2024-2025学年江苏省扬州市高一下册期中考试数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省扬州市高一下册期中考试数学检测试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
2. 是虚数单位，复数的虚部为（ ）
A. B. C. 5D.
3. 若，则
A. B. C. D.
4. 在中，，则的最小内角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，已知等腰直角三角形，是由斜二测画法得到的一个水平放置的平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（ ）
A. B. 1C. D.
6. 已知锐角满足，则等于（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，为中点，为的中点，若，则等于（ ）

A. B. C. D.
8. 若，是一组基底，向量，则称为向量在基底，下的坐标．现已知向量在基底，下的坐标为，则在另一组基底，下的坐标为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）
9. 已知复数(虚数单位)，则（ ）
A. B. z对应点在第一象限
C. z的虚部为D. z的共轭复数为
10. 下列命题中正确的有（ ）
A. 棱柱的侧面一定是平行四边形
B. 空间内三点确定一个平面
C. 分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上
D. 一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内
11. ΔABC是边长为2的等边三角形,已知向量满足,,则下列结论中正确的是
A. 为单位向量B. 为单位向量C. a⊥bD.
12. 设，，分别为内角，，的对边，下列条件中，可以判定一定为等腰三角形的有（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 计算：______．
14. 已知向量与的夹角为120°，且，那么的值为______.
15. 一船以的速度向正北航行，在处看灯塔在船的北偏东，1小时30分后航行到处，在处看灯塔在船的南偏东，则灯塔与之间的距离为______.
16. 锐角中，内角、、所对的边分别为、、，，且，则面积的取值范围是___________.
四、解答题：（本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 当实数m取什么值时，复数z＝（m2＋5m＋6）＋（m2－2m－15）i是下列数？
（1）实数；
（2）0；
（3）纯虚数.
18. 已知，．
（1）当为何值时，与共线？
（2）当为何值时，与垂直？
（3）当为何值时，与的夹角为锐角
19. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，．
（1）求和的值；
（2）求的值．
20. 在中，内角，，的对边分别为，，，且满足．
（1）求角的大小；
（2）若，且，求的面积．
21. 如图，扇形钢板POQ的半径为1，圆心角为60°.现要从中截取一块四边形钢板ABCO.其中顶点B在扇形POQ的弧PQ上，A，C分别在半径OP，OQ上，且AB⊥OP，BC⊥OQ.
（1）设∠AOB=θ，试用θ表示截取的四边形钢板ABCO的面积S（θ），并指出θ的取值范围；
（2）求当θ为何值时，截取的四边形钢板ABCO的面积最大.
22. 如图，已知正方形边长为2，过中心O的直线l与两边分别交于交于点M、N．
（1）求的值；
（2）若Q是的中点，求的取值范围；
（3）若P的平面上一点，且满足，求的最小值．
2024-2025学年江苏省扬州市高一下学期期中考试数学检测试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】由向量共线的坐标运算求解.
【详解】向量，，若，则有，解得.
故选：D.
2. 是虚数单位，复数的虚部为（ ）
A. B. C. 5D.
【正确答案】A
【分析】由复数的乘法运算复数的虚部定义即可得解..
【详解】，所以复数的虚部为.
故选：A
3. 若，则
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】分析：由公式可得结果.
详解：
故选B.
点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.
4. 在中，，则的最小内角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由正弦定理可得是最小的角，设，再由余弦定理可得答案.
【详解】由正弦定理可得，
可得是最小的角，设，则，
由余弦定理得.
故选：B.
5. 如图，已知等腰直角三角形，是由斜二测画法得到的一个水平放置的平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（ ）
A B. 1C. D.
【正确答案】D
【分析】利用斜二测画法还原图形可得答案.
【详解】∵，，，∴，
由此可知平面图形是如图所示的，
其中，，，
∴．
故选：D.
6. 已知锐角满足，则等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】由三角函数的定义可得，再利用两角差的余弦公式即可求解.
【详解】由题意可得，，
==+.
故选：A．
7. 在中，为的中点，为的中点，若，则等于（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由向量线性运算结合图形特征，求出的值即可.
