2024-2025学年辽宁省沈阳市东北育才学校双语校区高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年辽宁省沈阳市东北育才学校双语校区高二（上）期中数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量a=(2,x,1)，b=(2,0,2)，c=(0,1,−1)，若a，b，c共面，则x等于( )
A. −1B. 1C. 1或−1D. 1或0
2.若圆C1：x2+y2+4x−4y+7=0与圆C2：x2+y2−4x+2y+m=0相切，则实数m=( )
A. −11B. −31C. 11或31D. −11或−31
3.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，过焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，则2|AF|+3|BF|的最小值为( )
A. 6+52B. 2 6+5C. 4 6+10D. 11
4.已知直线l：x=my−2，P为圆C：x2+y2−4x=0上一动点，则点P到直线l的距离的最大值为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
5.已知点P是椭圆x225+y216=1上一动点，Q是圆(x+3)2+y2=1上一动点，点M(6,3 3)，则|PQ|−|PM|的最大值为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
6.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)左，右焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)，若双曲线右支上存在点P使得asin∠PF1F2=csin∠PF2F1，则离心率的取值范围为( )
A. [ 2+1,+∞)B. (1, 2+1]C. (1, 2+1)D. ( 2+1,+∞)
7.已知圆O：x2+y2=1，点P在椭圆C：x29+y23=1运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则|OA+OB|的取值范围是( )
A. [ 63,2 33]B. [ 33,2 33]C. [ 63, 32]D. [23,2 33]
8.已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，直线l与C交于点A，B(点A在第一象限)，若OA⋅OB=0，则△AOF与△AOB面积之和的最小值为( )
A. 6 5B. 7 5C. 8 5D. 9 5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的边长为2，E、F、G、H分别为CC1、BC、CD、BB1的中点，则下列结论正确的是( )
A. B1G⊥EF
B. A1H//平面AEF
C. 点B1到平面AEF的距离为2
D. 二面角E−AF−C的大小为π4
10.抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，A(x1,y1)、B(x2,y2)是抛物线上的两个动点，M是线段AB的中点，过M作C准线的垂线，垂足为N，则( )
A. 若AF=2FB，则直线AB的斜率为2 2或−2 2
B. 若AF//FB，则|MN|=12|AB|
C. 若AF和FB不平行，则|MN|0,b>0)的左、右焦点，且|F1F2|=4，点P是双曲线上位于第一象限内的动点，∠F1PF2的平分线交x轴于点M，过点F2作F2E垂直于PM于点E.则下列说法正确的是( )
A. 若点F2到双曲线的渐近线的距离为 3，则双曲线的离心率为2
B. 当∠F1PF2=60°时，△F1PF2面积为4 3
C. 当|PF1|=3a时，点M的坐标为(1,0)
D. 若|F1E|= 11b，则0n>0)与双曲线C2：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)有共同的焦点F1，F2，点P为两曲线的一个公共点，且∠F1PF2=60°，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，那么e12+e22的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知圆C过点A(1,2)，B(1,0)，且圆心在x+y−1=0上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线l：3x−4y+2=0与圆C交于M、N两点，求线段MN的长度．
16.(本小题12分)
如图，AE⊥平面ABCD，CF//AE，AD//BC，AD⊥AB，AB=AD=1，AE=BC=2．
(1)求证：BF//平面ADE；
(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值．
17.(本小题12分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为4，离心率为2，F1，F2分别为C的左、右焦点，两点A(x1,y1)，B(x2,y2)都在C上．
(1)求C的方程；
(2)若AF2=2F2B，求直线AB的方程；
(3)若AF1//BF2，且x1x20，求四个点A，B，F1，F2所构成四边形的面积的最小值．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB=2，∠BAD=60°．
(1)求证：直线BD⊥平面PAC；
(2)设点M在线段PC上，且二面角C−MB−A的余弦值为57，求点M到底面ABCD的距离．
19.(本小题12分)
阅读材料：“到角公式”是解析几何中的一个术语，用于解决两直线对称的问题.其内容为：若将直线l1绕l1与l2的交点逆时针方向旋转到与直线l2第一次重合时所转的角为θ，则称θ为l1到l2的角，当直线l1与l2不垂直且斜率都存在时，tanθ=k2−k11+k1k2(其中k1，k2分别为直线l1和l2的斜率).结合阅读材料，回答下述问题：
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A(−2,1)为椭圆上一点，B(0,−1)，四边形AF1BF2的面积为2 3,O为坐标原点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)求∠F1AF2的角平分线所在的直线l的方程；
(3)过点A的且斜率存在的直线l1，l2分别与椭圆交于点P，Q(均异于点A)，若点B到直线l1，l2的距离相等，证明：直线PQ过定点．
参考答案
1.B
2.D
3.B
4.D
5.B
6.C
7.D
8.C
9.ABC
10.ABD
11.ACD
12.8
13.3 35
14.2+ 32
15.解：(1)因为圆C过点A(1,2)，B(1,0)，
所以线段AB的中垂线方程为y=1，则圆心在直线y=1上，
又圆心在x+y−1=0上，所以y=1x+y−1=0，解得x=0y=1，所以圆心C(0,1)，
又|BC|= 12+(−1)2= 2，所以圆C的标准方程为x2+(y−1)2=2．
(2)圆心C(0,1)到直线l：3x−4y+2=0的距离d=|0−4+2| 32+(−4)2=25，
所以|MN|=2 r2−d2=2 ( 2)2−(25)2=2 465．

