2024-2025学年广东省广州市某校高二（上）期末数学模拟试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省广州市某校高二（上）期末数学模拟试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知直线a，b与平面α，β，下列四个命题中正确的是( )
A. 若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α
B. 若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b
C. 若a//α，b//β，α//β，则a//b
D. 若直线a上存在两点到平面α的距离相等，则a//α
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3+a4=11，S6+S7=75，则S8=( )
A. 52B. 54C. 56D. 58
3.到直线3x−4y−11=0的距离为1的直线方程为( )
A. 3x−4y−1=0B. 3x−4y−6=0或3x−4y−16=0
C. 3x−4y+1=0或3x−4y−1=0D. 3x−4y+16=0或3x−4y−3=0
4.双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与圆x2+(y−4)2=4相切，则双曲线C的离心率为( )
A. 2 33B. 2C. 43D. 4
5.已知直线m：ax+y+3=0与直线n：3x+(2b−1)y−1=0，(a,b>0)，且m⊥n，则2a+1b的最小值为( )
A. 12B. 8+4 3C. 15D. 10+2 3
6.在空间中，“经过点P(x0,y0,z0)，法向量为e=(A,B,C)的平面的方程(即平面上任意一点的坐标(x,y,z)满足的关系)是：A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0”.如果给出平面α的方程是x−y+z=1，平面β的方程是x6−y3−z6=1，则由这两平面所成的二面角的正弦值是( )
A. 73B. 63C. 789D. 13
7.某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存入一笔专用存款，使这笔款到2027年底连本带息共有40万元收益.如果每年的存款数额相同，依年利息2%并按复利计算(复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息)，则每年应该存入约( )万元.(参考数据：1.027≈1.149，1.028≈1.172)
A. 5.3B. 4.6C. 7.8D. 6
8.已知圆C：(x+1)2+y2=2，点P在直线l：x−y−3=0上运动，直线PA，PB与圆C相切，切点为A，B，则下列说法正确的是( )
A. |PA|的最小值为2
B. |PA|最小时，弦AB长为 6
C. |PA|最小时，弦AB所在直线的斜率为−1
D. 四边形PACB的面积最小值为 3
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是60°，P为A1D与AD1的交点，若AB=a，AD=b，AA1=c，则下列正确的是( )
A. CP=−a−12b+12c
B. AC1=a+b−c
C. cs(DC,AC1)= 63
D. BD1的长为2 3
10.已知直线l的方程为ax−y+1=0，a∈R，则下列说法正确的是( )
A. l与直线x+ay+1=0有唯一的交点
B. l与椭圆x22+y2=1一定有两个交点
C. l与圆(x−1)2+y2=4一定有两个交点
D. 满足与双曲线x22−y2=1有且只有一个公共点的直线l有2条
11.某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台O的北偏东45°方向40 2m处设立观测点A，在平台O的正西方向240m处设立观测点B，已知经过O，A，B三点的圆为圆C，规定圆C及其内部区域为安全预警区.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.经观测发现，在平台O的正南方向200m的P处，有一辆小汽车沿北偏西45°方向行驶，则( )
A. 观测点A，B之间的距离是280m B. 圆C的方程为x2+y2+240x−320y=0
C. 小汽车行驶路线所在直线的方程为y=−x−200 D. 小汽车会进入安全预警区
12.已知椭圆x29+y2b2=1(00)的离心率为 3，且过点(2,2)．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)圆x2+y2=4的切线l与双曲线C相交于A，B两点．
(ⅰ)证明：OA⊥OB；
