2024-2025学年黑龙江省鸡西市虎林高级中学、鸡东二中三校联考高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年黑龙江省鸡西市虎林高级中学、鸡东二中三校联考高二（上）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.抛物线x=−2y2的焦点坐标为( )
A. (0,−12)B. (−12,0)C. (−18,0)D. (0,−18)
2.已知经过椭圆x225+y216=1的右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点，则△AF1B的周长为( )
A. 10B. 20C. 30D. 40
3.已知平面α的一个法向量n1=(1,2,x)，平面β的一个法向量n2=(−2,y,4)，若α//β，则x−y=( )
A. −2B. −4C. 2D. 4
4.已知圆C1：(x+1)2+(y−1)2=1与圆C2：x2+y2−4x−2y+5−a2=0(a>0)外切，则a的值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.抛物线C：x2=4y的准线为l，M为C上的动点，则点M到l与到直线2x−y−5=0的距离之和的最小值为( )
A. 3 55B. 4 55C. 5D. 6 55
6.已知椭圆y29+x24=1与直线l交于A，B两点，若点P(−1,1)为线段AB的中点，则直线l的方程是( )
A. 9x+4y−13=0B. 9x−4y+13=0
C. 4x−9y+13=0D. 4x−9y+3=0
7.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为C在第一象限上的一点.若△PF1F2为直角三角形，|PF1|+|PF2|=2|F1F2|，则C的离心率为( )
A. 32B. 3C. 2D. 52
8.已知点P是椭圆x29+y25=1上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若∠F1PF2=60°，则下列说法正确的是( )
A. △F1PF2的面积为 3
B. 若点M是椭圆上一动点，则MF1⋅MF2的最大值为9
C. 点P的纵坐标为5 36
D. △F1PF2内切圆的面积为π3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线Γ：x216−y29=1的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，M为Γ上异于顶点的动点，则下列说法正确的有( )
A. 双曲线Γ的离心率为45B. 双曲线Γ的渐近线方程为y=±34x
C. 点F到渐近线的距离为4D. 直线MA与直线MB的斜率乘积为916
10.如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠ADC=120°，PD=AD，M，N分别是棱DC，PB的中点，则( )
A. MN= 3
B. AB⋅BP=−2
C. 平面PMN⊥平面PCD
D. 直线PB与平面PAD所成角的正弦值为 64
11.设O为坐标原点，直线y=− 3(x−1)过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，若直线l为C的准线，则( )
A. p=4B. |MN|=163
C. 以MN为直径的圆与l相切D. △OMN为等腰三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线C的方程为x27−m−y2m−3=1，则m的取值范围为______．
13.已知向量a=(x,1,−1)，b=(2,1,0)，|a|= 2，则a⋅b= ______．
14.已知P是椭圆x23+y2=1上动点，则P点到直线l：x+y−2 3=0的距离的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
求适合下列条件的曲线的标准方程：
(1)已知动点P(x,y)到定点F(2,0)的距离和P到定直线l：x=8的距离的比是常数12，记点P的轨迹为曲线C.求曲线C的标准方程；
(2)求过点(4,3)，(−3, 152)的双曲线的标准方程．
16.(本小题15分)
已知直线l1：x+y−1=0与圆C：x2+y2−2ax−2y=0(a>0)交于A，B两点，且∠CAB=30°．
(Ⅰ)求实数a的值；
(Ⅱ)若点P为直线l2：x+y+2=0上的动点，求△PAB的面积．
17.(本小题15分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面是正方形，且AB=2，PA⊥PB.四棱锥P−ABCD的体积为43．
(I)证明：平面PAB⊥平面ABCD；
(Ⅱ)求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知双曲线C：x24−y2=1，M(m,2)，斜率为k的直线l过点M．
(1)若m=0，且直线l与双曲线C只有一个公共点，求k的值；
(2)双曲线C上有一点P，∠F1PF2的夹角为120°，求三角形PF1F2的面积．
