2024-2025学年江苏省淮阴中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省淮阴中学高二（上）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线y= 3x的倾斜角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
2.若椭圆x2m+y22=1与双曲线x22−y22=1有相同的焦点，则m的值为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
3.已知点F是抛物线C：y2=8x的焦点，若抛物线C上的点A到F的距离为4，则点A到y轴的距离为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
4.若在1和81之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则该等比数列的公比为( )
A. 3B. −3C. ±3D. ±9
5.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x−2)2+y2=3相切，则双曲线的方程为( )
A. x29−y213=1B. x213−y29=1C. x23−y2=1D. x2−y23=1
6.若等差数列{an}的前n项和为Sn，a3+a5+a7=6，S7=−7.则Sn取得最小值时n的值为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
7.已知A(−1,0)，B(1,0)，动点C满足CA⋅CB=3.则△ABC面积的最大值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
8.若椭圆E：x24c2+y23c2=1(c>0)的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为B，过F1作直线BF2的垂线交椭圆E于M，N两点，设△BMN的内切圆的半径为r，则rc的值为( )
A. 413B. 513C. 613D. 713
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设直线l1：ax+3y+1=0，l2：x+(a−2)y+a=0，圆C：x2+y2=9，则下列说法正确的有( )
A. 若l1//l2，则a=3或−1B. 若l1⊥l2，则a=32
C. l2恒过定点(−2,−1)D. l2被圆C截得的弦长最小值为4
10.下列说法正确的有( )
A. 若数列{an}为等差数列，其公差d>0，则数列{an}是递增数列
B. 若数列{an}为等比数列，其公比q∈(0,1)，则数列{an}是递减数列
C. 若数列{an}为等差数列，则数列{2an}为等比数列
D. 若数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=12(an+1an)(n∈N∗)，则数列{Sn2}是等差数列
11.已知点F(4,0)，直线l：x=−4，曲线C上的点满足到F的距离与到l的距离之积为16，则下列说法正确的有( )
A. 曲线C关于y轴对称
B. 曲线C经过坐标原点
C. 设曲线C上动点P(x,y)(x>−4)到直线x=6的距离为d，则|PF|d的最小值为1625
D. 当点P(x,y)在曲线C上时， (x+8)2+y2的最小值为8−4 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线l过点(3,1)，且与两条坐标轴的正半轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为______．
13.设双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P是双曲线E上的一点，若∠F1PF2=π3，|PF1|=3|PF2|，则双曲线E的离心率为______．
14.已知直线l：y=−1，圆C1：(x+1)2+y2=1，圆C2：(x−1)2+y2=1，若圆C3与圆C1、圆C2、直线l都相切，则圆C3的半径为______，若圆Cn+2与圆Cn、圆Cn+1、直线l都相切(n∈N∗)，则圆C7的半径为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知三点O(0,0)，A(2,0)，B(−1,−1)在圆C上，点C为圆心．
(1)求圆C的方程；
(2)过点P(4,2)作圆C的两条切线，切点为M，N，求四边形PMCN的面积．
16.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且数列{Sn+2}是首项为4，公比为2的等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若1a1+1a2+…+1an0)，求线段PT长度的最大值；
(3)经过点Q(−4,0)的两条直线l1，l2，直线l1与曲线C相交于A，M两点，直线l2与曲线C相交于B，N两点，若直线AB过定点G(−3,2)，证明：直线MN恒过定点．
参考答案
1.B
2.C
3.A
4.C
5.D
6.B
7.A
8.C
9.BCD
10.ACD
11.BCD
12.x+y−4=0
13. 72
14.14 1169
15.解：(1)三点O(0,0)，A(2,0)，B(−1,−1)在圆C上，
则由圆的对称性可知：圆心C为线段OA，OB垂直平分线的交点，
∵kOB=1，线段OB中点为(−12,−12)，
∴线段OB垂直平分线方程为：y+12=−(x+12)，即y=−x−1，
又线段OA的垂直平分线为x=1，∴C(1,−2)，
∴圆C的半径r=|OC|= (1−0)2+(−2−0)2= 5，
∴圆C的方程为：(x−1)2+(y+2)2=5．
(2)

∵|CP|= (1−4)2+(−2−2)2=5，|CM|= 5，CM⊥MP，
∴|MP|= |CP|2−|CM|2=2 5，∴S△CMP=12|MP|⋅|CM|=12×2 5× 5=5，
∴四边形PMCN的面积S=2S△CMP=2×5=10．
16.解：(1)数列{an}的前n项和为Sn，且数列{Sn+2}是首项为4，公比为2的等比数列，
可得a1+2=S1+2=4，解得a1=2，
由等比数列的通项公式可得Sn+2=4×2n−1=2n+1，即Sn=2n+1−2，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n+1−2−(2n−2)=2n，对n=1也成立，
综上所述an=2n；
(2)由(1)得an=2n，则1an=12n，
即有数列{1an}是首项和公比都为12的等比数列，
所以1a1+1a2+…+1an=12(1−(12)n)1−12=1−12n，
所以1−12n