2024-2025学年天津二中高二（上）月考数学试卷（12月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年天津二中高二（上）月考数学试卷（12月份）（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知直线l的方程为 3x+3y−1=0，则直线的倾斜角为( )
A. −30°B. 60°C. 150°D. 120°
2.双曲线C：x216−y220=1上的点P到左焦点的距离为9，则P到右焦点的距离为( )
A. 5B. 1C. 1或17D. 17
3.已知两条直线l1：x+my+6=0，l2：(m−2)x+3y+2m=0，若l1与l2平行，则m为( )
A. −1B. 3C. −1或3D. 0
4.设x，y∈R，向量a=(x,1,1)，b=(1,y,1)，c=(2,−4,2)且a⊥b，b/​/c，则|a+b|=( )
A. 2 2B. 3C. 10D. 4
5.已知圆x2−2ax+y2=0(a>0)截直线x−y=0所得弦长是2 2，则a的值为( )
A. 2B. 2C. 6D. 3
6.如图：在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB=a，AD=b，AA1=c，则下列向量中与BM相等的向量是( )
A. −12a+12b+c
B. 12a+12b+c
C. −12a−12b+c
D. 12a−12b+c
7.设M是椭圆C：x29+y24=1上的上顶点，点P在C上，则|PM|的最大值为( )
A. 9 55B. 15C. 13D. 4
8.已知F1，F2分别为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点，双曲线C上的点A满足|AF1|=2|AF2|，且AF1的中点在y轴上，则双曲线C的离心率为( )
A. 3+12B. 3C. 2D. 3+1
9.已知P是抛物线y2=4x上的一点，过点P作直线x=−3的垂线，垂足为H，若Q是圆C：(x+3)2+(y−3)2=1上任意一点，则|PQ|+|PH|的最小值是( )
A. 3 5−1B. 4C. 5D. 6
10.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F与抛物线y2=8x的焦点重合，过F作与一条渐近线平行的直线l，交另一条渐近线于点A，交抛物线y2=8x的准线于点B，若三角形AOB(O为原点)的面积3 3，则双曲线的方程为( )
A. x212−y24=1B. x24−y212=1C. x23−y2=1D. x2−y23=1
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.已知点F是抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点，O为坐标原点，若以F为圆心，|FO|为半径的圆与直线 3x−y+6=0相切，则抛物线C的方程为 ．
12.若双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为______．
13.平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，向量AB、AD、AA1两两的夹角均为60°，且|AB|=1，|AD|=2，|AA1|=3，则|AC1|等于 ．
14.已知圆C：(x−1)2+(y−2)2=25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y−7m−4=0，m∈R，则直线l截圆C所得弦长|AB|的最小值为 ．
15.已知直线l：x−y−9 5=0，点P为椭圆C：x2+y24=1上的一个动点，则点P到直线l的距离的最小值为______．
16.已知棱长为1的正方体ABCD−EFGH，若点P在正方体内部且满足AP=34AB+12AD+23AE，则点P到AB的距离为______，正方体ABCD−EFGH，Q是平面ABCD内一动点，若EQ与EC所成角为π4，则动点Q的轨迹方程______．
三、解答题：本题共3小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知直线l：(k−1)x−2y+5−3k=0(k∈R)恒过定点P，圆C经过点A(5,−1)和点P，且圆心在直线x−2y+2=0上．
(1)求定点P的坐标；
(2)求圆C的方程．
18.(本小题14分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，M是PA的中点，AB//CD,AD⊥CD,PD⊥平面ABCD，且CD=3，AD=PD=2，AB=1．
(1)求证：PA⊥CD；
(2)求直线PA与平面CMB所成角的正弦值；
(3)求平面PAB与平面CMB夹角的大小．
