2024-2025学年内蒙古赤峰市高一上册期中考试数学质量检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年内蒙古赤峰市高一上册期中考试数学质量检测试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若集合，则集合的子集的个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 8
2. 已知幂函数的图象经过点，则＝（ ）
A. B. 9C. D.
3. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
4. 无字证明即无需语言的证明（prf withut wrds），本质上是一种数学语言，形式上是隐含数学命题或定理的证明的图象或图形，可能包含数学符号、记号、方程，但不附带文字．如图，C为线段AB上的点，且，，O为AB的中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则下面可由进行无字证明的不等式为（ ）

A. B.
C. D.
5. 已知函数是定义在上的偶函数，在上有单调性，且，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
7. 若二次函数在上为减函数，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知定义在上的函数，若函数为偶函数，且对任意， ，都有，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 下列选项正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若且，则
D. 若，则
10. 已知不等式的解集是，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 定义，设，则（ ）
A. 有最大值，无最小值
B. 当的最大值为
C. 不等式的解集为
D. 的单调递增区间为
三、填空题
12. 若关于x不等式在区间上有解，则实数m的最小值是__________.
13. 已知函数是一次函数，满足，则的解析式____
14. 已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域都是，且它们在上的图象如图所示，则不等式的解集是_______．
四、解答题
15. 已知全集，已知函数定义域为集合，.
（1）当时，求；
（2）已知：①“”是“”的充分条件；②“”是“”的必要不充分条件；
从这两个条件中任选一个，补充到横线处，若 ，求实数的取值范围.
16. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）写出函数的增区间（不需要证明）；
（3）若函数，求函数的最小值.
17. 通过前面一个月的学习，大家认识了一个朋友：基本不等式.即当时有（当且仅当时不等式取“＝”）.我们称为正数a，b的算术平均数，为它们的几何平均数，两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数.这只是均值不等式的一个简化版本.均值不等式的历史可以追溯到19世纪，由Chebycheff在1882年发表的论文中首次提出.均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式.它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系.它表明：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，且当这些数全部相等时，算术平均数与几何平均数相等.
（1）写出时算术平均数与几何平均数之间的关系，并写出取等号的条件（无需证明）；
（2）利用你写出的式子，求的最小值；
（3）如图，把一块长为6的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子.问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？
18. 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求，的值；
（2）判断在上单调性，并用定义证明；
（3）设，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
19. 2023年10月20日，国务院新闻办举办了2023年三季度工业和信息化发展情况新闻发布会工业和信息化部表示，2023年前三季度，我国新能源汽车产业发展保持强劲的发展势头．在这个重要的乘用车型升级时期，某公司科研人员努力攻克了动力电池单体能量密度达到300Wh/kg的关键技术，在技术水平上使得纯电动乘用车平均续驶里程超过460公里．该公司通过市场分析得出，每生产1千块动力电池，将收入万元，且该公司每年最多生产1万块此种动力电池，预计2024年全年成本总投入2.5x万元，全年利润为Fx万元．由市场调研知，该种动力电池供不应求．（利润＝收入－成本总投入）
（1）求函数Fx的解析式；
（2）当2024年动力电池产量为多少块时，该企业利润最大？最大利润是多少？
2024-2025学年内蒙古赤峰市高一上学期期中考试数学质量检测试卷
一、单选题
1. 若集合，则集合的子集的个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 8
【正确答案】C
【分析】先将集合A化简，再判断得解.
【详解】，
所以集合A的子集的个数为4．
故选：C.
2. 已知幂函数的图象经过点，则＝（ ）
A. B. 9C. D.
【正确答案】D
【分析】求出幂函数的解析式，再代入求值.
【详解】设，由的图象经过点，得，解得，即，
所以.
故选：D
3. 函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据函数定义域，以及指定范围内函数值正负排除部分选项后，即可选出正确选项.
【详解】由函数定义域相关知识可知分母不为零，则，即，
即fx的定义域为，可排除A；
当时，，可排除CD．
故选.
4. 无字证明即无需语言的证明（prf withut wrds），本质上是一种数学语言，形式上是隐含数学命题或定理的证明的图象或图形，可能包含数学符号、记号、方程，但不附带文字．如图，C为线段AB上的点，且，，O为AB的中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则下面可由进行无字证明的不等式为（ ）

A. B.
C. D.
【正确答案】A
分析】利用射影定理求得，结合整理得出正确答案.
【详解】由于是圆的直径，所以，圆的半径为，
而，由射影定理得.
在直角三角形中，，
由射影定理得，
由，所以.
