湖南省岳阳市岳阳县第一中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷（Word版附解析）

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1. 集合或，，若（R为实数集），则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】表示出N中不等式的解集，确定出N，根据N与M的补集不为空集，找出a的范围即可，进而求解结论．
【详解】解：∵全集R，或，，，
∴，
结合数轴可知，当时，，
故（R为实数集）时，a的取值范围为，
故选：C．
2. 若，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可.
【详解】充分性：因为，且，所以，
所以，所以充分性成立；
必要性：因为，且，所以，
即，即，所以，
所以必要性成立，
所以“”是“”的充要条件.
故选：.
3. 已知为正实数，且满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. 8D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】利用“1”的代换法，利用基本不等式求得最小值．
【详解】根据题意，
当且仅当，即时，等号成立．
故选：C
4. 若函数，则的值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用的解析式，从内而外依次求解函数值即可得解.
【详解】因为，
所以，
则.
故选：C.
5. 生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意分析可得，消去即可求解.
【详解】由题意得，则，即，所以.
故选：D.
6. 已知，则（ ）
A. 1B. C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】由题设得，化弦为切求目标式的值.
【详解】由题设，又.
故选：D
7. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，
每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过参考数据：，（ ）天．
A. 200天B. 210天C. 220天D. 230天
【答案】D
【解析】
【分析】由题设得方程，根据指对数关系、对数运算性质求值即可.
【详解】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的100倍，则，即，
．
故选：D．
8. 已知，函数在区间上的最大值是5，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由对勾函数的单调性可得，分，，三种情况讨论即可.
【详解】因为，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
当时，，
函数最大值，所以，舍去；
当时，，符合题意；
当时，，
则或，
解得或，
综上，实数的取值范围是.
故选：.
【点睛】关键点点睛：根据对勾函数可得，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行分类讨论，分，，三种情况逐一分析.
二、多选题（共20分）
9. 下列函数中，与函数不是同一个函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据两函数定义域相同且解析式一致即为相等函数，一一判断即可.
【详解】解：的定义域为．
对于A，的定义域为，与的定义域不同，不是同一函数；
对于B，定义域为，与定义域相同，对应关系相同，是同一函数；
对于C，的定义域为，与定义域不同，不是同一函数；
对于D，，与的对应关系不同，不是同一函数．
故选：ACD．
10. 以下说法正确的有（ ）
A. 设，则
B. 函数的图象与函数的图象关于直线对称
C. 若是偶函数，则
D. 函数在区间上的图象是一段连续曲线，如果，则函数在上没有零点
【答案】AC
【解析】
【分析】由对数、指数的运算可判断A，由函数图象平移可判断B，由偶函数的定义可判断C，通过反例可判断D.
详解】A，由，可得：，则，所以，A正确；
B，函数和的图象关于直线对称，
函数的图象可由的图象左移1个单位得到，
函数图象可由的图象右移2个单位得到，
所以函数和的图象关于直线对称，B错误；
C，的定义域是，由于是偶函数，
所以，即，
所以，解得，
经验证符合题意，C正确；
D，函数在区间上的图象是一段连续曲线，
如果，则函数在上可能有零点，
例如在，故D错误.
故选：AC.
11. 已知定义在上的奇函数满足，若，则（ ）
A. 4为的一个周期B. 的图象关于直线对称
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据函数的基本性质对选项AB进行验证，根据函数周期结合函数奇偶性对选项CD进行验证，即可得出答案.
【详解】对于A：函数为奇函数，则，
则，
则的一个周期为4，故A正确；
对于B：，则函数关于对称，故B正确；
对于C：的一个周期为4，
，
令中的，则，
函数为定义在上奇函数，
，
，故C正确；
对于D：的一个周期为4，
，
函数为奇函数，
，
，故D错误；
故选：ABC.
12. 已知x，y均为正实数，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由基本不等式判断各选项．
【详解】A选项：，所以，当且仅当，即，时取等号，故A错误；
B选项：，由A知，则，故B正确；
C选项：，当且仅当，即，时取等号，故C正确；
D选项：由，得，即，当且仅当，即，时取等号，故D错误.
故选：BC．
三、填空题（共20分）
13. 若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为_________．
【答案】
【解析】
【分析】判断函数单调性再结合零点存在定理求解.
【详解】因为在上均为增函数，
所以函数在区间上为增函数，且函数图象连续不间断，
故若在区间上存在零点，则
解得．
故常数a的取值范围为．
故答案为：
14. 已知函数（且）在区间上单调递增，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件得到，且在上大于等于0恒成立，即可得到答案.
