2023-2024学年吉林省八校高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年吉林省八校高一（下）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数z=(7+i)i3在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知向量a，b满足|a|=|b|=2，且|a+b|= 10，则a在b上的投影向量是( )
A. 14B. 14bC. 12D. 12a
3.如图，△O′A′B′表示水平放置的△OAB根据斜二测画法得到的直观图，O′A′在x′轴上，A′B′与x′轴垂直，且O′A′= 2，则△OAB的面积为( )
A. 2B. 2 2
C. 4D. 4 2
4.已知复数4+3i是关于x的一元二次方程x2+mx+25=0(m∈R)的一个根，则m=( )
A. −8B. −4C. 4D. 8
5.设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若m//n，n⊂α，则m//α
B. 若m⊂α，n⊂β，且α⊥β，则m⊥n
C. 若m//β，α//β，则m//α
D. 若m//α，m⊂β，α∩β=n，则m//n
6.如图1，这是雁鸣塔，位于贵州省遵义娄山关景区，塔身巍然挺拔，直指苍穹，登塔可众览娄山好风光.某数学兴趣小组成员为测量雁鸣塔的高度，在点O的同一水平面上的A，B两处进行测量，如图2.已知在A处测得塔顶P的仰角为30°，在B处测得塔顶P的仰角为45°，且AB=30 7米，∠AOB=150°，则雁鸣塔的高度OP=( )
A. 30米B. 30 2米C. 30 3米D. 30 5米
7.如图，在正四棱锥P−ABCD中，2PA= 6AB=6，E是棱PB上的动点，一只蚂蚁从A点出发，经过E点，
爬到C点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是( )
A. 2 2
B. 2 3
C. 2 5
D. 2 6
8.如图，在扇形OAB中，半径OA=4，∠AOB=90°，C在半径OB上，D在半径OA上，E是扇形弧上的动点(不包含端点)，则平行四边形BCDE的周长的取值范围是( )
A. (8,12]
B. (8 2,12]
C. (8,8 2]
D. (4,8 2]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a，b满足|a|=3，b=(−2,0)，且a⋅b=3，则( )
A. a=(−32,3 32)B. |a+b|= 19
C. 向量a，b的夹角是π3D. |a−b|= 7
10.如图，这是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则( )
A. AF//BG
B. CH//BD
C. 直线EI与BG异面
D. 直线EI与BD异面
11.如图，在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点，P是正方形A1B1C1D1内的动点，则下列结论正确的是( )
A. 若DP//平面CEF，则点P的轨迹长度为2 2
B. 若DP//平面CEF，则三棱锥P−DEF的体积为定值
C. 若AP= 17，则点P的轨迹长度为2π
D. 若P是棱A1B1的中点，则三棱锥P−CEF的外接球的表面积是41π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z=a2−3a−4+(a+1)i(a∈R)是纯虚数，则a= ______．
13.如图所示，在三棱柱ABC−A1B1C1中，若点E，F分别满足AE=23AB，AF=23AC，平面EB1C1F将三棱柱分成的左、右两部分的体积分别为V1和V2，则V1V2= ______．
14.设点P是△ABC的重心，过点P的直线分别与线段AB，AC交于E，F两点，已知AE=3EB,AC=kAF，则k= ______；若AB=4，AC=6，则AP⋅BC= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(3,−4)，b=(m,1)．
(1)若a⊥(a+b)，求m的值；
(2)当m=0时，若t∈R，求|a+tb|的最小值．
16.(本小题15分)
如图，这是某建筑大楼的直观图，它是由一个半球和一个圆柱组合而成的.已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面(过圆柱上、下底面圆的圆心连线的平面)ABCD是边长为6的正方形．
(1)求该几何体的表面积；
(2)求该几何体的体积．
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cs2A+3csA+2=0．
(1)求A；
(2)若c=6，D在边BC上，BC=3BD，AD= 13，求△ABC的面积．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是正方形，PA=PC，E为侧棱PD上的点，且PE=3ED．
(1)证明：PD⊥AC．
(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF//平面ACE？若存在，求PCPF的值；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
如图，在平面四边形ABCD中，AB=1，BC=3，CD=2，AD=4．
(1)若A为锐角，且sinA= 158，求△BCD的面积；
(2)求四边形ABCD面积的最大值；
(3)当A=60°时，P在四边形ABCD所在平面内，求PA+PB+PD的最小值．
参考答案
1.D
2.B
3.B
4.A
5.D
6.A
7.C
8.A
9.BCD
10.AD
11.ABD
12.4
13.198
14.53 203
15.解：(1)因为a=(3,−4)，b=(m,1)，
所以a+b=(3+m,−3)，
因为a⊥(a+b)，
所以a⋅(a+b)=3(3+m)+12=0，解得m=−7．
(2)当m=0时，b=(0,1)，a⋅b=−4，
所以|a+tb|= (a+tb)2= a2+2ta⋅b+t2b2= 25+2t×(−4)+t2×1= (t−4)2+9≥3，
当且仅当t=4时，等号成立，
故|a+tb|的最小值为3．
16.解：由题意可知半球的半径R=3，圆柱的底面圆半径r=3，高ℎ=6，
(1)由球的表面积公式可得半球的曲面面积S1=12×4πR2=18π，
由圆的面积公式可得圆柱底面圆的面积S2=πr2=9π，
由圆柱的侧面积公式可得圆柱的侧面积S3=2πrℎ=36π，
故该几何体的表面积S=S1+S2+S3=18π+9π+36π=63π．
(2)由球的体积公式可得半球的体积V1=12×43πR3=18π，
由圆柱的体积公式可得圆柱的体积V2=Sℎ=πr2ℎ=54π，
故该几何体的体积V=V1+V2=18π+54π=72π．
17.解：(1)因为cs2A+3csA+2=0，
所以2cs2A−1+3csA+2=0，
即2cs2A+3csA+1=0，
即(2csA+1)(csA+1)=0，解得csA=−12或csA=−1．
因为0