故选：A
这道题的设计较为经典，结合了几何和代数的知识点，对考生的基础知识要求较高,有助于考查学生的综合能力.题目的解题过程按照逻辑顺序展开，先利用射影定理，再结合圆和直角三角形的性质，这样的分析过程符合数学解题的思路.
5. 已知函数是定义在上的偶函数，在上有单调性，且，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】根据偶函数的定义和性质可得且在上有单调性，所以在上单调递增，再逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以，
由可得，
因为在上有单调性，所以在上有单调性，
因为，所以在上单调递增，
对于A：，故选项A不正确；
对于B：，故选项B正确；
对于C：，故选项C不正确；
对于D：，，，
所以，故选项D不正确；
故选：B.
6. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】先求出不等式的等价条件，然后根据充分条件和必要条件的定义，由集合法求解.
【详解】因为，
所以，
解得
若使不等式成立的一个充分不必要条件，
则x的范围是的一个真子集，
故选：A
7. 若二次函数在上为减函数，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据题意，由求解.
【详解】解：因为二次函数在上为减函数，
所以，解得，
所以的取值范围为，
故选：D
8. 已知定义在上的函数，若函数为偶函数，且对任意， ，都有，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据题意，分析可得函数的图象关于对称且在2,+∞上为减函数，则不等式等价于，解得的取值范围，即可得答案.
【详解】解:因为函数为偶函数，
所以函数的图象关于对称，
因为对任意， ，都有，
所以函数在2,+∞上为减函数，
则，
解得.
即实数的取值范围是.
故选：A.
本题考查函数的对称性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于综合题.
二、多选题
9. 下列选项正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若且，则
D. 若，则
【正确答案】BC
【分析】根据时不成立说明选项A错误，利用不等式的性质判断选项B，结合题目条件和作差法判断选项C和D.
【详解】A.当时，，故选项A错误.
B. ∵，，∴，
∵，，∴，∴.故选项B正确.
C. ∵，∴，∵，∴，
∴.故选项C正确.
D. ∵，
∴,
∴.故选项D错误.
故选：BC.
10. 已知不等式的解集是，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】BCD
【分析】根据题意，得到和是方程的两个实数根，且，结合韦达定理，可得判定A正确，C正确，D正确，再令，可得判定B正确.
【详解】由不等式的解集是，
可得和是方程的两个实数根，且，
则，可得，所以A错误，C正确；
由，可得，所以D正确；
又由，令，可得，所以B正确.
故选：BCD.
11. 定义，设，则（ ）
A. 有最大值，无最小值
B. 当的最大值为
C. 不等式的解集为
D. 的单调递增区间为
【正确答案】BC
【分析】作出函数图象，根据图象逐项判断即可.
【详解】作出函数的图象，如图实线部分，
对于A，根据图象，可得无最大值，无最小值，故A错误；
对于B，根据图象得，当时，的最大值为，故B正确；
对于C，由，解得，结合图象，得不等式的解集为，
故C正确；
对于D，由图象得，的单调递增区间为，故D错误.
故选：BC.
三、填空题
12. 若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的最小值是__________.
【正确答案】
【分析】分离参数得，再设新函数，求出其最小值即可.
【详解】因为关于不等式在区间上有解，
所以在区间上有解，
令，因为在区间上单调递减，
则在区间上也单调递减，
所以，
所以，则实数m的最小值是.
故答案为.
13. 已知函数是一次函数，满足，则的解析式____
【正确答案】或
【分析】根据题意设设，进而利用待定系数法求解即可.
【详解】解：设，
由题意可知，
所以，解得或，
所以或.
故或
14. 已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域都是，且它们在上的图象如图所示，则不等式的解集是_______．
【正确答案】
【分析】不等式转化为或，再结合函数的性质和图象，即可求解.
【详解】或，
得或，
解得：或，或，
所以不等式的解集为.
故
四、解答题
15. 已知全集，已知函数的定义域为集合，.
（1）当时，求；
（2）已知：①“”是“”的充分条件；②“”是“”的必要不充分条件；
从这两个条件中任选一个，补充到横线处，若 ，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）或x>5
（2）条件选择见解析，
【分析】（1）求函数定义域得集合，解分式不等式得集合，然后由集合的运算法则计算；
（2）解含有参数的不等式得集合，选①得集合是集合的子集，根据包含关系得不等式组求解；选项②得集合是集合的真子集，根据包含关系得不等式组求解．
小问1详解】
由题意，由得，，-
当时，， -
∵全集，
∴或，或，
∴或.
【小问2详解】
由题意，，
∵对任意实数，都有，∴集合.
