2024-2025学年青海省西宁市湟中区高一上册第二次月考（期中）数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年青海省西宁市湟中区高一上册第二次月考（期中）数学检测试卷（附解析），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据集合交集、并集、补集的运算，可得答案.
【详解】，，则.
故选：C.
2. 命题的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】根据全称命题的否定的定义判断．
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题的否定是：，
故选：C．
3. 已知是幂函数，则（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【正确答案】D
【分析】根据函数是幂函数求出参数，再求函数值即可.
【详解】因为是幂函数，所以，解得，则，
所以.
故选：D.
4. 已知正实数、满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为正实数、满足，
则，
当且仅当时，即当时，等号成立，所以，的最小值为.
故选：A.
5. 已知函数，则函数解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】利用换元法可求得函数的解析式.
【详解】令，则，且，
由，可得，
故.
故选：A.
6. 已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因对数函数在上为减函数，则，
指数函数在上为减函数，则，即，故.
故选：C.
7. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再由观察图像的变化情况或取特殊值即可得答案
【详解】由为偶函数可排除A，C；
当时，图象高于图象，即，排除B；
故选：D．
识图常用的方法：
（1）定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；
（2）定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；
（3）函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
8. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A. 或B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】分、两种情况讨论，在时，直接检验即可；在时，利用二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.
【详解】由题意可知，不等式的解集为，
当时，即当时，原不等式即为，合乎题意；
当时，即当时，则有，
解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：C.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 下列命题成立的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【正确答案】BD
【分析】对于AC：举反例说明即可；对于BD：利用作差法分析判断.
【详解】对于选项AC：例如，满足，
但，即，故A错误；
且，即，故C错误；
对于选项B：因为，
若，则，
可得，即，故B正确；
对于选项D：因为，
若，则，
可得，即，故D正确；
故选：BD.
10. 下列函数中，满足“，都有”的有（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】AC
【分析】由题意得，函数在上单调递增，然后逐个分析判断即可
【详解】因为，都有，
所以函数在上单调递增，
对于A，在上单调递增，所以A正确，
对于B，在上单调递减，所以B错误，
对于C，因为的对称轴为直线，且开口向上，所以函数在上单调递增，所以C正确，
对于D，在上单调递减，所以D错误，
故选：AC.
11. 已知函数是减函数，则的可能取值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】CD
【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，求出的取值范围即可.
【详解】根据题意，函数在上为减函数，则，可得，
函数在上为减函数，则，解得，
且有，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
故选：CD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 函数的定义域用区间表示为______．
【正确答案】
【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域.
【详解】对于函数，有，解得，
故函数的定义域为.
故答案为.
13. 若命题“，”是假命题，则的取值范围为______.
【正确答案】
【分析】由题意可知此命题的否定为真命题，从而可求出的取值范围.
【详解】因为“，”是假命题，
所以“，”是真命题，即在上恒成立，
因为在上单调递增，所以，
则.
故答案为.
14. 若满足对任意的实数a、b都有且，则________．
【正确答案】2024
【分析】根据且，令得到求解.
【详解】解：因为满足对任意的实数a、b都有且，
令得，即，
所以，
所以，
故2024
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 计算下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）若，，求值.
【正确答案】（1）
（2）
（3）1
【分析】（1）根据幂的运算法则计算；
（2）利用换底公式后计算；
（3）指数式与对数式互化后，由对数运算法则、换底公式求解．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
，又，
所以.
16. 已知集合；．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的既不充分也不必要条件，求的取值范围．
【正确答案】（1）或
（2）或
【分析】（1）求出集合，当时，写出集合，利用补集和并集的定义可得出集合；
（2）先考虑当集合、有包含关系时实数的取值范围，即可得出当“”是“”的既不充分也不必要条件时，实数的取值范围.
【小问1详解】
当时，，则或，
因为，所以，或.
【小问2详解】
因为，，
若，则，无解；
若，则，解得，
因此，若“”是“”的既不充分也不必要条件，则或，
因此，实数的取值范围是或.
17. 某公司为了推广某款新产品，计划投资15万元用于这款新产品的宣传.每生产万件该产品，需另投入成本万元，且.已知该公司这款新产品每件的售价为14元，且生产的所有产品都能销售完.
（1）求该公司这款产品的利润（单位：万元）关于产量（单位：万件）的函数关系式.
（2）当产量为多少万件时，该公司这款产品的利润最大？最大利润是多少？
【正确答案】（1）；
（2）当产量为16万件时，该公司这款产品的利润最大，最大利润是13万元.
【分析】（1）根据给定条件，利用给定模型求出.
（2）利用二次函数、基本不等式求出各段上函数最大值，再比较大小即得.
【小问1详解】
当时，；
当时，.
所以.
【小问2详解】
当时，，
则当产量为9万件时，利润达到最大值12万元；
当时，，当且仅当，即时取等号，
则当产量为16万件时，利润达到最大值13万元，而，
所以当产量为16万件时，该公司这款产品的利润最大，最大利润是13万元.
18. 设．
（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式．
【正确答案】（1）
（2）答案见解析
【分析】（1）由题意可知，不等式对一切实数恒成立，分、两种情况讨论，在时，直接检验即可；在时，根据二次不等式恒成立可得出关于的不等组，综合可得出实数的取值范围；
（2）将原不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式和一次不等式的解法可得出原不等式的解集.
【小问1详解】
由题意可得对一切实数恒成立，
即不等式对一切实数恒成立，
当时，则有，不合乎题意，
当时，则有，解得.
综上所述，实数取值范围是.
【小问2详解】
由，可得，
可化为.
（i）当时，原不等式即为，解得，
（ii）当时，原不等式可化为，
当时，即当时，原不等式即为，解得；
当时，即当时，解原不等式可得或；
当时，即当时，解原不等式可得或.
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
19. 已知函数和都是奇函数，，且，当时，，且函数的定义域为.
（1）求和的解析式；
（2）用定义法判断在区间上的单调性；
（3），都有，求的取值范围．
【正确答案】（1）,
（2）证明见解析 （3）
【分析】（1）由求出值，可得出函数的解析式，由奇函数的定义可得出，再结合奇函数的定义求出函数在时的解析式，由此可得出函数的解析式；
（2）任取、且，作差，变形后判断的符号，结合函数单调性的定义可得出结论；
（3）分析函数的单调性，将所求不等式变形为，得，求出函数在区间上的最大值，即可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
因为，，解得，所以，，
因为函数是定义域为R的奇函数，则，
当时，，
则当时，，，
则，
因此，.
【小问2详解】
任取、且，即，则，，
，
所以，函数在上为增函数.
【小问3详解】
因为，
则函数在、0,+∞上均为增函数，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，函数在R上为增函数，且为奇函数，
由可得，
则，因为，可得，
构造函数，其中，
因为函数、在上均为减函数，
所以，函数在上单调递减，由题意可得，
因此，实数的取值范围是1,+∞.