广东省广信中学、四会市四会中学等五校2024-2025学年高二上学期第二次段考数学试卷（Word版附解析）

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1. 过两点的直线的倾斜角是，则（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用两点坐标求斜率与斜率的定义即可得解.
【详解】因为过两点的直线的倾斜角是，
所以，解得.
故选：B.
2. 已知直线与.若，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线平行列方程，从而求得的值.
【详解】由于，所以，
此时两直线方程分别为，
不重合，符合题意，所以.
故选：B
3. 一个平面截一球得到直径为6的圆面，球心到这个圆面的距离为4，则这个球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用勾股定理结合给定条件得到球半径，再求解体积即可.
【详解】
如图，设截面圆的圆心为，由题意可知，圆面的直径为6，则，
又，所以球的半径，
所以球的体积，
故选：C.
4. 关于直线，及平面，，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】C
【解析】
【分析】通过线面关系的判定即可得出结论.
【详解】A选项：，，，则，故A选项错误；
B选项：若，，存在，与不一定平行，故B选项错误；
C选项：若，则；，则，∴，∴，故C选项正确；
D选项：若，，存在或，则不成立，故D选项错误.
故选：C
5. 已知一个圆锥的体积为，其侧面积是底面积的2倍，则其表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面展开图和圆锥体积公式以及侧面积公式，即可求出结果.
【详解】设底面半径为，高为，母线为，如图所示：

则圆锥的体积，所以，即，
又，即，
所以，
则，解得，
所以圆锥的表面积为.
故选：B．
6. 圆台的高为2，体积为，两底面圆的半径比为，则母线和轴的夹角的正切值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据圆台的体积公式求出圆台的上下底半径，再求母线和轴的夹角的正切值.
【详解】设圆台上底半径为，则下底半径为，
由题意：.
所以圆台母线和轴的夹角的正切值为：.
故选：B
7. 如图，已知正四棱锥的所有棱长均相等，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据线线平行可得异面直线与所成角为（或其补角），即可根据余弦定理求解.
【详解】连接，取的中点，连接，
由题意知，，
则异面直线与所成角为（或其补角），
在中，，
则，
则异面直线与所成角的余弦值为，
故选：C．
8. 《九章算术》中关于“刍童”（上、下底面均为矩形的棱台）体积计算的注释：将上底面的长乘以二与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘以二与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．现有“刍童”，其上、下底面均为正方形，若，且每条侧棱与底面所成角的正切值均为，则该“刍童”的体积为（ ）
A. 224B. 448C. D. 147
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意结合图形得到是“刍童”其中一条侧棱与与底面所成角的平面角，从而求得该刍童的高，进而根据刍童的体积公式即可求得结果．
【详解】连接，交于点，连接，交于点，连接，过作，如图，
.
因为“刍童”上、下底面均为正方形，且每条侧棱与底面所成角的正切值均相等，
所以底面，又，所以底面，
所以是“刍童”其中一条侧棱与底面所成角的平面角，则，
因为，所以，
易知四边形是等腰梯形，则，
所以在中，，则，即“刍童”的高为，
则该刍童的体积.
故选：B．
二、多选题（共18分，每小题6分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线的倾斜角为
B. 直线在轴上的截距为-2
C. 直线过定点
D. 三条直线交于同一点
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据直线的倾斜角，截距、定点、交点等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，直线的斜率为，倾斜角为，A选项错误.
B选项，由直线，令，解得，所以B选项正确.
C选项，由得，
由，解得，所以定点为，C选项正确.
D选项，由解得，
，所以三条直线过同一点−2,3，D选项正确.
故选：BCD
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知空间向量，且，则实数
B. 直线与直线之间的距离是.
C. 已知直线过点，且与轴正半轴交于点两点，则面积的最小值为4
D. 若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，由空间向量共线相关结论可判断选项正误；B选项，由两平行直线距离公式可判断选项正误；C选项，由题设出直线方程，表示出，即可利用基本不等式判断选项正误；D选项，由直线平移知识结合题意可判断选项正误.
【详解】A选项，由于.所以，所以A选项正确；
B选项，直线，因此两平行直线的距离，故B错误；
C选项，由题，直线l 斜率存在且不为0，设l： ，
令， .因直线与与轴正半轴交于点两点，
则，.
则，
当且仅当，即时，等号成立，所以面积的最小值为4，故C正确：
D选项，由题知：直线方程斜率存在，设直线方程为，
直线l沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，
回到原来的位置，则，
所以，解得，故D正确.
故选：ACD
11. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为3，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）