19.(本小题14分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)离心率等于 32且椭圆C经过点p( 3,12)．
(1)求椭圆的标准方程C；
(2)若直线y=kx+m与轨迹C交于M，N两点，O为坐标原点，直线OM，ON的斜率之积等于−14，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由．
参考答案
1.C
2.D
3.A
4.B
5.B
6.A
7.A
8.B
9.D
10.D
11.x2=8y
12.π3
13.5
14.4 5
15.4 10
16.56 x2+y2+1−4xy−4x−4y=0
17.解：(1)直线l：(k−1)x−2y+5−3k=0(k∈R)可化为(x−3)k−x−2y+5=0，
令x−3=0−x−2y+5=0得P点坐标为(3,1)；
(2)设圆心在AP的垂直平分线上，设AP垂直平分线上的点为(x,y)，则 (x−5)2+(y+1)2= (x−3)2+(y−1)2，化简得：x−y−4=0，
又因为圆心在直线x−2y+2=0上，所以x−2y+2=0x−y−4=0，
所以圆心坐标为(10,6)，半径r= (10−3)2+(6−1)2= 74，
所以圆的方程为：(x−10)2+(y−6)2=74．
18.证明：(1)AD⊥CD，PD⊥平面ABCD，
AD⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
则PD⊥AD，PD⊥CD，
以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

CD=3，AD=PD=2，AB=1，M是PA的中点，
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,3,0)，P(0,0,2)，M(1,0,1)，B(2,1,0)，
故CD=(0,−3,0),PA=(2,0,−2)，
则PA⋅CD=2×0+0×(−3)+(−2)×0=0，
所以PA⊥CD，即PA⊥CD
(2)解：C(0,3,0)，B(2,1,0)，P(0,0,2)，M(1,0,1)，
CB=(2,−2,0),BM=(−1,−1,1),PA=(2,0,−2),|PA|=2 2，
设平面CMB的法向量n=(x,y,z)，
则n⋅CB=0n⋅BM=0，即2x−2y=0−x−y+z=0，令y=1，则x=1，z=2，
∴n=(1,1,2)，|n|= 1+1+4= 6，
设直线PA与平面CMB所成的角为θ，θ∈[0,π2]，
则sinθ=|cs〈PA,n〉|=|PA⋅n||PA||n|=22 2× 6= 36，
所以PA与平面CMB所成角的正弦值为 36．
(3)解：B(2,1,0)，P(0,0,2)，A(2,0,0)，
AB=(0,1,0),BP=(−2,−1,2)，
设平面PAB的法向量m=(a,b,c)，则m⋅AB=0m⋅BP=0，即b=0−2a−b+2c=0，
不妨令a=1，则c=1，即m=(1,0,1)，|m|= 1+0+1= 2．
又平面CMB的法向量n=(1,1,2),|n|= 6，
设平面PAB与平面CMB夹角为α，则α为锐角，
∴csα=|cs〈m,n〉|=|m⋅n|m||n||=3 2× 6= 32，
∴α=π6，
故平面PAB与平面CMB夹角为π6．
19.解：(1)因为离心率等于 32且椭圆C经过点p( 3,12)，
所以ca= 323a2+14b2=1a2=b2+c2，
解得a2=4，b2=1，
则椭圆C的方程为x24+y2=1；
(2)不妨设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立y=kx+mx24+y2=1，消去y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2−4=0，
此时Δ=64k2m2−4(1+4k2)(4m2−4)>0，
即4k2+1>m2，
由韦达定理得x1+x2=−8km1+4k2,x1⋅x2=4m2−41+4k2，①
因为直线OM，ON的斜率之积等于−14，
所以kOM⋅kON=−14，
即y1y2x1x2=−14，
此时(kx1+m)(kx2+m)x1x2=−14，
整理得k2x1x2+km(x1+x2)+m2x1x2=−14，②

联立①②，可得2m2=4k2+1，
又|MN|= (1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]= (1+k2)(64k2+16−16m2)(1+4k2)2，
而O点到直线MN的距离d=|m| 1+k2，
所以S△OMN=12d|MN|=12 m2(64k2+16−16m2)(1+4k2)2
=12 12(4k2+1)(64k2+16−32k2−8)(1+4k2)2=1，
故△OMN的面积为定值，定值为1．