-
选①：因为“”是“”的充分条件，则集合是集合的子集，
所以，解得：，
因此，实数的取值范围是；
选②：因为“”是“”的必要不充分条件，
所以集合是集合的真子集，
所以且等号不同时取得，解得：，
因此，实数的取值范围是.
16. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）写出函数的增区间（不需要证明）；
（3）若函数，求函数的最小值.
【正确答案】（1）
（2）和
（3）
【分析】（1）根据奇函数的性质，即可求出函数的解析式；
（2）由（1）直接可写出函数的增区间；
（3）求出函数函数的对称轴，在分别根据，，三种情况，结合二次函数的单调性即可求出函数的最小值.
【小问1详解】
解：设，则，
所以
又，
所以
又函数是定义在上的奇函数，所以当时，；
所以；
【小问2详解】
解：由（1）可知，函数的增区间和
【小问3详解】
解：因为
所以
所以函数的对称轴为；
当时，即时，所以在区间上单调递增函数，
所以；
当时，即时，所以在区间上单调递减函数，
所以；
当时，即时，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以；
综上，
17. 通过前面一个月的学习，大家认识了一个朋友：基本不等式.即当时有（当且仅当时不等式取“＝”）.我们称为正数a，b的算术平均数，为它们的几何平均数，两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数.这只是均值不等式的一个简化版本.均值不等式的历史可以追溯到19世纪，由Chebycheff在1882年发表的论文中首次提出.均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式.它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系.它表明：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，且当这些数全部相等时，算术平均数与几何平均数相等.
（1）写出时算术平均数与几何平均数之间关系，并写出取等号的条件（无需证明）；
（2）利用你写出的式子，求的最小值；
（3）如图，把一块长为6的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子.问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？
【正确答案】（1）答案见解析
（2）
（3）切去的正方形边长为时，才能使盒子的容积最大，
【分析】（1）由题意得，当，，即可求解；
（2）由（1），当时，，即可求解；
（3）设小正方形的边长为，得到盒子的容积为则，利用不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：由题意，当时，若，可得，
即算术平均数与几何平均数的关系为，当且仅当时，等号成立.
【小问2详解】
解：由（1）中，当，可得，
可得时，，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
【小问3详解】
解：设小正方形的边长为，则盒子高为，底边边长为，
可得盒子的容积为，其中，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以切去的正方形边长为时，才能使盒子的容积最大，最大容积为.
18. 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求，的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
【正确答案】（1），；
（2）单调递增，证明见解析
（3）
【分析】（1）由题可得图象过点结合可得，的值；
（2）由单调性证明步骤可证得结论；
（3）由题可得，后讨论k结合单调性可得，即可得范围.
【小问1详解】
)因为函数是定义在上的奇函数，且，
则，解得，.所以函数，
经检验，函数为奇函数，所以，；
【小问2详解】
在上单调递增.
证明如下：设
则，
其中，，
所以，即，
故函数上单调递增；
【小问3详解】
因为对任意的，总存在，使得，所以，
因为在上单调递增，所以，
当时，；所以恒成立，符合题意；
当时，在上单调递增，则，
所以，解得；
当时，函数在上单调递减，则，
所以，解得.，
综上所述，实数的取值范围为.
19. 2023年10月20日，国务院新闻办举办了2023年三季度工业和信息化发展情况新闻发布会工业和信息化部表示，2023年前三季度，我国新能源汽车产业发展保持强劲的发展势头．在这个重要的乘用车型升级时期，某公司科研人员努力攻克了动力电池单体能量密度达到300Wh/kg的关键技术，在技术水平上使得纯电动乘用车平均续驶里程超过460公里．该公司通过市场分析得出，每生产1千块动力电池，将收入万元，且该公司每年最多生产1万块此种动力电池，预计2024年全年成本总投入2.5x万元，全年利润为Fx万元．由市场调研知，该种动力电池供不应求．（利润＝收入－成本总投入）
（1）求函数Fx的解析式；
（2）当2024年动力电池的产量为多少块时，该企业利润最大？最大利润是多少？
【正确答案】（1）
（2）当2024年动力电池的产量为7000块时，该企业利润最大，最大利润是207.5万元．
【分析】（1）根据已知函数模型得出函数解析式；
（2）分别利用二次函数性质和基本不等式求出分段函数两段的最大值，然后比较可得．
【小问1详解】
由题意得，
∵，
∴当时，，
当时，，
综上所述，函数Fx的解析式为．
【小问2详解】
由（1）得，
当时，，
∴Fx在上单调递减，在上单调递增，
∴；
当时，
，
当且仅当，即时，，
∵，
∴Fx的最大值为207.5，
故当2024年动力电池的产量为7000块时，该企业利润最大，最大利润是207.5万元．