2024-2025学年山东省济南一中高三（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省济南一中高三（上）期中数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|−50，直线y=2ex+m与曲线y=2lnx−n+4相切，则1m+1n的最小值是( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
8.函数f(x)=12ln1+x1−x−sinx的零点个数为( )
A. 1B. 0C. 3D. 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 线性回归直线y​=b​x+a​不一定经过样本点的中心(x−,y−)
B. 设ξ～B(n,p)，若E(ξ)=30，D(ξ)=20，则n=90
C. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1
D. 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量X表示样本中黄球的个数，则X服从二项分布，且E(X)=8
10.已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,00)的离心率为 32，且过点(1, 32)．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)过点M(1,0)的直线l与椭圆C交于点A、B，设点N(12,0)，若△ABN的面积为310，求直线l的斜率k．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex−ax−a3．
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)当a>0时，
(ⅰ)求f(x)的极值；
(ⅱ)若f(x)的极小值小于0，求a的取值范围．
19.(本小题12分)
已知数列{an}满足a1=1，且对任意正整数m，n都有am+n=an+am+2mn．
(1)写出a2，a3，并求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{(−1)nan}的前n项和为Sn，若存在正整数k，使得2Sk+1+Sk+9=0，求k的值；
(3)设bn=12ln(1+1an+1an+1)，Tn是数列{bn}的前n项和，求证：Tn0恒成立，
所以△ABN的面积S=12|MN|⋅|y1−y2|=12×12⋅ (y1+y2)2−4y1y2=14⋅4 t2+3t2+4=310，
整理得9t4−28t2−156=0，即(t2−6)(9t2+26)=0，
解得t2=6或t2=−269(舍)，
所以t=± 6，
所以直线l的斜率k=1t=± 66．
18.解：(1)当a=1时，则f(x)=ex−x−1，函数定义域为R，
可得f′(x)=ex−1，
此时f′(1)=e−1，
又f(1)=e−2，
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−(e−2)=(e−1)(x−1)，
即(e−1)x−y−1=0；
(2)(ⅰ)易知f′(x)=ex−a，
当x0，f(x)单调递增，
所以当x=lna时，f(x)取得极小值，极小值f(lna)=a−alna−a3，无极大值；
(ⅱ)易知f(lna)=a−alna−a30，
所以a2+lna−1>0，
设g(a)=a2+lna−1，函数定义域为(0,+∞)，
可得g′(a)=2a+1a>0，
所以g(a)在(0,+∞)上单调递增，
因为g(1)=0，
此时要求不等式a2+lna−1>0，
即求g(a)>g(1)，
解得a>1．
则a的取值范围为(1,+∞)．
19.解：(1)由对任意正整数m，n都有am+n=an+am+2mn，
令m=1，可得an+1=an+1+2n，
所以an+1−an=2n+1，
则a2=a1+3=4，a3=a2+5=9，
当n≥2时，an=a1+(a2−a1)+(a3−a2)+⋯+(an−an−1)=1+3+⋯+(2n−1)=n2，
当n=1时，a1=1符合上式，
所以an=n2；
(2)由(1)得an=n2，
当n为偶数时，Sn=(−12+22)+(−32+42)+⋯+[−(n−1)2+n2]
=3+7+11+⋯+(2n−1)=n2(3+2n−1)2=n(n+1)2；
当n为奇数时，n−1为偶数，Sn=Sn−1+(−1)nan=Sn−1−an=n(n−1)2−n2=−n2−n2，
综上所述，Sn=n(n+1)2,n为偶数−n(n+1)2,n为奇数，
若k为偶数，则k+1为奇数，由2Sk+Sk+1=0，
得k2+k−(k+1)2+k+12=0，整理得k2−k−2=0，解得k=−1(舍去)或k=2；
若k为奇数，则k+1为偶数，由2Sk+Sk+1=0，即−k2−k+(k+1)2+k+12=0，
整理得k2−k−2=0，解得k=−1或k=2，均不合题意，舍去．
综上，k的值为2．
证明：(3)由bn=12ln(1+1an+1an+1)=12ln 1+1n2+1(n+1)2
=ln n2(n+1)2+n2+(n+1)2n2(n+1)2=ln n2(n+1)2+n2+n2+2n+1n2(n+1)2
=ln n2(n+1)2+2n(n+1)+1n2(n+1)2=lnn(n+1)+1n(n+1)
=ln[1+1n(n+1)]=ln(1+1n−1n+1)，
证明x>0时，ln(x+1)0，
求导得f′(x)=1−11+x=x1+x>0，
所以f(x)=x−ln(x+1)，x>0单调递增，
所以f(x)=x−ln(x+1)>f(0)=0，x>0，
结合当x>0时，ln(x+1)