2024-2025学年广东省汕尾市部分学校高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省汕尾市部分学校高二（上）期中数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.经过点(1,3)，(−2,4)的直线方程为( )
A. x+3y−10=0B. 3x+y−6=0C. x−3y+8=0D. 3x+y+2=0
2.已知点M(1,4)到直线l：mx+y−1=0的距离为3，则实数m=( )
A. 0B. 34C. 3D. 0或34
3.已知点A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1,0)，则点P到平面ABC的距离为( )
A. 22B. 2C. 3D. 2
4.某市为了了解该市的“全民健身运动”的开展情况，从全体市民中随机调查了100位市民每天的健身运动时间(健身运动时间是考查“全民健身运动”情况的重要指标)，所得数据都在区间[5,40](单位：分钟)中，其频率直方图如图所示，估计市民健身运动时间的样本数据的70百分位数是( )
A. 29分钟B. 27分钟C. 29.5分钟D. 30.5分钟
5.已知F1，F2分别为椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点，P是椭圆E上的点，PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则椭圆E的离心率为( )
A. 102B. 104C. 53D. 56
6.已知双曲线C：x24−y25=1的左焦点为F1，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为(3,1)，则|MD|−|MF1|的最大值为( )
A. 3B. 1C. −3D. −2
7.已知x，y∈R且x2+y2=1，则4x−3y的最大值为( )
A. 1B. 7C. 23D. 5
8.已知A(−1,−1)，B(−2,0)，C(6,−2)，点P是圆E：x2+y2=1上的一点，则|PA|2+|PB|2+|PC|2的最小值为( )
A. 3 2+37B. 49−6 3C. 3 3+37D. 49−6 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在平面直角坐标系中，已知点A(−1,0)，B(1,0)，点M是平面内的一个动点，则下列说法正确的是( )
A. 若||MA|−|MB||=1，则点M的轨迹是双曲线
B. 若|MA|+|MB|=2，则点M的轨迹是椭圆
C. 若|MA|=|MB|，则点M的轨迹是一条直线
D. 若MA⋅MB=2，则点M的轨迹是圆
10.下列说法正确的是( )
A. 若直线的一个方向向量为(2,3)，则该直线的斜率为k=32
B. 方程y−3=k(x+2)表示过点(−2,3)的所有直线
C. 当点P(3,2)到直线mx−y+1−2m=0的距离最大时，m的值为−1
D. 已知直线l过定点P(1,0)且与以A(2,−3)，B(−3,−2)为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是(−∞,−3]∪[12,+∞)
11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E为棱DD1的中点，P为底面正方形ABCD内(含边界)的动点，则( )
A. 三棱锥B1−A1D1P的体积为定值
B. 直线B1E//平面A1BD
C. 当A1P⊥BD时，点E到平面A1AP的距离为 22
D. 当∠APA1的正切值为2时，动点P的轨迹长度为π4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线x29−y216=1上一点P到双曲线的一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为______．
13.已知点A(−2,0)，动点B的纵坐标小于等于零，且点B的坐标满足方程x2+y2=1，则直线AB的斜率的取值范围是______．
14.过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线交于M、N两点(其中M点在第一象限)，若MN=3FN，则直线l的斜率为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°；M为A1C1与B1D1的交点.已知AB=a，AD=b，AA1=c．
(1)求对角线AC1的长；
(2)求cs．
16.(本小题12分)
在2024年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌，国球运动再掀热潮.现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛(五局三胜制)，其中每局中甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，每局比赛都是相互独立的．
(1)求比赛只需打三局的概率；
(2)已知甲在前两局比赛中获胜，求甲最终获胜的概率．
17.(本小题12分)
圆心为C的圆经过点A(−4,1)，B(−3,2)，且圆心C在l：x−y−2=0上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)过点P(3,−1)作直线m交圆C于M、N且|MN|=8，求直线m的方程．
18.(本小题12分)
在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB//DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC中点．
(Ⅰ)证明：BE//平面PAD；
(Ⅱ)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
(Ⅲ)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F−AB−P的余弦值．