(ⅱ)求△OAB面积的最小值．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，BD⊥PC，∠BAD=120°，四边形ABCD是菱形，PB= 2AB= 2PA，E是棱PD上的动点，且PE=λPD．
(1)证明：PA⊥平面ABCD．
(2)是否存在实数λ，使得平面PAB与平面ACE所成锐二面角的余弦值是2 1919？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
20.(本小题12分)
已知数列{an}是递增的等差数列，数列{bn}是等比数列，且a1=3，a1−1、a2−1、a3+1成等比数列，b1=1，a5−2b2=a3．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)若cn=bn+lg2anan+1，求数列{cn}的前n项和Sn．
21.(本小题12分)
假设某市2023年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中、低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%.另外，每年新建住房中，中、低价房的面积均比上一年增加50万平方米.求：
(1)截至到2032年底，该市所建中、低价房的面积累计(以2023年为累计的第一年)为多少万平方米？
(2)哪一年底，当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？
22.(本小题12分)
已知动点M在x2+y2=4上，过M作x轴的垂线，垂足为N，若H为MN中点．
(1)求点H的轨迹方程；
(2)过A(0,12)作直线l交H的轨迹于P、Q两点，并且交x轴于B点.若PA=λPB，QA=μQB，求证：1λ+1μ为定值．
参考答案
1.B
2.A
3.B
4.B
5.B
6.A
7.A
8.B
9.AC
10.AC
11.BCD
12.BCD
13.8 3.2
14.[0,π3]∪[3π4,π)
15. 149−5
16.34
17.解：(1)因为边AC上的高所在直线方程为2x−y−9=0，设直线AC的方程为x+2y+a=0，
又因为直线AC过点A(3,2)，则a=−7，
得到直线AC的方程为x+2y−7=0，
联立2x−y−9=0x+2y−7=0，解得C的坐标为(1,3)；
(2)设B(a,b)，因为边AB上的中线所在直线方程为x−3y+8=0，
边AC上的高所在直线方程为2x−y−9=0，
可得2a−b−9=0且a+32−3⋅b+22+8=0，解得a=8b=7，即B的坐标为(8,7)．
则直线BC的方程为4x−7y+17=0．
18.解：(1)由题意得ca= 3，将(2,2)代入双曲线中得4a2−4b2=1，
又c2=a2+b2，解得a2=2，b2=4，
故双曲线C的标准方程为x22−y24=1；
(2)证明：(i)当切线l的斜率为0时，方程为y=±2，
不妨设y=2，此时x22−224=1，解得x=±2，不妨设A(−2,2)，B(2,2)，
则OA⋅OB=(−2,2)⋅(2,2)=−4+4=0，所以OA⊥OB；
当切线斜率不为0时，设为x=my+t，
由圆心到直线距离可得|t| 1+m2=2，故t2=4+4m2，
联立x=my+t与x22−y24=1得，(2m2−1)y2+4mty+2t2−4=0，
则2m2−1≠0Δ=16m2t2−4(2t2−4)(2m2−1)>0年t2=4+4m2，
解得m≠± 22，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=−4mt2m2−1,y1y2=2t2−42m2−1，
故x1x2=(my1+t)(my2+t)=m2y1y2+mt(y1+y2)+t2，
故OA⋅OB=x1x2+y1y2=(1+m2)y1y2+mt(y1+y2)+t2
=(1+m2)2t2−42m2−1−4m2t22m2−1+t2=2t2−4+2m2t2−4m2−4m2t2+2m2t2−t22m2−1
=t2−4−4m22m2−1=0，
故OA⊥OB；

(ii)当切线/的斜率为0时，△OAB的面积为12|OA||OB|=12×2 2×2 2=4，当切线斜率不为0时，
|AB|= 1+m2 (y1+y2)2−4y1y2= 1+m22 2 t2+4m2−4|2m2−1|，
因为t2=4+4m2，点O到切线AB的距离为2，
故S△OAB=12×2|AB|= 1+m22 2 8m2|2m2−1|=8 m4+m2|2m2−1|，
当2m2−1>0时，令2m2−1=t>0，则m2=t+12，
故S△OAB=8 m4+m22m2−1=4 t2+4t+3t=4 3t2+4t+1=4 3(1t+23)2−13，
因为t>0，所以S△OAB=4 3(1t+23)2−13>4 3×(23)2−13=4，
同理，当t>0时，S△OAB>4，
综上，△OAB面积的最小值为4．
19.解：(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，
因为BD⊥PC，AC，PC⊂平面PAC，且AC∩PC=C，
