为
C.过直线的平面截球O所得的所有截面圆中,半径最小的圆的面积为
D.当G为的中点时,过E,F,G的平面截该正方体所得截面的面积为
二、多项选择题
9.下列通项公式中,对应的数列是递增数列的是( )
A.B.
C.D.
10.已知,.若,则( )
A.的最小值为9B.的最小值为9
C.的最大值为D.的最大值为
11.已知内角A,B,C对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是( )
A.若,则
B.若,则为等腰三角形
C.若,则为锐角三角形
D.若,,的三角形有两解
三、填空题
12.若函数是奇函数,则________.
13.在《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图如图所示,俯视图中虚线恰好平分矩形的面积,则该“堑堵”的正视图的面积是________,体积是________.
14.已知抛物线的焦点为F,过点F的直线与抛物线C交于点,,若点,且,则直线的斜率为________.
四、解答题
15.已知函数.
(1)函数取得最大值或最小值时的x组成集合A,将集合A中的所有x的值,从小到大排成一数列,记为,求数列的通项公式;
(2)令,求数列的前n项和.
16.某学习小组在一次研究性学习中发现,以下三个式子的值都等于同一个常数,
(1)求出这个常数;
(2)结合(1)的结果,将该小组的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.
17.在如图所示的五面体中,四边形为直角梯形,,平面平面,,是边长为2的正三角形.
(1)证明:平面;
(2)证明:平面.
18.已知双曲线的焦点为,且过点.
(1)求双曲线E的方程;
(2)过点F作斜率分别为,的直线,,直线交双曲线E于A,B两点,直线交双曲线E于C,D两点,点M,N分别是,的中点,若,试判断直线是否过定点?若是,则求出该定点坐标;若不是,请说明理由.
19.已知函数为自然对数的底数
(1)求在处的切线方程;
(2)当时,,求实数a的最大值;
(3)证明:当时,在处取极小值.
参考答案
1.答案:C
解析:设集合,
可得:,且,故.
故选:C.
2.答案:A
解析:因为,
因为是实数,则,解得.
故选:A.
3.答案:A
解析:不等式化为,即,,解得,不等式成立的充要条件是所以不等式成立的一个充分不必要条件是,故选A.
4.答案:D
解析:设该塔共有层,
则,
即,
解得或(舍),
即该塔共有层.
故选:D
5.答案:A
解析:如图,C为圆锥底面的中心,则底面圆C,
则即为圆锥母线与底面所成的角,
设圆锥的半径为,则圆锥的高为,
所以,
当且仅当即,
则母线与底面所成角的正弦值为.
故选:A.
6.答案:C
解析:依题意,为奇函数,
则,即,,
由于,所以,,
因为,则,
由于在上单调递增,
可得,解得,所以的最大值为2.
故选:C.
7.答案:A
解析:因为直线与圆相切,设圆的半径为r,
则,
所以圆的标准方程为.
故选:A.
8.答案:C
解析:对于A,根据已知条件圆O为以O为圆心,半径的圆;G在棱上移动,
当G与点A重合时,平面即为平面,因为D在直线上,
所以平面,所以与平面相交,A错误;
对于B,以D点为坐标原点,、、所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则、、、,
则,,,
设直线与直线夹角为,则,
由此可知,连结,过O作直线的垂线,垂足为M,
则在中,有,解得,
设直线被球O截得的弦长为l,则,B错误;
对于C,过直线的平面截球O所得的所有截面圆半径最小时,有垂直于过的平面,
此时圆的半径为,圆的面积为,C正确;
对于D,根据题意当G为的中点时,
过E,F,G的平面截该正方体所得截面为正六边形,,
在中,,所以边长,
所以截面面积为,D错误.
故选:C
9.答案:ABD
解析:对于A,由于,故数列是递增数列;
对于B,由于,故数列是递增数列;
对于C,由于,,,故数列不是递增数列;
对于D,由于,,
当时,,,即,
又,所以数列是递增数列.
故选:ABD.
10.答案:BC
解析:由题意知,.
A.,
当,即时,等号成立,
所以的最小值是4,故A不正确;
B.,
当,,时,等号成立,
所以的最小值为9,故B正确;
C.由于,,故,
当时等号成立,即时等号成立,
所以的最大值为,故C正确;
D.,
当且仅当时,即时,等号成立,
但,所以等号不能成立,故D不正确.
故选:BC.
11.答案:ABD
解析:对于A,因为,则由正弦定理可得,
,所以,即,故A正确;
对于B,由余弦定理得,
化简得,故为等腰三角形,故B正确;
对于C,由余弦定理,
因为,所以,故只能判断C为锐角,无法判断A,B,故C错误;
对于D,若,则由正弦定理得,
因为,所以三角形有两解,故D正确;
故选:ABD.
12.答案:
解析:若,则,故,而,
所以.
故答案为:
13.答案:1;2
解析:由三视图可知,该几何体的直观图如下图所示:
该几何体为直三棱柱,正视图为等腰直角三角形,且斜边长上的高为1,斜边长为,
故该“堑堵”的正视图的面积是,体积为.
故答案为:1;2.
14.答案:
解析:设直线的斜率为k,,,则直线,,
联立方程,消去y得,,
则,,
故,,
设直线的倾斜角为,则,
则,
故,
令,解得.
故答案为:.
15.答案:(1),;
(2).
解析:(1)由,
所以且时,最小值为,且时,最大值为2,
结合题意知,,故,
(2)由,
所以.
16.答案:(1)
(2)当时,,证明见详解
解析:(1)因为
,
故常数为;
(2)推广:当时,.
证明:因为,则,
.
17.答案:(1)见解析
(2)见解析
解析:(1)因为四边形为直角梯形,
所以AB//CD,又平面CDEF,平面CDEF,
所以AB//平面CDEF,
又平面BAEF,平面平面,
所以,又平面,平面,
所以平面.
(2)取的中点N,连接,,,,依题意易知,
又因为平面平面,平面平面,
所以平面,又平面,所以,
又,,所以,
所以,又,所以平面,
又平面,所以,
因为平面平面,平面平面,,
所以平面,,由(1)有:,所以,
在和中,,,
又,所以,所以.
因为,,平面,所以平面.
18.答案:(1)
(2)过定点,
解析:(1)由题意知,
解得,,
所以双曲线E的方程是;
(2)直线的方程为,设,,.
由,得,
所以,
所以,所以,
所以,
同理可得,
因为,所以,即,
当且时,,
所以直线的方程为,
,
,
,
,
所以,
所以直线过定点;
当或时,直线的方程为,所以直线过定点.
综上,直线过定点.
19.答案:(1)
(2)
(3)证明见解析
解析:(1)
,且,则所以在处的切线方程为
(2)当时,,即,当时,,当时,,即,令,
则,
因为,所以
当时,,在上单调递增;当时,,在上单调递减,所以,所以
所以实数a的最大值为.
(3)令,
若,当,和都单调递增,所以单调递增,
①当,即时,则,,则在上单调递增,而,所以当时,,所以在上单调递减;当时,,所以在上单调递增;所以在处取极小值;
②当,即时,且,
单调递增,所以存在,使得,且时,,则在上单调递增,而,
所以当时,,所以在上单调递减;
当时,,所以在上单调递增;
所以在处取极小值.
综上,当时,在处取极小值.
;
;
.
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