2024-2025学年湖南省永州市祁阳四中高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省永州市祁阳四中高二（上）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知点A(3,−1,0)，若向量AB=(2,5,−3)，则点B的坐标是( )
A. (1,−6,3)B. (5,4,−3)C. (−1,6,−3)D. (2,5,−3)
2.已知直线y=− 3x+2，则其倾斜角为( )
A. 60°B. 120°C. 60°或120°D. 150°
3.直线l的一个方向向量为(2,4,5)，平面α的一个法向量为(1,2,t)，若l⊥α，则实数t=( )
A. 52B. 1C. −2D. −85
4.如图，在三棱锥O−ABC中，E为OA的中点，点F在BC上，满足BF=2FC，记OA，OB，OC分别为a，b，c，则EF=( )
A. −12a+13b+23cB. −12a+23b+13c
C. −23a+12b+12cD. 23a−12b−12c
5.已知双曲线C：x2a2−y216=1的左右焦点依次为F1，F2，且|F1F2|=10，若点P在双曲线的右支上，则|PF1|−|PF2|=( )
A. −6B. 6C. 8D. 10
6.已知圆x2+2x+y2=0关于直线ax+y+1−b=0(a、b为大于0的常数)对称，则ab的最大值为( )
A. 14B. 12C. 1D. 2
7.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1⊥MF2的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A. (0,12)B. (0, 22)C. (12, 22)D. ( 22,1)
8.设m∈R，直线l1：mx−y−3m+1=0与直线l2：x+my−3m−1=0相交于点P，点Q是圆C：(x+1)2+(y+1)2=2上的一个动点，则|PQ|的最小值为( )
A. 2B. 3 22−1C. 3 2−2D. 5 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.经过点P(2,−1)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程可能为( )
A. x+2y=0B. x−y−3=0C. x+y−1=0D. 2x−y−5=0
10.已知P是椭圆C：x24+y2=1上的动点，Q是圆D：(x+1)2+y2=14上的动点，则( )
A. 椭圆C的焦距为 3B. 椭圆C的离心率为 32
C. |PD|的最大值为3D. |PQ|的最小值为 63
11.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为AD，AB，B1C1的中点，以下说法正确的是( )
A. A1C⊥平面EFG
B. C到平面EFG的距离为 3
C. 过点E，F，G作正方体的截面，所得截面的面积是3 2
D. 平面EGF与平面BCC1B1夹角余弦值为 33
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线l1：3x+y+m=0与直线l2：mx−y−7=0平行，则直线l1与l2之间的距离为 ．
13.已知向量a与b的夹角为60°，a=(1,1, 2)，|b|=6，则2a−b在a方向上的投影向量为______．
14.如图所示，二面角α−l−β为60°，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，且AC⊥l，BD⊥l，AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(1,2,2)，b=(−2,1,−1)．
(Ⅰ)求a⋅b；
(Ⅱ)求|2a−b|；
(Ⅲ)若a⊥(a+λb)(λ∈R)，求λ的值．
16.(本小题15分)
(1)求与椭圆x22+y2=1有相同的焦点，且经过点(1,32)的椭圆标准方程；
(2)求焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为53的双曲线标准方程．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，点E是PD的中点，AB=1，AD=PA=2．
(1)求PC与AE所成角的大小；
(2)求PC与平面ACE所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
圆C经过点A(2,−1)，和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=−2x上．
(1)求圆C的方程；
(2)圆内有一点B(2,−52)，求以该点为中点的弦所在的直线的方程．
19.(本小题17分)
如图，六面体ABCDEFG中，BE⊥面ABC且BE⊥面DEFG，DG/​/EF，ED=DG=GF=1，AB=BC=CA=EF=2．
