2024-2025学年河南省驻马店高级中学高三（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河南省驻马店高级中学高三（上）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z=21+i，则|z−|=( )
A. 22B. 1C. 2D. 2
2.已知a，b为单位向量，若|a⋅b|=|a+b|，则a⋅b=( )
A. 1± 3B. 1+ 3C. 1− 3D. 3−1
3.已知等比数列{an}的公比为q，若a1+a2=12，且a1，a2+6，a3成等差数列，则q=( )
A. 32B. −32C. 3D. −3
4.“sinα=34”是“sinα2−csα2=12”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x−1)=f(3−x)，且在[0,1)上单调递减，若方程f(x)=−1在[0,1)上有实数根，则方程f(x)=1在[−1,11]上的所有实根之和为( )
A. 30B. 28C. 26D. 24
6.在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若B=π3，b2=94ac，则sinA+sinC=( )
A. 32B. 2C. 72D. 32
7.已知函数f(x)=lnx+sinx，g(x)=ax2+sinx，若函数f(x)图象上存在点M且g(x)图象上存在点N，使得点M和点N关于坐标原点对称，则a的取值范围是( )
A. [−12e,+∞)B. (−∞,−12e]C. [−1e2,+∞)D. (−∞,−1e2]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|1n+1；
(ii)当n⩾2且n∈N∗时，证明：|c|> n2n+4．
参考答案
1.C
2.C
3.C
4.B
5.A
6.C
7.A
8.AC
9.BCD
10.BCD
11.13
12.38
13.2 3
14.解：(1)由正弦定理及sinC=2sinB，得c=2b，
因为a2=3b2+c2，所以a2=3b2+(2b)2=7b2，即a= 7b，
由余弦定理得，csA=b2+c2−a22bc=b2+4b2−7b22b×2b=−12，
因为A∈(0,π)，
所以A=2π3．
(2)由(1)可知A=2π3，c=2b，
所以c=2bb+c=6，解得c=4b=2，
设AD=x，
因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD=π3，
因为S△ABD+S△ADC=S△ABC，所以12cxsinπ3+12bxsinπ3=12cbsin2π3，
解得x=bcb+c=43，
故AD的长度为43．
15.解：(1)因为a2c=sinAtanC2，
所以由正弦定理得：sinA2sinC=sinAtanC2，
所以4sinC2csC2⋅sinC2csC2=4sin2C2=1，
因为C∈(0,π)，所以sinC2=12，所以C=π3；
(2)因为H在AB上，且CH=mCA+nCB，
所以m+n=1，所以n=1−m，
在△ABC中，由余弦定理有：c2=a2+b2+2abcsC=64+25−2×8×5×12=49，
所以c=7，
因为S△ABC=12|AB|⋅|CH|=12absinC=12×5×8× 32=10 3，所以|CH|=20 37，
所以|CH|2=m2|CA|2+n2|BC|2+2mnCA⋅CB=25m2+64n2+20mn，
所以25m2+64(1−m)2+20m(1−m)=120049，
即m=4449，n=549，所以mn=445．
16.解：(1)因为an=(n+1)2n，
所以Sn=2×21+3×22+4×23+⋯+(n+1)2n①，
则2Sn=2×22+3×23+4×24+⋯+(n+1)2n+1②，
所以①−②得
−Sn=2×21+(22+23+⋯+2n)−(n+1)2n+1=4+22−2n+11−2−(n+1)2n+1=−n⋅2n+1，
所以Sn=n⋅2n+1；
(2)因为an=(n+1)2n，
设an=(pn+q)2n−[p(n+1)+q]2n+1=(−pn−q−2p)2n，
比较系数得：−p=1−q−2p=1，得p=−1q=1，所以an=(−n+1)2n−(−n)2n+1，
所以Sn=0×2−(−1)×22+(−1)×22−(−2)×23+...+(−n+1)⋅2n−(−n)⋅2n+1=n⋅2n+1．
17.解：(1)函数f(x)=ex−ax−alnx的定义域为(0,+∞)，f′(x)=xex−(ex−a)x2−ax=(x−1)(ex−a)x2，
①当a≤1时，ex−a>0，当01时，由f′(x)=0可得x=1或x=lna，
若11n+1，n∈N∗．
(ii)∵1(n+1)2>1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2，
∴ln2(1+11)+ln2(1+12)+⋯+ln2(1+1n)>122+132+⋯+1(n+1)2
>(12−13)+(13−14)+⋯+(1n+1−1n+2)=12−1n+2=n2n+4，
∴|c|> n2n+4．
综上可得，当n≥2且n∈N∗时，|c|> n2n+4．