A. 平面
B. 向量与的夹角是
C.
D. 直线与AC所成角的余弦值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】选择{、、}作为一组基底，分别表示各选项中的向量，运用向量的模、向量夹角、数量积、异面直线所成角公式计算即可判断.
【详解】对于A，由于四边形是菱形，所以，
，
所以，即，由于，平面，
所以平面，故A正确.
对于B，，
所以，
，
则，
所以向量与的夹角是，所以选项B错误；
对于C，由题意可知，
则
，
所以，故C正确；
对于D，设与所成角的平面角为，
因为，
所以
，
，
，
所以，所以D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，熟练掌握空间向量法的线性运算与数量积运算，从而得解.
三、填空题（共15分，每小题5分）
12. 已知直线，若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据直线垂直，代入公式，即可求解.
【详解】由题意可知，，解得：.
故答案为：
13. 已知点到直线的距离为1，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用距离公式可求的值.
【详解】由题设有，故，故.
故答案为：
14. 如图，在棱长为1的正方体中，为棱上的动点且不与重合，为线段的中点.给出下列四个命题：
①三棱锥的体积为；②；③的面积为定值；④四棱锥是正四棱锥.
其中所有正确命题的序号是________.
【答案】②③④
【解析】
【分析】利用锥体的体积公式判断①；利用线面垂直的判定定理判断②；利用平行线的传递性及三角形面积公式判断③；利用正棱锥的定义判断④.
【详解】对于①，三棱锥体积为，
因此三棱锥体积的最大值为，①错误；
对于②，连接，则，又平面，平面，
则，而，平面，则平面，
又平面，因此，②正确；

对于③，设，连接，则，，
即和到的距离相等且不变，因此的面积为定值，③正确；
对于④，由，知平面，又为正方形，为其中心，
因此四棱锥是正四棱锥，④正确.
故答案为：②③④
四、解答题
15. 已知的三个顶点分别为．
（1）求边的中线和高所在直线的方程；
（2）若直线l过顶点A，且原点到直线l的距离为2，求直线l的方程．
【答案】（1）
（2）或．
【解析】
【分析】（1）中点坐标公式得到中点坐标，由两点求斜率用点斜式写出中线方程；由斜率得到高的斜率，点斜式写出直线方程；
（2）谈论斜率是否存在，当斜率不存在时，符合题意；当斜率不存在时，设出直线方程，由点到直线距离求出斜率，写出直线方程.
【小问1详解】
①边的中点为，又直线的斜率为，
边上的中线所在直线的方程为，即．
②直线的斜率为，边上的高所在直线的斜率为，
边上的高所在直线的方程为，即．
【小问2详解】
①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意；
②当直线的斜率存在时，直线的方程可设为，即，
由题意，原点到直线的距离为2，即，解得，
所求直线的方程为．
综上，所求直线的方程为x=2或．
16. 如图，垂直于梯形所在平面，，为的中点，，，四边形为矩形.
（1）求证：平面；
（2）求点到直线的距离；
（3）求平面与平面夹角的余弦值
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）设，由三角形中位线性质可得，由线面平行判定推理即可；
（2）以为坐标原点，直线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到直线的距离；
（3）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值.
【小问1详解】
证明：设，连接，
由四边形为矩形，得为中点，
又为中点，则，
又平面，平面，所以平面.
【小问2详解】
解：由垂直于梯形所在平面，，得直线、、两两垂直，
以为坐标原点，直线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、、，
，，
所以，点到直线的距离为.
小问3详解】
解：由（2）可知，，，
设平面的法向量，则，
令，得，
易知平面的一个法向量，
则，所以平面与平面的夹角的余弦值为.
17. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点.
（1）求点到平面的距离；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，运用向量点到平面的距离公式计算即可；（2）先求出直线与平面所成的角，可通过向量法，求出平面的法向量，再根据向量的夹角公式求出直线与平面所成角的正弦值，最后根据三角函数关系求出余弦值.
【小问1详解】
因为，，，，底面为正方形，
以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
因为，分别为，中点，所以，，
则，，，
设平面的法向量为，
由，即，令，则，，所以，
则，，
根据点到平面距离公式.
【小问2详解】
首先设平面的法向量，，，
由，即，令，则，，所以，
设直线与平面所成角为，
则，，，
所以，
因为，所以，
则直线与平面所成角的余弦值.
18. 已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）点P在圆C上运动，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用圆的对称性先确定圆心，再求半径即可；
（2）设P坐标，利用两点距离公式及点在圆上消元转化为函数求值域求范围即可.
【小问1详解】
圆经过，两点，得圆心在的中垂线上，
又圆心C在直线上，联立直线方程有，得，
即圆心坐标为，
又，
故圆C的标准方程为．
【小问2详解】
设，易知，
则（*），
因为点P在圆C上运动，则，
故（*）式可化简为，，
由得的取值范围为．
19. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示．
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为,若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，的长度为3或
【解析】
【分析】（1）通过证明，来证得平面；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得正确答案.
【小问1详解】
因在中，，，且，
所以，，则折叠后，，
又平面，所以平面， 平面，
所以， 又已知，且都在面内，
所以平面.
【小问2详解】
由（1）知，以CD为轴，CB为轴，为轴，建立空间直角坐标系 ，
因为，故，
由几何关系可知，，，，
故，，，，，，
假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为，
，，，
设，则，
，
设平面的法向量为，则有，即
不妨令，则，，
故平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则有，即
不妨令，则，，所以平面的一个法向量为，
若平面与平面成角余弦值为，
则满足，
化简得， 解得或， 即或，
故在线段上存在这样的点，
使平面与平面成角余弦值为，此时长度为3或．