与圆有关的位置关系-九年级数学上学期期末真题分类汇编（解析版）

这是一份与圆有关的位置关系-九年级数学上学期期末真题分类汇编（解析版），共15页。
点与圆的位置关系
1．（2022•海淀区期末）Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，P是△ABC内部的一个动点，满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）
A．165B．1C．13−3D．13−2
解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
在Rt△BCO中，∠OBC＝90°，BC＝3，OB＝2，
∴OC=OB2+BC2=22+32=13，
∴CP＝OC﹣OP=13−2．
∴CP最小值为13−2．
答案：D．
2．（2022•门头沟区期末）已知△ABC，AC＝3，CB＝4，以点C为圆心r为半径作圆，如果点A、点B只有一个点在圆内，那么半径r的取值范围是（ ）
A．r＞3B．r≥4C．3＜r≤4D．3≤r≤4
解：当点A在圆内时点A到点C的距离小于圆的半径，即：r＞3；
点B在圆上或圆外时点B到圆心的距离应该不小于圆的半径，即：r≤4；
即3＜r≤4．
答案：C．
3．（2022•东城区期末）如图，点M坐标为（0，2），点A坐标为（2，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，当线段OD取得最大值时，点D的坐标为（ ）
A．（0，1+2）B．（1，1+2）C．（2，2）D．（2，4）
解：∵OM⊥AB，
∴OA＝OB，
∵AD＝CD，
∴OD∥BC，OD=12BC，
∴当BC取得最大值时，线段OD取得最大值，如图，
∵BC为直径，
∴∠CAB＝90°，
∴CA⊥x轴，
∵OB＝OA＝OM，
∴∠ABC＝45°，
∵OD∥BC，
∴∠AOD＝45°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴AD＝OA＝2，
∴D的坐标为（2，2），
答案：C．
4．（2022•西城区期末）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，且AB⊥OC，P为圆上一动点，M为AP的中点，连接CM．若⊙O的半径为2，则CM长的最大值是 5+1 ．
解：如图，当点P在⊙O上移动时，AP的中点M的轨迹是以OA为直径的⊙O′，
因此CO′交⊙O′于点M，此时CM的值最大，
由题意得，OA＝OB＝OC＝2，OO′=12OA＝1＝O′M，
在Rt△O′OC中，OC＝2，OO′＝1，
∴O′C=22+12=5，
∴CM＝CO′+O′M=5+1，
答案：5+1．
直线与圆的位置关系
5．（2022•通州区期末）在△ABC中，CA＝CB，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
解：连接CO，
∵CA＝CB，点O为AB中点，
∴OC⊥AB，
∵以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，
∴点C到AB的距离等于⊙C的半径，
∴⊙C与AB的位置关系是相切，
答案：B．
6．（2022•顺义区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1B．1或5C．3D．5
解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；
当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．
答案：B．
7．（2022•丰台区期末）如图，⊙O的半径是5，点A在⊙O上．P是⊙O所在平面内一点，且AP＝2，过点P作直线l，使l⊥PA．
（1）点O到直线l距离的最大值为 7 ；
（2）若M，N是直线l与⊙O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为 21 ．
解：（1）如图1，∵l⊥PA，
∴当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l的距离最大，
最大值为AO+AP＝5+2＝7；
（2）如图2，∵M，N是直线l与⊙O的公共点，当线段MN的长度最大时，
线段MN是⊙O的直径，
∵l⊥PA，
∴∠APO＝90°，
∵AP＝2，OA＝5，
∴OP=OA2−PA2=21，
答案：7，21．
8．（2022•昌平区期末）已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以点B为圆心r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围是 3≤r≤5 ．
解：∵矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，
∴BD＝AC=AB2+BC2=5，AD＝BC＝3，CD＝AB＝4，
∵以点B为圆心作圆，⊙B与边CD有唯一公共点，
∴⊙B的半径r的取值范围是：3≤r≤5；
答案：3≤r≤5
切线的性质
9．（2022•大兴区期末）如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P．若∠AOB＝90°，OP＝4，则OC的长为（ ）
A．8B．162C．42D．22
解：连接CP，如图，
∵OA边与OC相切于点P，
∴CP⊥OA，
∴∠OPC＝90°，
∵⊙C与∠AOB的两边分别相切，
∴OC平分∠AOB，
∴∠COP=12∠AOB=12×90°＝45°，
∴△OCP为等腰直角三角形，
∴OC=2OP＝42．
答案：C．
10．（2022•朝阳区期末）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，AB，若∠OAB＝35°，则∠ABP＝ 55 °．
解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，