19.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，且AF1⋅AF2=0，动直线l与椭圆交于P，Q两点；当直线l过焦点且与x轴垂直时，|PQ|=2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l过点E(1,0)，椭圆的左顶点为B，当△BPQ面积为 10时，求直线l的斜率k．
参考答案
1.C
2.B
3.C
4.B
5.D
6.B
7.C
8.D
9.BD
10.BCD
11.BC
12.(3,7)
13.1
14. 2+ 6
15.解：(1)动点P(x,y)到定点F(2,0)的距离和P到定直线l：x=8的距离的比是常数12，
(x−2)2+y2|8−x|=12，即2 (x−2)2+y2=|8−x|，
两边平方得4(x2−4x+4+y2)=64−16x+x2，
整理得x216+y212=1．
(2)设双曲线的方程为Ax2+By2=1，双曲线过点(4,3)，(−3, 152)，
将(4,3)，(−3, 152)代入得：
16A+9B=19A+154B=1，解得A=14,B=−13，
所以双曲线方程为x24−y23=1．
16.解：(Ⅰ)将圆C：x2+y2−2ax−2y=0(a>0)可化为(x−a)2+(y−1)2=a2+1，
所以其圆心C(a,1)，半径r= a2+1，
作CD⊥AB于点D，
由垂径定理可得D为AB的中点，
由∠CAB=30°可得CD=12AC=12r，
又CD=|a| 1+1=|a| 2= a2+12，
解得a=1；
(Ⅱ)由(1)可知CD= 22，
所以AB=2 3×CD= 6，
又直线l2：x+y+2=0与直线l1：x+y−1=0平行，
所以点P到AB的距离为d=|2+1| 1+1=3 22，
因此S=12AB⋅d=12× 6×3 22=3 32，
即△PAB的面积为3 32．
17.解：(I)证明：取AB的中点O，连接OP，因为AB=2，PA⊥PB，
所以PO=12AB=1，
又四棱锥P−ABCD的底面是正方形，
所以SABCD=22=4，
设P到平面ABCD的距离为ℎ，
则VP−ABCD=13ℎSABCD=13×ℎ×4=43，
所以ℎ=1，
所以PO=ℎ，即PO⊥平面ABCD，又PO⊂平面PAB，
所以平面PAB⊥平面ABCD；

(Ⅱ)取CD的中点，连接OE，则OE/​/BC，即OE⊥AB，
如图建立空间直角坐标系，则P(0,0,1)，C(1,2,0)，D(−1,2,0)，
所以DC=(2,0,0)，PC=(1,2,−1)，
设平面PCD的法向量为n=(x,y,z)，
则n⊥DCn⊥PC，则n⋅DC=2x=0n⋅PC=x+2y−z=0，
取n=(0,1,2)，
又平面PAB的一个法向量为m=(0,1,0)，
设平面PAB与平面PCD夹角为θ，
则csθ=|m⋅n||m|⋅|n|=11× 5= 55，
所以平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为 55．
18.解：(1)当m=0时，M(0,2)，
则直线l的方程为y=kx+2，
当k≠±12时，联立方程组x24−y2=1y=kx+2，
得(1−4k2)x2−16kx−20=0，
由直线和双曲线相切的条件，可得Δ=(−16k)2−4⋅(1−4k2)⋅(−20)=0，
解得k=± 52；
双曲线C：x24−y2=1的渐近线为y=±12x，
所以当k=±12时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点．
综上所述，当直线与双曲线只有一个公共点时k=±12或k=± 52；
(2)由双曲线C：x24−y2=1，
则F1(− 5,0)，F2( 5,0)，|F1F2|=2 5，
又点P在双曲线上，即|PF1|−|PF2|=4，即(|PF1|−|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2−2|PF1|⋅|PF2|=16，
在△PF1F2中，由余弦定理cs∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1|⋅|PF2|，
即−12=16+2|PF1|⋅|PF2|−202|PF1|⋅|PF2|，
解得|PF1|⋅|PF2|=43，
所以△PF1F2的面积S△PF1F2=12|PF1|⋅|PF2|⋅sin∠F1PF2=12⋅43⋅ 32= 33．
19.解：(1)易知椭圆C的上顶点A(0,b)，左，右焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)，
所以AF1=(−c,−b)，AF2=(c,−b)，
因为AF1⋅AF2=0，
所以AF1⋅AF2=−c2+(−b)2=0，
即b2=c2，
又a2−b2=c2，
所以a= 2b，①
因为当直线l过焦点且与x轴垂直时，|PQ|=2，
所以2b2a=2，②
联立①②，
解得a=2，b= 2，
则椭圆方程为x24+y22=1；
(2)不妨设直线l的方程为x=my+1，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
联立x24+y22=1x=my+1，消去x并整理得(m2+2)y2+2my−3=0，
由韦达定理得y1+y2=−2mm2+2，y1y2=−3m2+2，
则S△F1PQ=12|EB|⋅|y1−y2|=12×3× (−2mm2+2)2−4×−3m2+2= 10，
解得m=±1，
故直线的斜率为±1．