【详解】在中，为的中点，为的中点，
则，所以，.
故选：B
8. 若，是一组基底，向量，则称为向量在基底，下的坐标．现已知向量在基底，下的坐标为，则在另一组基底，下的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据题意可得，且，代入运算即可.
【详解】因为，，，，
可知，
又因为向量在基底，下的坐标为，
则，
所以在基底，下的坐标为.
故选：C.
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）
9. 已知复数(为虚数单位)，则（ ）
A. B. z对应的点在第一象限
C. z的虚部为D. z的共轭复数为
【正确答案】AB
【分析】由复数的相关概念依次判断各选项即可得出结果.
【详解】由题意，因为z＝1＋，所以|z|＝＝，其对应的为在第一象限，且其虚部为1，其共轭复数为1－，
所以选项A，B正确，选项C，D错误，
故选：AB.
10. 下列命题中正确的有（ ）
A. 棱柱的侧面一定是平行四边形
B. 空间内三点确定一个平面
C. 分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上
D. 一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内
【正确答案】AC
【分析】利用平面的定义，棱柱的定义，对选项逐一判断即可.
【详解】对于A选项，由棱柱的定义可知，其侧面一定是平行四边形，故A正确；
对于B选项，要强调该三点不在同一直线上，故B错误；
对于C选项，两条直线的交点同时在两个平面上，所以交点只可能在两个平面的交线上，故C正确；
对于D选项，要强调该直线不经过给定两边的交点，故D错误.
故选：AC.
11. ΔABC是边长为2的等边三角形,已知向量满足,,则下列结论中正确的是
A. 为单位向量B. 为单位向量C. a⊥bD.
【正确答案】AD
【分析】
根据正三角形的性质与平面向量的线性运算与数量积分析即可.
【详解】∵等边三角形的边长为2,,∴,∴,故A正确；
∵,∴,∴,故B错误；
由于,∴与的夹角为120°,故C错误；
又∵,
∴,故D正确.
故选: AD.
本题主要考查了向量的数量积运算法则,属于基础题型.
12. 设，，分别为的内角，，的对边，下列条件中，可以判定一定为等腰三角形的有（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】BCD
【分析】由已知结合正弦定理及三角恒等变换，检验各选项即可.
【详解】A：因为，由正弦定理，得
，即，
所以或，
所以或，
为等腰三角形或直角三角形，故A不符题意；
B：因为，由正弦定理，得
，即，
所以，即一定为等腰三角形，故B符合题意；
C：因为，由正弦定理，得
，即，
所以，即一定为等腰三角形，故C符合题意；
D：因为，
所以，
有，即
所以，即一定等腰三角形，故D符合题意.
故选：BCD
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 计算：______．
【正确答案】
【分析】利用复数的除法运算、模长公式计算可得答案.
【详解】.
故答案为.
14. 已知向量与的夹角为120°，且，那么的值为______.
【正确答案】－8
【分析】
先根据数量积的分配律将所求式子展开，再由平面向量数量积的运算法则即可得解.
【详解】解.
故 -8.
本题考查数量积的计算，此类问题一般利用数量积的运算律和定义来处理，本题属于基础题.
15. 一船以的速度向正北航行，在处看灯塔在船的北偏东，1小时30分后航行到处，在处看灯塔在船的南偏东，则灯塔与之间的距离为______.
【正确答案】
【分析】根据题意连接可得如图三角形，再由所给角度可得，利用正弦定理解即可得解.
【详解】
如图，，
根据航速为，
则，
由正弦定理可得，
所以，
故60.
16. 锐角中，内角、、所对的边分别为、、，，且，则面积的取值范围是___________.
【正确答案】
【分析】
利用正弦定理、余弦定理可得出的值，可求得角的值，利用正弦定理、三角恒等变换思想可得出，求出角的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得面积的取值范围.
【详解】由正弦定理可得，所以，，
可得，所以，，
，，
由正弦定理可得，，，
，
因为为锐角三角形，则，解得，，
，则.
因此，面积的取值范围是.
故答案为.