(1)求证：DF⊥平面ABED；
(2)若二面角A−DG−E的余弦值为− 5719，求直线AG与平面BDF所成角的余弦．
参考答案
1.B
2.B
3.A
4.A
5.B
6.A
7.B
8.A
9.AC
10.BC
11.ABD
12. 10
13.12a
14.2 17
15.解：(Ⅰ)a⋅b=1×(−2)+2×1+2×(−1)=−2；
(Ⅱ)因为a=(1,2,2)，b=(−2,1,−1)，
所以|a|=3，|b|= 6，
所以|2a−b|= (2a−b)2= 4a2−4a⋅b+b2= 4×9−4×(−2)+6=5 2；
(Ⅲ)因为a⊥(a+λb)，
所以a⋅(a+λb)=a2+λa⋅b=9−2λ=0，
解得λ=92．
16.解：(1)椭圆x22+y2=1中，a2=2，b2=1，所以c2=a2−b2=2−1=1，
椭圆经过点(1,32)，设椭圆方程为x2a12+y2b12=1,(a1>b1>0)，
则a12−b12=11a12+(32)2b12=1，解得a12=4,b12=3，
所以椭圆标准方程为x24+y23=1．
(2)由题意可知b=4,e=ca=53，
设双曲线标准方程x2a2−y2b2=1，
则b=4ca=53a2+b2=c2，
解得a2=9，b2=16，
所以双曲线标准方程x29−y216=1．
17.解：(1)因为底面ABCD是矩形，所以AB⊥AD，
又因为PA⊥底面ABCD，AD、AB⊂底面ABCD，
所以PA⊥AD，PA⊥AB，
故以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，
所以PC=(1,2,−2)，AE=(0,1,1)，
所以PC⋅AE=1×0+2×1−2×1=0，所以PC⊥AE，即PC与AE所成角的大小为π2；
(2)由(1)知PC=(1,2,−2)，AC=(1,2,0)，AE=(0,1,1)，
设平面ACE的一个法向量为n=(x,y,z)，则n⋅AC=x+2y=0n⋅AE=y+z=0，
取y=1，则x=−2，z=−1，所以n=(−2,1,−1)是平面ACE的一个法向量，
设PC与平面ACE所成角为θ，
则sinθ=|cs|=|PC⋅n||PC||n|=23× 6= 69，
所以PC与平面ACE所成角的正弦值为 69．
18.解：(1)设圆心(m,−2m)，方程为：(x−m)2+(y+2m)2=r2，(r>0)
∵圆过A(2,−1)，∴有(2−m)2+(−1+2m)2=r2，
又|m−2m−1| 2=r，解得m=1,r= 2，
∴圆的方程为(x−1)2+(y+2)2=2．
(2)由题意，(x−1)2+(y+2)2=2的圆心坐标为C(1,−2)，
则kCB=−2+521−2=−12，
∴以B(2,−52)为中点的弦所在的直线的斜率为2，
∴所求直线方程为y+52=2(x−2)，即4x−2y−13=0．
19.解：(1)证明：因为BE⊥面ABC且BE⊥面DEFG，AB⊂面ABC且DE⊂面DEFG，
所以AB⊥BE且DE⊥BE，在面ABDE中，DE/​/AB，同理，在面BCFE中，EF/​/BC，
因为AB=BC=CA=2，所以∠DEF=∠ABC=60°，
又EF=2DE=2，由余弦定理得：DF2=12+22−2×1×2cs60°=3，则DF= 3，
因为DF2+DE2=EF2，所以DF⊥DE，
因为BE⊥面DEFG，DF⊂面DEFG，所以DF⊥BE，
又因为DE∩BE=E，DE⊂面ABED，BE⊂面ABED，所以DF⊥面ABED．
(2)取AB中点O，连接OD，由题可知，DE//OB且DE=OB，
所以四边形OBED为平行四边形，则OD//BE，因BE⊥面ABC，故OD⊥面ABC，
又因△ABC为正三角形，所以OC，OA，OD两两垂直，
以O为坐标原点，以OC,OA,OD的方向分别为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

设BE=a(a>0)，
则O(0,0,0),A(0,1,0),B(0,−1,0),C( 3,0,0),D(0,0,a)，
易得，DF/​/OC，∠GDF=∠DFE=30°，所以G( 32,12,a),F( 3,0,a)，
设面ADG的法向量为n1=(x,y,z)，则n1⊥AD，n1⊥DG，
所以n1⋅AD=−y+az=0n1⋅DG= 32x+12y=0，取z= 3，得n1=(−a, 3a, 3)，
又因为BE⊥面DEFG，所以面DEFG的一个法向量为n2=(0,0,1)，
由题意|cs〈n1,n2〉|=|n1⋅n2||n1|⋅|n2|= 3 4a2+3= 5719，解得a=2，
所以AG=( 32,−12,2),BD=(0,1,2),DF=( 3,0,0)，
设面BDF的法向量为m=(k,ℎ,l)，则m⊥BD，m⊥DF，
所以m⋅BD=ℎ+2l=0m⋅DF= 3k=0，取l=1，得m=(0,−2,1)，
设直线AG与平面BDF所成角为θ，
则sinθ=|AG⋅m||AG||m|=|0+1+2 5× 5|=35．
又θ∈[0,π2]，所以csθ=45，
则直线AG与平面BDF所成角的余弦值为45．