【详解】因为函数（且）在区间上单调递增，
在上单调递减，
所以，且在上大于等于0恒成立.
所以.
故答案为：
15. 已知命题：“”为真命题，则的取值范围是______．
【答案】（]
【解析】
【分析】先讨论成立，然后讨论时，利用二次函数的图像求解即可.
【详解】因为命题“”为真命题，当时，成立，
当时，则，解得，故的取值范围是，
故答案为：
16. 已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数奇偶性以及单调性，可得，然后构造新函数，根据函数的性质可得结果．
【详解】，定义域为，
则，可知函数为奇函数，
又均为增函数，所以为增函数，
由，得，即，
则，即，
由题意可知，对任意的，恒成立，
令，
所以，解得，
所以的取值范围为．
故答案为：．
四、解答题（共70分）
17. 计算下列各值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）0
【解析】
【分析】（1）根据指数幂运算求解即可；
（2）根据对数的运算性质，结合换底公式运算求解即可.
【小问1详解】
原式.
【小问2详解】
原式
.
18. 已知函数．
（1）若函数的值域为，求a的取值范围；
（2）是否存在，使在上单调递增，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可得函数的值域包含，进而结合求解即可；
（2）由题意可得函数在递减，且对于恒成立，进而列出不等式组求解即可.
【小问1详解】
由函数的值域为，则函数的值域包含，
则，解得或，
即a的取值范围为.
【小问2详解】
不存在，理由如下：
由函数在上单调递增，
则函数在递减，且对于恒成立，
所以，无解，
所以不存在，使在上单调递增.
19. 已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得，根据两角和正切公式运算求解；
（2）根据诱导公式结合齐次式问题运算求解.
【小问1详解】
∵，则，
∴
【小问2详解】
由（1）可得：，
故.
20. 第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会于2022年2月4日开幕.冬奥会吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是“一墩难求”，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元.每生产x万盒，需投入成本h（x）万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完.（利润=销售总价-成本总价，销售总价=销售单价×销售量，成本总价=固定成本+生产中投入成本）
（1）求“冰墩墩”玩具手办销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式；
（2）当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获得利润最大，最大利润为多少万元.
【答案】（1）；
（2）产量为70万盒，最大利润为1200万元.
【解析】
【分析】（1）根据产量的范围，分段列出函数关系式，即得答案.
（2）求出每段函数的最大值，再比较大小即可作答.
【小问1详解】
依题意，当时，，
当时，，
所以销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式为：.
【小问2详解】
当 时，单调递增，，当且仅当时取等号；
当 时，，当且仅当时取等号，而，
因此当时，，
所以当产量为70万盒时，该企业在生产中所获得利润最大，最大利润为1200万元.
21. 设矩形周长为，其中.如图所示，为边上一动点，把四边形沿折叠，使得与交于点.设，.
（1）若，将表示成的函数，并求定义域；
（2）在（1）条件下，判断并证明的单调性；
（3）求面积的最大值.
【答案】（1），
（2）在上单调递增，证明见解析
（3）.
【解析】
【分析】（1）通过几何关系确定，利用R的三边关系建立，的关系，再利用，进而确定的范围即可.
（2）应用函数单调性的定义证明即可；
（3）设，将面积表示为，适当变形应用基本不等式求解最值即可.
【小问1详解】
解：根据题意，由，得，
由已知，故，
又因为
故在中，则，
即，整理得
又，则，故，
，所以，定义域为.
【小问2详解】
解：因为，，
任取，且，
则
因为，
所以，，
所以，
即在上单调递增.
【小问3详解】
解：易知，当点位于点时，面积最大.
此时再设，，那么，
由得，，
所以，的面积，
令，则，，
故
，
当且仅当，即，即时，等号成立，
故当时，的面积的最大值为.
22. 已知函数.
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；
（3）解关于的不等式.
【答案】（1）奇函数，理由见解析
（2）在上是单调递增函数，证明见解析
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用函数奇偶性的定义求解；
（2）利用函数的单调性定义求解；
（3）利用函数的单调性和奇偶性，将转化为求解.
【小问1详解】
是奇函数，理由如下：
由题意可知，，
因为的定义域为，且，
所以是奇函数.
【小问2详解】
在上是单调递增函数.
证明如下：
任取，设，则
.
因为，所以，
又因为，所以，
所以，即，
所以在上是单调递增函数.
【小问3详解】
由（1）（2）知是上单调递增的奇函数，
所以在上单调递增，
所以，
可以转化为，
可化为，
即，
①当时，不等式为，这时解集为；
②当时，解不等式得到；
③当时，解不等式得到.
综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.