16.证明：(1)因为AE⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，
所以AE⊥AB，AE⊥AD，
因为AD⊥AB，
所以AB，AD，AE两两垂直，
所以以A为原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
设CF=ℎ(ℎ>0)，因为CF⊥平面ABCD，AB=AD=1，AE=BC=2，
所以A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,1,0)，E(0,0,2)，F(1,2,ℎ)，
因为AB，AD，AE两两垂直，所以AB=(1,0,0)为平面ADE的一个法向量，
因为BF=(0,2,ℎ)，
所以AB⋅BF=0，所以AB⊥BF，
因为BF⊄平面ADE，
所以BF/​/平面ADE；
解：(2)由(1)可得BD=(−1,1,0),BE=(−1,0,2),CE=(−1,−2,2)，
设平面BDE的法向量为m=(x,y,z)，则
m⋅BD=−x+y=0m⋅BE=−x+2z=0，令z=1，则m=(2,2,1)，
所以cs〈m,CE〉=m⋅CE|m||CE|=−2−4+2 1+4+4⋅ 4+4+1=−49，
所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值为49．
17.解：(1)因为双曲线C的焦距为4，离心率为2，
所以2c=4ca=2a2+b2=c2，解得a=1b= 3c=2，
故曲线C的方程为x2−y23=1．
(2)由(1)有F2(2,0)，因为AF2=2F2B，所以(2−x1,−y1)=2(x2−2,y2)，所以y1=−2y2，
所以直线AB过右焦点F2，且直线AB的斜率不为零，设直线AB的方程为x=my+2，

联立x=my+2x2−y23=1，消去x可得(3m2−1)y2+12my+9=0，
易知3m2−1≠0，其中Δ=36m2+36>0恒成立，
y1+y2=−12m3m2−1,y1y2=93m2−1，
代入y1=−2y2，消元得y2=12m3m2−1,y22=−92(3m2−1)，
所以(12m3m2−1)2=−92(3m2−1)，解得m=± 3535，满足Δ>0，
所以直线AB的方程为x± 3535y−2=0．
(3)因为x1x20，
则A，B，分别在两支上，且A，B，都在x的上方或x的下方，
不妨设都在x的上方，又AF1/​/BF2，
则A在第二象限，B在第一象限，如图所示，

延长AF1交双曲线与点P，延迟BF2交双曲线于点Q，
由对称性可知四边形ABQP为平行四边形，且面积为四边形AF1F2B面积的2倍，
由题设Q(x3,y3)，直线AP的方程为x=my−2，直线BQ的方程为x=my+2，
由第(2)问易得|BQ|= 1+m2|y1−y2|= 1+m2× 36m2+36|3m2−1|，
因为3m2−1