（预习）2025年高一数学寒假讲义+随堂检测 第03讲 平面向量的数乘运算（2份，原卷版+教师版）

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一、向量的数乘
（1）向量数乘的定义
一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下：
①
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.
（2）向量数乘的几何意义
对于：①从代数角度看，是实数，是向量，它们的积仍然是向量．的条件是或．②从几何的角度看，对于长度来说，当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或相反方向上伸长了倍；当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或反方向上缩短了倍．
（3）向量数乘的运算律
实数与向量的积满足下面的运算律：设、是实数，、是向量，则：
①结合律：
②第一分配律：
③第二分配律：
二、向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.
对于任意向量,,以及任意实数,,,恒有.
三、向量共线定理
（1）内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，.
（2）向量共线定理的注意问题：
①定理的运用过程中要特别注意．特别地，若，实数仍存在，但不唯一．
②定理的实质是向量相等，应从大小和方向两个方面理解，借助于实数沟通了两个向量与的关系．
③定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法．要证三点共线或两直线平行，任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数使向量相等即可．
题型一：数乘运算的定义及其几何意义
策略方法
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.
【例1】化简为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】已知，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C．且 D．以上说法都不对
【变式1-2】下列说法中正确的是（ ）
A．与的方向不是相同就是相反 B．若共线，则
C．若，则 D．若，则
【变式1-3】已知点在线段上，且，若向量，则（ ）
A．2 B． C． D．
【变式1-4】（多选）如图，设两点把线段三等分，则下列向量表达式正确的是（ ）

A． B． C． D．
【变式1-5】若，则 .
【变式1-6】已知，若记，则 ．
题型二：平面向量的线性运算
策略方法
向量线性运算的基本方法
(1)类比法:向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算.例如,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形在向量的数乘中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作向量的系数.
(2)方程法:向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.
【例2】已知四边形为平行四边形，与相交于，设，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】在梯形ABCD中，，，则（ ）
A．5 B．6 C．－5 D．－6
【变式2-3】如图，在四边形ABCD中，，设，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-5】若点M是所在平面内一点，且满足：．则与的面积之比为 ．
题型三：平面向量共线的判定及应用
策略方法
(1)证明或判断三点共线的方法
①一般来说,要判定A,B,C三点是否共线,只需看是否存在实数λ,使得AB→=λAC→(或BC→=λAB→等)即可.
②利用结论:若A,B,C三点共线,O为直线外一点⇔存在实数x,y,使OA→=xOB→+yOC→ 且x+y=1.
(2)利用向量共线求参数的方法
已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.若两向量不共线,必有向量的系数为零,利用待定系数法建立方程,从而解方程求得λ的值.
【例3】设，是两个不共线向量，若向量与向量共线，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（多选）下列命题正确的的有（ ）
A． B．
C．若，则共线 D．，则共线
【变式3-3】（多选）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．A，B，C，D四点共线 B．C，B，D三点共线
C． D．
【变式3-4】在平行四边形中，是的中点，在对角线上，且，求证：共线
【变式3-5】判断三点是否共线.
(1)已知两个非零向量和不共线，，，.求证：A，B，D三点共线.
(2)已知任意两个非零向量，，求作，，.试判断A，B，C三点之间的位置关系，并说明理由.
【变式3-6】如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点的三等分点，点F为BE的中点，若，则 ．
【变式3-7】是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若，，且，则（ ）.
A． B． C． D．
【变式3-8】已知点G是的重心，过点G作直线分别与两边相交于点M，N两点（点M，N与点B，C不重合），设，，则的最小值为 ．
平面向量的数乘运算 随堂检测
1.已知平面内的两个非零向量，满足，则与（ ）
A．相等 B．方向相同 C．垂直 D．方向相反
2．下列计算正确的个数是（ ）
①；②；③.
A．0 B．1 C．2 D．3
3.（多选）若都是非零向量，且，则（ ）
A．方向相同 B．方向相反 C． D．
4.（多选）向量，则下列说法正确的是（ ）
A． B．向量方向相反 C． D．
5．设，是两个不共线的向量，已知，，，若三点A，B，D共线，则k的值为（ ）
A．－8 B．8 C．6 D．－6
6．在梯形中，是中点，，设，则（ ）
A． B． C． D．
7.如图，在中，，则（ ）
A．B．C．D．
8.化简： ．
9．如图，在中，向量，且，则 .
10．设与是两个不共线向量，且向量与共线，则 .
11．已知，是两个不共线的向量，向量，共线，则实数t的值为 .
12．判断下列各小题中的向量，是否共线：
(1)，；
(2)，（其中两个非零向量和不共线）；
(3)，.
14.如图，在中，.设.

(1)用表示；
(2)若为内部一点，且.求证：三点共线，并指明点的具体位置.
①平面向量数乘的定义及相关运算
②平面向量的线性运算
③平面向量共线的判定及应用