2024-2025学年吉林省长春三中高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年吉林省长春三中高二（上）期中数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.抛物线y=x2的焦点坐标为( )
A. (12,0)B. (0,12)C. (14,0)D. (0,14)
2.与双曲线y2−x23=1有公共焦点，且长轴长为6的椭圆方程为( )
A. y29+x27=1B. y29+x25=1C. x29+y25=1D. x29+y27=1
3.在等差数列{an}中，a2+a6=6，a5=2，则a3=( )
A. −4B. −1C. 1D. 4
4.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为A，左、右两焦点分别为F1，F2，若△AF1F2为等边三角形，则椭圆C的离心率为( )
A. 12B. 22C. 13D. 33
5.已知圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2−8x+6y+m=0相内切，则C1与C2的公切线方程为( )
A. 3x−4y−5=0B. 3x−4y+5=0C. 4x−3y−5=0D. 4x−3y+5=0
6.过点P(2,1)的直线l与双曲线x2−y23=1相交于A，B两点，若P是线段AB的中点，则直线l的方程是( )
A. 6x−y−11=0B. 6x+y−13=0C. 2x−3y−1=0D. 3x−2y−4=0
7.已知双曲线C：x24−y212=1的右焦点为F，点A(0,m)，若直线AF与C只有一个交点，则m=( )
A. ±2B. ±4 3C. ±2 3D. ±4
8.图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径AB=6，深度MO=2，信号处理中心F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，若P是该抛物线上一点，点Q(158,2)，则|PF|+|PQ|的最小值为( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知曲线C1：4x2+3y2=48，C2：x2−y23=1，则( )
A. C1的长轴长为4B. C2的渐近线方程为y=± 3x
C. C1与C2的焦点坐标相同D. C1与C2的离心率互为倒数
10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S23>0，S240
C. 当Sn取得最大值时，n=13D. |a13|>|a12|
11.过抛物线C：y2=2px上一点A(1,2)作两条相互垂直的直线，与C的另外两个交点分别为M，N，则( )
A. C的准线方程是x=−1
B. 过C的焦点的最短弦长为2
C. 直线MN过定点(5,−2)
D. 若直线MN过点(1,−1)，则△AMN的面积为24
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若抛物线C：x2=2py(p>0)上的一点到焦点的距离为p2，到x轴的距离为3，则p= ______．
13.公差为d的等差数列{an}的首项为a1=2，前n项和为Sn，且满足2a5=a3+5，则S13= ______．
14.如图，我们把由半椭圆y216+x29=1(x≤0)和半椭圆x225+y216=1(x>0)合成的曲线称作“果圆”.F1，F2，F3是相应半椭圆的焦点，则△F1F2F3的周长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在等差数列{an}中，a3=7，a9=−5，{an}的前n项和为Sn．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求Sn的最大值和Sn取得最大值时n的值．
16.(本小题15分)
已知点P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点，F1和F2分别为左右焦点，焦距为6，且过(5,0)．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若动直线l过F2与椭圆交于A、B两点，求△ABF1的周长．
17.(本小题15分)
已知抛物线C：x2=−2py(p>0)的焦点为F，A(x0,−9)是抛物线C上的点，且|AF|=15．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知直线l交抛物线C于M，N两点，且MN的中点为(6,−4)，求直线l的方程．
18.(本小题17分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的虚轴长为2，且离心率为2 33．
(1)求C的方程和焦点坐标；
(2)设C的右焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，若AB中点的横坐标为3，求|AB|．
19.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e= 22，且点(4,1)在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若经过定点(0,−1)的直线l与椭圆C交于P，Q两点，记椭圆的上顶点为M，当直线l的斜率变化时，求△MPQ面积的最大值．
参考答案
1.D
2.B
3.D
4.A
5.D
6.A
7.B
8.B
9.BD
10.ABC
11.AC
12.2
13.65
14.8+2 7
15.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
则a1+2d=7a1+8d=−5，解得a1=11，d=−2，
所以an=11+(n−1)×(−2)=−2n+13．
(2)由(1)知，Sn=n(a1+an)2=n(11−2n+13)2=−n2+12n=−(n−6)2+36，
所以当n=6时，Sn取得最大值S6=36．
16.解：(1)由2c=6，得c=3，
又椭圆过(5,0)，∴a=5，
得b2=a2−c2=25−9=16，
∴椭圆的标准方程为x225+y216=1；
(2)动直线l过F2与椭圆交于A、B两点，
∴|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，
∴|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AB|=4a=20，
∴△ABF1的周长为20．
17.解：(1)因为|AF|=9+p2=15，所以p=12，
故抛物线C的方程为x2=−24y．
(2)易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
则x12=−24y1,x22=−24y2,
两式相减得x12−x22=−24(y1−y2)，整理得y1−y2x1−x2=−x1+x224．
因为MN的中点为(6,−4)，所以k=y1−y2x1−x2=−1224=−12，
所以直线l的方程为y+4=−12(x−6)，即x+2y+2=0．
18.解：(1)因为C的离心率为e=ca=2 33，又C的虚轴长为2，
所以2b=2，又c2=a2+b2，
解得a2=3，b2=1，c2=4，
所以C的方程为x23−y2=1，左、右焦点坐标分别为(−2,0)，(2,0)；
(2)由(1)知F(2,0)，根据题意易得过F的直线斜率存在，
设为y=k(x−2)，A(xA,yA)，B(xB,yB)，
联立y=k(x−2),x2−3y2=3,化简得(1−3k2)x2+12k2x−12k2−3=0，
则Δ=144k4+4(1−3k2)(12k2+3)>0，
所以xA+xB=12k23k2−1,xAxB=12k2+33k2−1，
因为AB中点横坐标为3，所以xA+xB=12k23k2−1=6，
解得k2=1，所以xAxB=152，
则(xA−xB)2=(xA+xB)2−4xAxB=62−4×152=6，
则|AB|= (1+k2)(xA−xB)2= 2×6=2 3．
19.解：(1)椭圆C的离心率e= 22，则 22=ca= 1−b2a2，即b2a2=12，
故a= 2b= 2c，椭圆方程为x22b2+y2b2=1，
将点(4,1)代入方程得b2=9，
故所求方程为x218+y29=1．
(2)点(0,−1)在椭圆C内，直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y=kx−1，
由x218+y29=1,y=kx−1,得(2k2+1)x2−4kx−16=0，
设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则x1+x2=4k2k2+1,x1x2=−162k2+1,Δ>0，
|PQ|= (k2+1)[(x1+x2)2−4x1x2]=4 (k2+1)(9k2+4)2k2+1，
点M(0,3)到l的距离d=4 k2+1,S△MPQ=12|PQ|⋅d=8 9k2+42k2+1，
令t=2k2+1(t≥1)，则k2=t−12，则S△MPQ=8 9(t−1)2+4t2=8 818−12(1t−92)2，
因为0