方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围是一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
四、解答题：（本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 当实数m取什么值时，复数z＝（m2＋5m＋6）＋（m2－2m－15）i是下列数？
（1）实数；
（2）0；
（3）纯虚数.
【正确答案】（1）m＝5或m＝－3；（2）m＝－3；（3）m＝－2.
【分析】（1）根据虚部为求得.
（2）根据实部和虚部都为求得.
（3）根据实部为，虚部不为求得.
【详解】由m2＋5m＋6＝0，得m＝－2或m＝－3，
由m2－2m－15＝0，得m＝5或m＝－3.
（1）当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，∴m＝5或m＝－3
（2）当时，复数z是0，∴m＝－3.
（3）当时，复数z是纯虚数，∴m＝－2.
18. 已知，．
（1）当为何值时，与共线？
（2）当为何值时，与垂直？
（3）当为何值时，与的夹角为锐角
【正确答案】（1）
（2）
（3）且
【分析】根据平面向量的坐标运算得，，再根据平面向量的平行，垂直，数量积的坐标运算方法，即可解决.
【小问1详解】
因为，，
所以，，
因为与共线，
所以，解得
【小问2详解】
因为，，
所以，，
因为与垂直，
所以，
即，
所以
【小问3详解】
因为，，
所以，，
因为与的夹角为锐角，
所以且与不共线，
解得且
19. 在中，角，，所对边分别为，，，已知，，．
（1）求和的值；
（2）求的值．
【正确答案】（1），．
（2）
【分析】（1）由余弦定理求，再由正弦定理求出即可；
（2）由二倍角的正、余弦公式及两角和的正弦公式得解.
【小问1详解】
在中，由，得．
由已知及余弦定理，得，所以．
由正弦定理，得．
所以的值为，的值为．
【小问2详解】
由（1）及，得，
所以，．
所以．
20. 在中，内角，，的对边分别为，，，且满足．
（1）求角大小；
（2）若，且，求的面积．
【正确答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用二倍角公式，余弦定理化简已知等式可得的值，结合范围，可得的值．
（2）由已知利用余弦定理解得，进而根据三角形的面积公式即可计算得解．
【详解】解：（1）因为
所以，可得：
所以，整理可得，
可得，
因为，
所以.
（2）因为，，且，
所以由余弦定理，可得，解得，
所以.
21. 如图，扇形钢板POQ的半径为1，圆心角为60°.现要从中截取一块四边形钢板ABCO.其中顶点B在扇形POQ的弧PQ上，A，C分别在半径OP，OQ上，且AB⊥OP，BC⊥OQ.
（1）设∠AOB=θ，试用θ表示截取的四边形钢板ABCO的面积S（θ），并指出θ的取值范围；
（2）求当θ为何值时，截取的四边形钢板ABCO的面积最大.
【正确答案】（1），；
（2）.
【分析】（1）根据三角函数和半径得到，，，的长度，然后利用面积公式求面积，并用和差公式、二倍角公式和辅助角公式化简即可；
（2）利用正弦型函数的性质求最值即可.
【小问1详解】
利用正弦函数可得，，，，所以
，.
【小问2详解】
因为，所以，
当，即时，四边形钢板的面积最大.
22. 如图，已知正方形的边长为2，过中心O的直线l与两边分别交于交于点M、N．
（1）求的值；
（2）若Q是的中点，求的取值范围；
（3）若P的平面上一点，且满足，求的最小值．
【正确答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）将向量分解为，利用向量垂直和数量积的运算即可求解；
（2）由O为中点可得，再由和的范围计算即可；
（3）令，由向量共线的判断可得点T在BC上，即可得的范围，再由结合的范围计算即可．
【详解】解：（1）由正方形可得
所以；
（2）因为直线l过中心O且与两边分别交于交于点．
所以O为中点，所以
所以．
因为Q是BC的中点，
所以，
所以，
即的取值范围为；
（3）令，由知点T在BC上，
又因为O为中点，
所以，从而，
因为，
所以，
即的最小值为
本题考查了向量的几何应用，向量的数量积，向量的基本运算，向量的模及向量共线的判定与证明，向量的几何运用．