2024-2025学年江苏省常州市横林高级中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省常州市横林高级中学高二（上）期中数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.抛物线x2=2y的焦点坐标是( )
A. (12 , 0)B. (0 , 12)C. (1,0)D. (0,1)
2.圆心在x轴上，半径为2，且过点(1,2)的圆的方程为( )
A. x2+y2=4B. (x−1)2+y2=4
C. (x−2)2+y2=4D. (x−3)2+y2=4
3.如图，某双曲线笔筒的轴截面曲线部分为一条离心率为 5且焦距为10cm的双曲线的一部分.忽略笔筒的厚度，该笔筒中间最窄处的直径为( )
A. 4cm
B. 2 5cm
C. 6cm
D. 3 5cm
4.已知直线l过点(3,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为( )
A. x+y+8=0B. 5x−3y=0
C. 5x−3y=0或x+y−8=0D. 5x−3y=0或x+y+8=0
5.已知点P在椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，点F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，满足PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为12，椭圆C的焦距为8，则椭圆C的标准方程为( )
A. x288+y224=1B. x276+y212=1C. x240+y224=1D. x228+y212=1
6.已知P为抛物线y2=4x上的一个动点，直线l1：x=−2，直线l2：4x+3y+11=0，则P到直线l1、l2的距离之和的最小值为( )
A. 2B. 2 2C. 3D. 4
7.瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.这条直线被称为欧拉线.已知△ABC的顶点A(−3,0)，B(3,0)，C(3,3)，若直线l：ax+(a2−3)y−9=0与△ABC的欧拉线平行，则实数a的值为( )
A. −2B. −1C. −1或3D. 3
8.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点Q在C的右支上，QF2与C的一条渐近线平行，交C的另一条渐近线于点P，若OQ//PF1，则C的离心率为( )
A. 2
B. 3
C. 2
D. 5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论中正确的是( )
A. 若直线l的方程x+ 3y+1=0，则直线l的倾斜角为2π3
B. 已知曲线C：x2+y2=2|x|+2|y|(x,y不全为0)，则曲线C的周长为4 2π
C. 若直线3ax+2y+6=0与直线x−a2y+2=0垂直，则a=32
D. 圆O：x2+y2+2x+4y+1=0与圆M：x2+y2=1的公切线条数为2
10.已知椭圆C：x225+y216=1的左、右两个焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一动点，M(1,1)，则下列说法正确的是( )
A. 存在点P使PF1⋅PF2=0B. △PF1F2的周长为16
C. △PF1F2的最大面积为12D. |PM|+|PF1|的最大值为10+ 5
11.已知F是抛物线C：y2=x的焦点，A，B是抛物线C上的两点，O为坐标原点，则( )
A. 若|AF|=54，则△AOF的面积为18
B. 若BB′垂直C的准线于点B′，且|BB′|=2|OF|，则四边形OFBB′周长为3+ 54
C. 若直线AB过点F，则|AB|的最小值为1
D. 若OA⋅OB=−14，则直线AB恒过定点(12,0)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若从点P(1,−2)引圆(x+1)2+(y−1)2=4的切线，则切线长是______．
13.已知双曲线C：y24−x2=λ(λ≠0)的一条渐近线与圆D：(x−1)2+y2=1交于A，B两点，则|AB|= ______．
14.已知P为直线y= 3x+m上的一点，过P作圆M：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，若直线上有且只有一个点P满足PA⋅PB=32，则m= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设m为实数，直线l：2x+(m−3)y−2m+6=0恒过一定点记作A，A为直角△ABC的一个顶点，C(−3,−1)为直角顶点，点B在x轴上．
(1)求点A，B的坐标；
(2)求△ABC斜边中线所在的直线方程．
16.(本小题15分)
已知A(0,5)和P(3,4)为圆C：x2+(y−b)2=r2(r>0)上两点．
(1)求圆C的方程；
(2)过点Q(5,3)向圆C作切线m，求切线m的方程；
(3)若过P的直线l交C于另一点B，若△BCP的面积最大，求此时l的方程．
17.(本小题15分)
已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点P(4,m)是C上的一点，且|PF|=7．
(1)求p和m的值；
(2)过点F的直线与C交于A，B两点，记直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，其中O为坐标原点，求证：k1k2为定值．