所以BD⊥平面PAC，
因为PA⊂平面PAC，所以BD⊥PA，
因为PB= 2AB= 2PA，所以PB2=AB2+PA2，即AB⊥PA，
因为AB，BD⊂平面ABCD，且AB∩BD=B，
所以PA⊥平面ABCD．
(2)取棱CD的中点F，连接AF，因为四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
所以△ACD为等边三角形，故AF⊥CD，
又PA⊥平面ABCD，AB，AF⊂平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AF，故AB，AF，AP两两垂直，
故以A为原点，分别以AB，AF，AP的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

设AB=2，则A(0,0,0)，C(1, 3,0)，D(−1, 3,0)，P(0,0,2)，
故AC=(1, 3,0)，PD=(−1, 3,−2)，AP=(0,0,2)，
所以AE=AP+PE=AP+λPD=(−λ, 3λ,2−2λ)，
设平面ACE的法向量为n=(x,y,z)，
则n⊥ACn⊥AE，则n⋅AC=x+ 3y=0n⋅AE=−λx+ 3λy+(2−2λ)z=0，
令x= 3，得n=( 3,−1, 3λ1−λ)，
平面PAB的一个法向量为m=(0,1,0)，
设面PAB与面ACE所成的锐二面角为θ，
则csθ=|cs|=|n⋅m||n||m|=1 4+3λ2λ2−2λ+1=2 1919，
整理得3λ2+2λ−1=0，
解得λ=13或λ=−1(舍去)，
故存在实数λ=13，使得面PAB与面ACE所成锐二面角的余弦值是2 1919．
20.解：(1)由a1=3，a1−1、a2−1、a3+1成等比数列，设公差为d，
可得(a2−1)2=(a1−1)(a3+1)，即(3+d−1)2=(3−1)(3+2d+1)，解得d=±2，
∵{an}递增，∴d=2，∴an=2n+1；
∵b1=1，a5−2b2=a3，设公比为q，可得11−2q=7，解得q=2，
∴bn=2n−1；
(2)cn=bn+lg2anan+1=2n−1+lg22n+12n+3=2n−1+[lg2(2n+1)−lg2(2n+3)]，
Sn=(20+21+22+⋯+2n−1)+(lg23−lg25)+(lg25−lg27)+⋯[lg2(2n+1)−lg2(2n+3)]
=1−2n1−2+lg23−lg2(2n+3)，
∴Sn=2n−1+lg232n+3．
21.解：(1)假设某市2023年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中、低价房，
预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%，
另外，每年新建住房中，中、低价房的面积均比上一年增加50万平方米，
设中、低价房面积构成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列，
其中a1=250，d=50，则Sn=250n+n(n−1)2×50=25n2+225n，所以S10=4750，
所以截止2032年底，预计该市所建中、低价房的累计面积为4750万平方米；
(2)设新建住房面积构成数列{bn}，
由题意可知{bn}是等比数列，其中b1=400，q=1.08，则bn=400×(1.08)n−1，
由题意可知an>0.85bn，所以250+(n−1)×50>400×(1.08)n−1×0.85，
经验证n=1，2，3，4⋯可得：满足上述不等式的最小正整数n=6，
所以到2028年底，当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%．
22.解：(1)设H(x,y)，M(x0,y0)，
由题意得x=x0y=y02，∴x0=xy0=2y，
由M在圆x2+y2=4，得x2+4y2=4，即x24+y2=1，∴点H的轨迹方程为x24+y2=1；
(2)证明：当PQ斜率存在时，设直线PQ的方程为y=kx+12(k≠0)，
令y=0，可得B(−12k,0)，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
∵PA=λPB,−x1=λ(−12k−x1)，∴1λ=1+12kx2，
同理1μ=1+12kx2，1λ+1μ=2+x1+x22kx1⋅x2，
由y=kx+12x2+4y2=4，得(4k2+1)x2+4kx−3=0，
∴由韦达定理可得x1+x2=−4k4k2+1,x1⋅x2=−34k2+1，
∴1λ+1μ=2+x1+x22kx1⋅x2=2+−4k4k2+12k×−34k2+1=2+23=83，
当PQ斜率不存在时，P(0,1)，Q(0,−1)，B(0,0)，
此时PA=(0,−12),PB=(0,−1),QA=(0,32),QB=(0,1)，
∴PA=12PB,QA=32QB，∴λ=12,μ=32，
∴1λ+1μ=2+23=83；
综上所述，1λ+1μ=83为定值．