湖南省岳阳市云溪区2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷（Word版附解析）

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1. 若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据面面平行判断出，法向量互相平行即可求解.
【详解】若平面，
则两个平面法向量互相平行，
所以平面的法向量为，
所以当时，向量为，
故选：A.
2. 若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】利用双曲线方程的定义得到答案.
【详解】根据题意有，所以.
故选：C.
3. 已知正方体，点是上底面的中心，若，则等于（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量基本定理，结合正方体的结构特征求解作答.
【详解】正方体，点是上底面的中心，如图，
则，
不共面，又，于是得，
所以.
故选：C
4. 今有水平相当的棋手甲和棋手乙进行某项围棋比赛，胜者可获得48000元奖金.比赛规定下满五局，五局中获胜局数多者赢得比赛，比赛无平局，若比赛已进行三局，甲两胜一负，由于突发因素无法进行后面比赛，如何分配奖金最合理？（ ）
A. 甲24000元，乙24000元B. 甲32000元，乙16000元
C. 甲40000元，乙8000元D. 甲36000元，乙12000元
【答案】D
【解析】
【分析】根据甲乙两人最终获胜的概率即可按比例分配.
【详解】乙最终获胜的概率为，甲最终获胜的概率为，
所以甲乙两人按照分配奖金才比较合理，
所以甲元，乙元，
故选：D.
5. 设、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，给出下列命题：
① 若，，则；
② 若，，则；
③ 若，，则；
④ 若，，则；
上述命题中，所有真命题的序号是（ ）
A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④
【答案】D
【解析】
【分析】根据线线关系、线面关系、面面关系逐项判断可得答案
【详解】对于①，平面与平面也可能相交，故错误；对于②，根据垂直同一条的直线的两个平面平行得正确；
对于③，直线与直线可能相交，可能异面，故错误；对于④根据垂直同一平面的两条直线平行正确；
故答案为：D．
6. 已知为直线上的动点，点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，用点的坐标表示出点的坐标，再代入直线的方程化简即得.
【详解】设点，由，得点，又点在直线上，
因此，整理得，
所以点的轨迹方程为.
故选：B
7. 在四面体中，平面，，则该四面体的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题目条件先确定出外接球的球心，得出外接球半径，然后计算表面积.
【详解】因为平面，平面，所以，
又，，且平面，平面，
所以平面，所以.
因为，
所以，，，
根据该几何体的特点可知，该四面体的外接球球心位于的中点，
则外接球半径，
故该四面体的外接球的表面积为.
故选：C.
,
【点睛】本题考查棱锥的外接球问题，难度一般，根据几何条件确定出球心是关键.
8. 已知圆和，若动圆与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用圆与圆的位置关系及椭圆的定义可得P点轨迹为椭圆，进而求出轨迹方程.
【详解】圆和的圆心、半径分别为，
由，得点在圆内，设动圆半径为，
依题意，，，则，
因此P点的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，即，
而圆内切于，切点在P点的轨迹上，此点可视为极限位置的点，
所以椭圆方程为.
故选：D
二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分）
9. 若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用空间基底的定义以及空间向量共面定理依次判断可得结论.
【详解】由于是空间的一个基底，所以不共面，
对于A，向量分别与共线，所以不共面，能构成空间一个基底；
对于B，不存在实数满足，因此不共面，能构成空间一个基底；
对于C，由于，因此这三个向量是共面的，不能构成基底.
对于D，不存在实数满足，因此不共面，能构成空间一个
基底.
故选：ABD
10. 点在圆上，点在上，则（ ）
A. 两个圆的公切线有2条
B. 两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在该圆上
C. 的取值范围为
D. 两个圆的公共弦所在直线的方程为
【答案】BC
【解析】
【分析】求出两圆圆心坐标和半径确定两圆位置判断AD；求出两圆公共的对称轴判断B；利用圆上点最值关系判断C正确..
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
对于A，由，得圆外离，这两个圆有4条公切线，A错误；
对于B，直线方程为上，因此直线为两圆的公共对称轴，B正确；
对于C，，，则的取值范围为， C正确；
对于D，由圆外离，得圆不存在公共弦，D错误.
故选：BC
11. 柜子里有双不同鞋子，从中随机地取出只，下列计算结果正确的是（ ）
A. “取出的鞋成双”的概率等于
B. “取出的鞋都是左鞋”的概率等于
C. “取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于
D. “取出的鞋一只是左鞋，一只是右鞋，但不成双”的概率等于
【答案】BC
【解析】
【分析】用列举法列出事件的样本空间，即可直接对选项进行判断.
【详解】记双不同的鞋子按左右为，
随机取只的样本空间为
，共种，
则“取出的鞋成双”的概率等于，A错；
“取出的鞋都是左鞋”的概率等于，B正确；
“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于，C正确；
“取出的鞋一只是左鞋，一只是右鞋，但不成双”的概率等于，D错.
故选：BC
12. 已知直线的方向向量，为直线上一点，若点P(1，0，2)为直线外一点，则P到直线上任意一点Q的距离可能为（ ）
A. 2B. C. D. 1
【答案】AB
【解析】
【分析】
首先求得，再求得的值，设出与的夹角为，利用向量数量积求得的值，进而求得的值，利用求得点到直线的距离，利用P到直线上任意一点Q的距离要大于等于，从而求得结果.
【详解】由题设条件可知，，
所以，
设与的夹角为，
则，
所以，
所以点到直线的距离为，
P到直线上任意一点Q的距离要大于等于，
故选：AB.
