2024-2025学年福建省福州市闽侯二中高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年福建省福州市闽侯二中高二（上）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知直线l经过点P(1,0)，且方向向量v−=(1,2)，则l的方程为( )
A. x+2y−2=0B. 2x−y−2=0C. x+2y−1=0D. x−2y−1=0
2.过点C(−1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆的方程是( )
A. x2+(y−2)2=10B. x2+(y+2)2=10C. (x−2)2+y2=10D. (x+2)2+y2=10
3.过点P(0,−1)作直线l，若直线l与连接A(−2,1)，B(2 3,1)两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角范围为( )
A. [π4,π6]B. [π6,3π4]C. [0,π6]∪[3π4,π)D. [π6,π2]∪[3π4,π)
4.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BC的中点，CF=13CC1，则异面直线EF与B1D1所成角的余弦值为( )
A. 23
B. 36
C. 3 2626
D. 4 2121
5.已知直线l：mx+y+3=0和直线n：3m2x+(m−2)y+1=0，则“m=−1”是“l//n”的( )
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在M上，Q为PF2的中点，且F1Q⊥PF2，|F1Q|=b，则M的离心率为( )
A. 33B. 13C. 12D. 22
7.在△ABC中，点B(−2,0)，点C(2,0)，点A满足|AB||AC|= 2，则△ABC面积的最大值为( )
A. 4 2B. 8 2C. 4 6D. 8 6
8.在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且a=3，A=π3.又点A，B，C都在球O的球面上，且点O到平面ABC的距离为 5，则球O的体积为( )
A. 64 2π3B. 63 5π3C. 64 3π3D. 63 6π3
二、多选题：本题共3小题，共104分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下四个命题表述正确的是( )
A. 过点(3,2)且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为x+y−5=0
B. 圆x2+y2=4上有且仅有3个点到直线l：x−y+ 2=0的距离都等于1
C. 圆C1：x2+y2+2x=0与圆C2：x2+y2−4x−8y+m=0恰有三条公切线，则m=4
D. 已知圆C：x2+y2=4，过点P(3,4)向圆C引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB方程为3x+4y−4=0
10.已知椭圆C：x225+y29=1，F1，F2分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有( )
A. 点P到右焦点的距离的最大值为9，最小值为1
B. cs∠F1PF2的最小值为−725
C. 若∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为3 3
D. 直线PA与直线PB斜率乘积为定值−259
11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为2，如图，M为CC1上的动点，AM⊥平面α.下面说法正确的是( )
A. 直线AB与平面α所成角的正弦值范围为[ 33, 22]
B. 点M与点C1重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大
C. 点M为CC1的中点时，若平面α经过点B，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形
D. 已知N为DD1中点，当AM+MN的和最小时，M为CC1的中点
三、填空题：本题共3小题，共20分。
12.点(1,2)关于直线x−2y−2=0的对称点坐标是______．
13.已知OABC是棱长为1的正四面体.若点P满足OP=xOA+yOB+zOC，其中x+y+z=1，则|OP|的最小值为______．
14.定义离心率是 5−12的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆C：x2n+y24=1(n>4>0)是“黄金椭圆”，则n= ______.若“黄金椭圆”E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)(c>0)，P为椭圆E上异于顶点的任意一点，点M是△PF1F2的内心，连接PM并延长交F1F2于点Q，则|PQ||MQ|= ______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
如图，公路AM、AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα=−1，在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM、AN的距离分别为1km， 2km，现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园．
(1)以A为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，并求出P点的坐标；
(2)三条公路围成的工业园区ABC的面积恰为4km2，求公路BC所在直线方程．
16.(本小题12分)
已知圆C：x2+y2−4x=0，直线l恒过点P(4,1)．
(1)若直线l与圆C相切，求l的方程；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|=2 3时，求l的方程．
17.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F(2,0)，且离心率为 63．
(1)求椭圆C的方程；
(2)不过原点O的直线l：y=x+m与椭圆C交于A，B两点，求△ABO面积的最大值及此时直线l的方程．
18.(本小题12分)
如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C.
(1)证明：AC=AB1；
(2)若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A−A1B1−C1的余弦值．
19.(本小题12分)
已知动点M(x,y)与点F( 3,0)的距离和它到直线l：x=2 3的距离的比是1： 2．
(1)求动点M的轨迹E的方程；
(2)已知定点A(2,1)，若P，Q是轨迹E上两个不同动点，直线AP，AQ的斜率分别为kAP，kAQ，且kAP+kAQ=0，试判断直线PQ的斜率是否为定值，并说明理由．
参考答案
1.B
2.C
3.B
4.C
5.B
6.C
7.B
8.A
9.BCD
10.ABC
11.AC
12.(3,−2)
13. 63
14.2 5+2 5+32
15.解：(1)以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，
由题意，设点P(a,1)，且直线AN的斜率为kAN=tanα=−1，经过点A(0,0)，
所以直线AN的方程为x+y=0，
又点P到直线AN的距离为 2，
所以|a+1| 2= 2，解得a=1或a=−3(舍)，
故点P的坐标为(1,1)；
(2)由题意可知，直线BC的斜率一定存在，
设直线BC的直线方程为y−1=k(x−1)，
联立直线BC与AN的方程，y−1=k(x−1)x+y=0，
解得点C的坐标为(k−1k+1,1−kk+1)，
在直线BC的方程中，令y=0，解得xB=−1k+1=k−1k，
所以S△ABC=12⋅k−1k⋅(−k−1k+1)=4，
解得k=−13，
故直线BC的方程为x+3y−4=0．
16.解：(1)由题意可知，圆C的圆心为(2,0)，半径r=2，
①当直线l的斜率不存在时，即l的方程为x=4时，此时直线与圆相切，符合题意；
②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，∴直线l的方程为y−1=k(x−4)，
化为一般式：kx−y+1−4k=0，若直线l与圆相切，
则d=|1−2k| k2+1=2，即1−4k+4k2=4k2+4，解得k=−34，
∴l：−34x−y+4=0，即l：3x+4y−16=0，
综上，当直线l与圆C相切时，直线l的方程为x=4或3x+4y−16=0；
(2)由题意可知，直线l的斜率一定存在，设斜率为k，
∴直线l的方程为y−1=k(x−4)，即kx−y+1−4k=0，
设圆心到直线l的距离为d，则d=|1−2k| k2+1，
由垂径定理可得，d2+(|AB|2)2=4，即(2k−1)2k2+1+3=4，
整理得，3k2−4k=0，解得k=0或k=43，
则直线l的方程为y=1或4x−3y−13=0．
17.解：(1)由已知得c=2，由离心率e=ca= 63得a= 6，
∴b= a2−c2= 2，
∴椭圆C的方程为x26+y22=1．
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立x26+y22=1y=x+m，可得4x2+6mx+3m2−6=0，
∵直线l：y=x+m与椭圆E交于A，B两点，∴Δ=36m2−16(3m2−6)>0，解得m2