18.(本小题17分)
已知双曲线E：x2−y2b2=1,(b>0)，其中一条渐近线的倾斜角为60°，点A(0,4)，坐标原点O．
(1)求b的值；
(2)直线l经过点A，与E的两条渐近线分别交于点M，N.若△OMN的面积为8 33，求直线l的方程；
(3)如图，直线y=kx+m交双曲线E的右支于不同两点B，C，若|AB|=|AC|，求实数m的取值范围．
19.(本小题17分)
在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 22，短轴的一个端点的坐标为(0,−1)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点F为椭圆C的右焦点，过C上一点A(x1,y1)(x1y1≠0)的直线l1：x1x+2y1y=2与直线l2：x=2交于点为P，直线AF交C于另一点B，设AB与OP交于点Q.证明：
(ⅰ)∠AFP=π2；
(ⅱ)Q为线段AB的中点．
参考答案
1.B
2.B
3.B
4.C
5.D
6.D
7.B
8.A
9.BD
10.BCD
11.ACD
12.3
13.2 55
14.±4
15.解：(1)将l：2x+(m−3)y−2m+6=0整理可得m(y−2)+2x−3y+6=0，
令y=22x−3y+6=0，解得x=0，y=2，
故直线恒过定点A(0,2)，
设B(m,0)，C(−3,−1)，则BC⊥AC，即BC⋅AC=0，
即(−3−m,−1)⋅(−3,−3)=0，可得−3(−3−m)+(−1)×(−3)=0，
解得m=−4，故B(−4,0)；
(2)由于A(0,2)，B(−4,0)，故AB的中点坐标M(−2,1)，
则kCM=1−(−1)−2−(−3)=2，
所以直线CM方程为y+1=2(x+3)，
即2x−y+5=0．
16.解：(1)A(0,5)和P(3,4)为圆C：x2+(y−b)2=r2(r>0)上两点，
可得(5−b)2=r232+(4−b)2=r2，解得b=0r=5，
故圆C的方程为x2+y2=25．
(2)圆C的圆心为C(0,0)，半径为5，
若直线m的斜率存在，设直线m的方程为y−3=k(x−5)，即kx−y−5k+3=0，
由题意可得|3−5k| k2+1=5，解得k=−815，
此时，直线m的方程为y−3=−815(x−5)，即8x+15y−85=0．
若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x=5，此时，圆心到直线m的距离为5，合乎题意；
综上所述，直线m的方程为x=5或8x+15y−85=0．
(3)∵S△BCP=12|BC|⋅|CP|sin∠BCP=12×52×sin∠BCP≤252，
当且仅当∠BCP=90°时，等号成立，
此时，△BCP是等腰直角三角形，且|BC|=|CP|=5，
则圆心C到直线BP的距离为d=|BC|sin45°=5 22，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=3，此时圆心到直线l的距离为3，不合乎题意，

∴，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y−4=t(x−3)，即tx−y+4−3t=0，
由题意可得d=|4−3t| t2+1=5 22，整理得7t2+48t−7=0，解得t=17或t=−7，
因此，直线l的方程为y−4=17(x−3)或y−4=−7(x−3)，
即直线l的方程为x−7y+25=0或7x+y−25=0．
17.解：(1)根据题意可得|PF|=4+p2=7，p=6，抛物线方程为y2=12x，
又因为P在抛物线上，所以m2=12×4=48，因此m=±4 3；
(2)证明：根据第一问知焦点为F(3,0)，显然直线AB与x不重合，
令直线AB的方程为x=ty+3，设B(x2,y2)，A(x1,y1)，
根据y2=12xx=ty+3，得y2−12ty−36=0，所以y1y2=−36，
又因为y22=12x2，y12=12x1，
因此x1x2=1144y12y22=1144(y1y2)2=(−36)2144=9，
因此k1k2=y1x1⋅y2x2=y1y2x1x2=−369=−4．
18.解：(1)根据题意可得ba=b1=tan60°，∴b= 3；
(2)由题意可知直线l的斜率存在，
∴设直线l的方程为：y=kx+4，
联立y=kx+4y= 3x，可得x=4 3−ky=4 3 3−k，不妨取M(4 3−k,4 3 3−k)，
∴|OM|= 16( 3−k)2+48( 3−k)2=8| 3−k|，
同理可得N(−4 3+k,−4 3 3+k)，|ON|= 16( 3+k)2+48( 3+k)2=8| 3+k|，
∴△OMN的面积为S△OMN=12×|OM|×|ON|× 32=16 3|3−k2|=8 33，解得k=±3，
∴直线l的方程为：y=±3x+4，即±3x−y+4=0；

(3)由题意可知l的斜率绝对值大于渐近线斜率的绝对值，
∴k∈(−∞,− 3)∪( 3,+∞)，
设B(x1,y1)，C(x2,y2)，BC的中点为D(x3,y3)，
联立x12−y123=1x22−y223=1，可得x12−x22=y12−y223，
∴3(x1+x2)=y1−y2x1−x2(y1+y2)，
又2x3=x1+x2,2y3=y1+y2,k=y1−y2x1−x2，
∴6x3=2ky3，∴3x3=ky3，
又|AB|=|AC|，∴AD⊥BC，
∴kAD⋅kBC=k⋅y3−4x3=−1，
联立3x3=ky3k⋅y3−4x3=−1，可得x3=ky3=3，∴D(k,3)，
将y=3代入双曲线方程x2−y23=1中，可得x=±2，
∵D在双曲线的右支内部，∴k>2，
又kx3+m=y3，∴m=y3−kx3=3−k2，∴m