【点睛】该题考查的是有关空间距离问题，涉及到的知识点有利用向量解决点到直线的距离问题，属于简单题目.
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知向量，，满足，则______．
【答案】6
【解析】
【分析】根据空间向量减法和数量积的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】，∵，则，解得．
故答案为：6．
14. 唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】求出点关于直线对称点的坐标，再利用两点间距离公式计算得解.
【详解】设点关于对称点，则，解得，
即，所以“将军饮马”的最短总路程为.
故答案为：

15. 如图，边长为的正的中线与中位线相交于，已知是绕旋转过程中的一个图形，现给出下列命题，其中正确的命题有___________（只需填上正确命题的序号）．
①动点在平面上的射影在线段上；
②三棱锥的体积有最大值；
③恒有平面平面；
④异面直线与不可能互相垂直；
⑤异面直线与所成角的取值范围是．
【答案】①②③⑤．
【解析】
【分析】由为正三角形可探讨过作面的垂线的垂足的位置在上，从而可以得到①②③，利用异面直线所成角的定义可知⑤的正确性，通过举反例否定④，即可得答案．
【详解】过作面，垂足为,
为正三角形且中线与中位线相交，
，.
又平面，
面 ，
面，∴面面，即平面平面，
且面面，在上，故①对，③对．
，
底面的面积是个定值，
当为时，即底面时，三棱锥的体积最大，故②正确.
由题意可知，故异面直线与所成角即为和的夹角，
结合图形知：和有可能垂直（当时），故它们的夹角范围为，
故异面直线与所成角的取值范围是，故⑤正确.
由于，故为异面直线与所成角或其补角，
而，故当时，,
即，即在是绕旋转的过程中，异面直线与可能互相垂直，故④不正确.
故答案为：①②③⑤
16. 已知抛物线的焦点为F，A为抛物线C上一点．以F为圆心，FA为半径的圆交抛物线C的准线于B，D两点，A，F，B三点共线，且，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，由，，三点共线，推得，由三角形的中位线性质可得到准线的距离，可得的值．
【详解】抛物线的焦点为，，准线方程为，
因为，，三点共线，可得为圆的直径，如图示：设准线交x轴于E，
所以，则 ，
由抛物线的定义可得，
又是的中点，所以到准线的距离为,
故答案为：2．
四、解答题（共4小题，共70分）
17. 如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，．求：
（1）向量，，的坐标；
（2），的坐标．
【答案】（1），，
（2），
【解析】
【分析】（1）先写出点的坐标，进而可得向量的坐标；
（2）利用向量的坐标运算加法和减法即可.
【小问1详解】
由已知，
则，，；
【小问2详解】
，
.
18. 在平面直角坐标系中，圆经过和点，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线被圆截得弦长为，求实数的值
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）先求线段的垂直平分线所在直线的方程，进而求圆心和半径，即可得方程.
（2）由垂径定理可得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式运算求解.
【小问1详解】
依题意，线段的中点，直线的斜率，
则线段的垂直平分线的方程为，由，解得，
因此圆的圆心，半径，
所以圆的方程为.
【小问2详解】
由直线被曲线截得弦长为，得圆心到直线的距离
因此，解得，
所以实数的值为.
19. 某校为选拔参加数学联赛的同学，先进行校内数学竞赛，为了解校内竞赛成绩，从所有学生中随机抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩，并作出频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：
（1）求频率分布直方图中a的值．若从成绩不低于70分的同学中，按分层抽样方法抽取12人的成绩，求12人中成绩不低于90分的人数.
（2）用样本估计总体，估计该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数以及中位数.
（3）若甲、乙两位同学均进入第二轮的复赛，已知甲复赛获一等奖的概率为，乙复赛获一等奖的概率为，甲、乙是否获一等奖互不影响，求至少有一位同学复赛获一等奖的概率．
【答案】（1），12人中成绩不低于90分的人数为1；
（2）平均数约为分，中位数约为分；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图的频率和为1可求的值，再根据分层随机抽样可得12人中成绩不低于90分的人数；
（2）根据频率分布直方图及平均数与中位数的定义计算即可；
（3）根据相互独立事件的概率乘法公式及对立事件的概率公式即可求解.
【小问1详解】
由频率分布直方图可得，解得.
的频率为，的频率为，
的频率为，按分层抽样方法抽取12人的成绩，
则12人中成绩不低于90分人数为.
小问2详解】
该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数为：
.
的频率为，
的频率为，
设中位数为,则，
则，解得，
故该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数约为分，中位数约为分.
【小问3详解】
设“至少有一位同学复赛获一等奖”，
则,
故至少有一位同学复赛获一等奖的概率为.
20. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，为抛物线上一点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）过焦点的直线与抛物线交于两点，若点在抛物线的准线上，且为等边三角形，求直线的斜率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的定义得出，从而得出，，再由面积公式解出；
（2）讨论直线的斜率是否存在，设出其方程，并与抛物线方程联立，利用韦达定理以及中点坐标公式得
出的中点坐标，在由斜率公式得出点坐标，求出，，最后根据得出直线的斜率．
【小问1详解】
不妨设点在第一象限，因为，所以，则，
因为，所以
即抛物线的方程为
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，，要使得为等边三角形，则，但是，，不满足边长相等
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：
由，化简得
则，
故线段的中点为
设，因为，所以，即
因为为等边三角形，所以
即，即，