（预习）2025年高一数学寒假讲义+随堂检测 第09讲 正弦定理（2份，原卷版+教师版）

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一、正弦定理
（1）正弦定理的描述
①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有
（2）正弦定理的推广及常用变形公式
在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则
①
②；；；
③
④
⑤，，（可实现边到角的转化）
⑥，，（可实现角到边的转化）
二、三角形面积公式
三角形面积的计算公式：
①；
②；
③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；
④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径).
题型一：已知两角和一边解三角形
策略方法
解决已知两角及一边类型的解题方法
(1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一边,再由三角形内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边.
(2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边.
【例1】在△ABC中，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A．8 B．5 C．4 D．3
【变式1-2】在中，若，，，则 ．
【变式1-3】在中，，，，点在的延长线上，且，则 .
题型二：已知两边和其中一边的对角解三角形
策略方法
(1)已知两边及其中一边的对角解三角形的思路
①由正弦定理求出另一边对角的正弦值;
②如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角;
③如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论.
(2)已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法
①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数;
②在△ABC中,已知a,b和A,以点C为圆心,以边长a为半径画弧,此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数,解的个数见下表:
【例2】设的内角的对边分别为，若则的值可以为（ ）
A． B． C． D．或
【变式2-1】中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 则C=（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a， b，c，已知， 则csB=（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】已知中，，，，则（ ）
A． B．或 C． D．或
【变式2-5】在中，内角，，所对的边分别为，，，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【变式2-6】在中，已知，，若有两解，则边的取值范围为 .
题型三：判断三角形的形状
策略方法
(1)判断三角形形状时,应围绕三角形的边角关系,利用正弦定理或余弦定理进行边角互化,要么把角转化为边,通过代数变形找出边之间的关系,要么把边转化为角,通过三角变换找出角之间的关系,当然也可以边角同时考虑.
(2)在解题中,若出现关于边的齐次式(方程),或关于角的正弦的齐次式(方程),可通过正弦定理,进行边角互化.
【例3】已知的三个角的对边分别为，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【变式3-1】在中，已知，且，则该三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
【变式3-2】在中，角，，的对边分别为，，，且，则形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【变式3-3】在中，角所对的边分别为，已知，，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【变式3-4】在中，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【变式3-5】在△ABC中，已知，且，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
题型四：与三角形面积相关的问题
策略方法 三角形面积的计算公式
①；
②；
③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；
【例4】已知中，，且的面积为，则（ ）
A． B．或 C． D．或
【变式4-1】在中，三个内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．21
【变式4-2】在中，分别是角所对的边，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的面积为（ ）
A． B． C．1 D．2
【变式4-4】在中，，，分别为，，的对边，且，，的面积为，那么等于（ ）
A． B． C． D．
题型五：正余弦定理的综合应用
策略方法
(1)判断三角形形状时,应围绕三角形的边角关系,利用正弦定理或余弦定理进行边角互化,要么把角转化为边,通过代数变形找出边之间的关系,要么把边转化为角,通过三角变换找出角之间的关系,当然也可以边角同时考虑.
(2)在解题中,若出现关于边的齐次式(方程),或关于角的正弦的齐次式(方程),可通过正弦定理,进行边角互化.
【例5】在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】在中，若，则的面积为（ ）
A． B． C．或 D．
【变式5-2】在中，，，且的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，那么是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【变式5-4】已知的角的对边分别为，且满足，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-5】在中，，，所对的边分别是，，，，，且满足，则该三角形的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-6】已知△的内角，，的对边分别为，，，且．
(1)求证：；
(2)若的面积为，且，求．
正弦定理 随堂检测
1．在中，已知，，，则边的长为（ ）
A．B．C．D．
2．在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则此三角形的解的情况是（ ）
A．有一解B．有两解
C．无解D．有解但解的个数不确定
3．在中，角，，所对的边分别为，，． ，，则（ ）
A．B．C．D．
4.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A．8B．5C．4D．3
5．若，且，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
6．在中，若，则的面积为（ ）
A． B． C．或 D．
7．设△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则 ．
8．设的内角，，的对边分别是，，，若，，，则 .
9.在中，角、、的对边分别为、、，已知，， ，则 ．
10．在中，，，，则边上的高为 .
11．记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为 .
12．在中，内角、、的对边分别为、、，的面积为，，，则 .
13．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，，则 ；面积为 ．
14．已知内角的对边分别为，设.
(1)求；
(2)若的面积为，求的值.
15．记的内角的对边分别为，已知.
(1)求的值；
(2)若，且的周长为，求边上的高.
①已知两角和一边解三角形
②已知两边和其中一边的对角解三角形
③判断三角形的形状
④与三角形面积相关的问题
⑤正余弦定理的综合应用
A为钝角
A为直角
A为锐角
a>b
一解
一解
一解
a=b
无解
无解
一解
absin A
两解
a=bsin A
一解
a