19.(本小题12分)
已知双曲线C的中心为坐标原点，F1，F2是C的两个焦点，其中左焦点为(−2 5,0)，离心率为 5．
(1)求C的方程；
(2)双曲线C上存在一点P，使得∠F1PF2=120°，求三角形PF1F2的面积；
(3)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(−4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上．
参考答案
1.A
2.D
3.A
4.B
5.C
6.C
7.D
8.D
9.ACD
10.ABCD
11.ACD
12.9
13.[− 33,0]
14.2 2
15.解：(1)因为以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，
所以a⋅b=|a|⋅|b|cs60°=12，a⋅c=|a|⋅|c|cs60°=12，b⋅c=|b|⋅|c|cs60°=12，
由题意知，AC1=AC+AA1=AB+AD+AA1=a+b+c，
所以|AC1|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a⋅b+2a⋅c+2b⋅c=1+1+1+2×12+2×12+2×12=6，
所以|AC1|= 6，
故对角线AC1的长为 6．
(2)因为A1B1=AB=a，AC1=a+b+c，
所以cs=A1B1⋅AC1|A1B1|⋅|AC1|=a⋅(a+b+c)1× 6=1+12+12 6= 63．
16.解：(1)设事件A=“甲前三局都获胜”，事件B=“乙前三局都获胜”，
则P(B)=13×13×13=127，P(A)=23×23×23=827，
比赛只需打三局的概率为：P=P(A∪B)=P(A)+P(B)=927=13，
(2)甲需要打三局的概率为：P1=23，
甲需要打五局的概率为：P3=13×13×23=227，
甲需要打四局的概率为：P2=13×23=29，
则甲最终获胜的概率为：P=23+29+227=2627，
17.解：(1)由已知kAB=1，AB中点坐标为(−72,32)，
∴AB垂直平分线方程为x+y+2=0．
则由x+y+2=0x−y−2=0，解得x=0y=−2，所以圆心C(0,−2)，
因此半径r=|AC|=5，
所以圆C的标准方程x2+(y+2)2=25．
(2)由|MN|=8可得圆心C到直线m的距离d= 52−42=3，
∴当直线m斜率不存在时，其方程为x=3，
当直线m斜率存在时，设其方程为y+1=k(x−3)，
则d=|−3k+1| k2+1=3，解得k=−43，
此时其方程为4x+3y−9=0，
所以直线m方程为x=3或4x+3y−9=0．
18.(Ⅰ)证明：取PD中点M，连接AM，EM，
由于E，M分别为PC，PD的中点，
故EM/​/DC，且EM=12DC，
又因为AB/​/CD，AB=12DC，
所以EM/​/AB且EM=AB，
故四边形ABEM为平行四边形，
所以BE/​/AM，且BE⊄平面PAD，AM⊂平面PAD，
所以 BE//平面PAD…(4分)
(Ⅱ)解：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，
可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．
由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)．
向量BD=(−1,2,0)，PB=(1,0,−2).设n=(x,y,z)为平面PBD的法向量，
则BD⋅n=0PB⋅n=0即−x+2y=0x−2z=0
可得n=(2,1,1)为平面PBD的一个法向量，
且BE=(0,1,1)
于是有cs〈n⋅BE〉=n⋅BE|n|⋅|BE|= 33，
所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为 33．
(Ⅲ)解：向量BC=(1,2,0)，CP=(−2,−2,2)，AC=(2,2,0)，AB=(1,0,0)．
由点F在棱PC上，设CF=λCP，0≤λ≤1.(若PF=λPC，则λ=14)
故BF=BC+CF=BC+λCP=(1−2λ,2−2λ,2λ)．
由BF⊥AC，得BF⋅AC=0，
因此2(1−2λ)+2(2−2λ)=0，解得λ=34，(若PF=λPC，则λ=14)
即BF=(−12,12,32).设n1=(x,y,z)为平面FAB的法向量，
则AB⋅n1=0BF⋅n1=0，即x=0−12x+12y+32z=0，
可得n1=(0,−3,1)为平面的FAB一个法向量．
取平面ABP的法向量n2=(0,1,0)，
则cs〈n1⋅n2〉=n1⋅n2|n1|⋅|n2|=3 1010，
二面角F−AB−P是锐角，所以其余弦值为3 1010．
19.解：(1)设双曲线方程为：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，
由题可得：c=2 5e=ca= 5，
解得：a=2，则b= c2−a2=4，
所以双曲线方程为：x24−y216=1；
(2)由(1)知，a=2，c=2 5，
所以||PF1|−|PF2||=2a=4，|F1F2|=2c=4 5，
在△PF1F2中，由余弦定理得：cs∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1||PF2|=−12，
即(|PF1|−|PF2|)2+2|PF1||PF2|−|F1F2|22|PF1||PF2|=−12，
即−64+2|PF1||PF2|2|PF1||PF2|=−12，
即|PF1||PF2|=643，
所以三角形PF1F2的面积为12|PF1||PF2|⋅sin∠F1PF2=12×643× 32=16 33；
(3)证明：由(1)可得A1(−2,0)，A2(2,0)，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，显然直线MN的斜率不为0，
所以设直线MN的方程为x=my−4，且−12