∴PA＝PB，OA⊥PA，
∵∠OAB＝35°，
∴∠BAP＝90°﹣∠OAB＝55°，
∵PA＝PB，
∴∠ABP＝∠BAP＝55．
答案：55．
11．（2022•东城区期末）如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B＝50°，则∠OCD的度数等于 20° ．
解：连接OA，如图，
∵AB切⊙O于点A，
∴∠OAB＝90°，
∵∠B＝50°，
∴∠AOB＝40°，
∴∠ADC=12∠AOB＝20°，
∵AD∥OB，
∴∠OCD＝∠ADC＝20°，
答案：20°．
12．（2022•密云区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，⊙O的切线DE交AC于点E．
（1）求证：E是AC中点；
（2）若AB＝10，BC＝6，连接CD，OE，交点为F，求OF的长．
（1）证明：连接CD，
∵∠ACB＝90°，BC为⊙O直径，
∴EC为⊙O切线，
∵ED切⊙O于点D，
∴EC＝ED，
∴∠ECD＝∠EDC；
∵∠A+∠ECD＝∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠A＝∠ADE，
∴AE＝ED，
∴AE＝CE，
即E为AC的中点；
∴BE＝CE；
（2）解：连接OD，
∵∠ACB＝90°，
∴AC为⊙O的切线，
∵DE是⊙O的切线，
∴EO平分∠CED，
∴OE⊥CD，F为CD的中点，
∵点E、O分别为AC、BC的中点，
∴OE=12AB=12×10=5，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，由勾股定理得：AC＝8，
∵在Rt△ADC中，E为AC的中点，
∴DE=12AC=12×8=4，
在Rt△EDO中，OD=12BC=12×6=3，DE＝4，由勾股定理得：OE＝5，
由三角形的面积公式得：S△EDO=12×DE×DO=12×OE×DF，
即4×3＝5×DF，
解得：DF＝2.4，
在Rt△DFO中，由勾股定理得：OF=DO2−DF2=32−2.42=1.8．
切线的判定
13．（2022•怀柔区期末）如图：AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DAB＝22.5°，延长AB到点C，使得∠ACD＝45°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝22，求BC的长．
（1）证明：连接DO，
∵AO＝DO，
∴∠DAO＝∠ADO＝22.5°．
∴∠DOC＝45°．
又∵∠ACD＝2∠DAB，
∴∠ACD＝∠DOC＝45°．
∴∠ODC＝90°．
又 OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：连接DB，
∵直径AB＝22，△OCD为等腰直角三角形，
∴CD＝OD=2，OC=CD2+OD2=2，
∴BC＝OC﹣OB＝2−2．
14．（2022•石景山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）当AB＝5，BC＝6时，求DE的长．
（1）证明：连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠OBD，
∵OD＝OB，
∴∠1＝∠OBD，
∴∠1＝∠C，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OD，且OD为圆O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵AB＝AC，且BC＝6，
∴CD＝BD=12BC＝3，
在Rt△ACD中，AC＝AB＝5，CD＝3，
根据勾股定理得：AD=AC2−CD2=4，
又S△ACD=12AC•ED=12AD•CD，
即12×5×ED=12×4×3，
∴ED=125．
15．（2022•房山区期末）如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若△ABC的边长为4，求EF的长度．
（1）证明：如图1，连接OD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°．
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B＝60°．
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°．
∴∠EDC＝30°．
∴∠ODE＝90°．
∴DE⊥OD于点D．
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接AD，BF，
∵AB为⊙O直径，
∴∠AFB＝∠ADB＝90°．
∴AF⊥BF，AD⊥BD．
∵△ABC是等边三角形，
∴DC=12BC=2，FC=12AC=2．
∵∠EDC＝30°，
∴EC=12DC=1．
∴FE＝FC﹣EC＝1．
16．（2022•大兴区期末）已知：如图，⊙O的半径OC垂直弦AB于点H，连接BC，过点A作弦AE∥BC，过点C作CD∥BA交EA延长线于点D，延长CO交AE于点F．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若BC＝5，AB＝8，求OF的长．
（1）证明：∵OC⊥AB，CD∥BA，
∴∠DCF＝∠AHF＝90°，
∴CD为⊙O的切线．
（2）解：∵OC⊥AB，AB＝8，
∴AH＝BH=AB2=4，
在Rt△BCH中，∵BH＝4，BC＝5，
由勾股定理得：CH＝3，
∵AE∥BC，
∴∠B＝∠HAF，
∵∠BHC＝∠AHF，BH＝AH，
∴△HAF≌△HBC，
∴FH＝CH＝3，CF＝6，
连接BO，设BO＝x，则OC＝x，OH＝x﹣3．
在Rt△BHO中，由勾股定理得：42+（x﹣3）2＝x2，
解得x=256，
∴OF=CF−OC=116，
答：OF的长是116