2024-2025学年湖南省衡阳市衡阳三中高二（上）期末数学模拟试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省衡阳市衡阳三中高二（上）期末数学模拟试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知圆C：x2+y2−2x−4y−4=0，P为直线l：x+y+2=0上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，当四边形PACB的面积最小时，直线AB的方程为( )
A. 5x+5y+3=0B. 5x−5y+3=0C. 5x+5y−3=0D. 5x−5y−3=0
2.如图，已知点P在正方体ABCD−A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDC=60°.设D′P=λD′B，则λ的值为( )
A. 12B. 22C. 2−1D. 3−2 2
3.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，过焦点F作圆x2+y2=b2的一条切线l交椭圆E的一个交点为A，切点为Q，且OA+OF=2OQ(O为坐标原点)，则椭圆E的离心率为( )
A. 53B. 33C. 63D. 32
4.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.设r是f(x)=x2+x−1=0(x>0)的根，选取x0=1作为r的初始近似值，过点(x0,f(x0))做曲线y=f(x)的切线l，l与x轴的交点的横坐标为x1，称x1是r的一次近似值；过点(x1,f(x1))做曲线y=f(x)的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标为x2，称x2是r的二次近似值.则x2=( )
A. 23B. 1120C. 1321D. 1727
5.以双曲线x24−y29=1的右顶点为圆心，焦点到渐近线的距离为半径的圆交抛物线y2=2px(p>0)于A，B两点.已知|AB|=4 2，则抛物线的焦点到准线的距离为( )
A. 43或4B. 53C. 53或4D. 4
6.数列{an}的前n项和为Sn，a1=−1，nan=Sn+n(n−1)(n∈N∗)，设bn=(−1)nan，则数列{bn}的前51项之和为( )
A. −149B. −49C. 49D. 149
7.已知函数f(x)的定义域为R，其导函数为f′(x)，且满足f′(x)+f(x)=e−x，f(0)=0，则不等式(e2x−1)f(x)0，则f(a)>f(b)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等比数列{an}中，a4⋅a7=−512，a3+a8=124，公比q∈Z，则a10= ______．
13.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P、Q分别在A1B1、C1D1上，且A1P=2PB1，C1Q=2QD1，则异面直线BP与DQ所成角的余弦值为______．
14.已知两定点M(4,0)，N(1,0)，动点P满足MN⋅MP=6|NP|，则动点P的轨迹方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知圆心为M(−2,−1)的圆经过点(1,3)，直线l：x+my+m=0．
(1)求圆M的方程；
(2)写出直线l恒过定点Q的坐标，并求直线l被圆M所截得的弦长最短时m的值及最短弦长．
16.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
(1)证明：PB//平面AEC；
(2)若AB=AD=2，AP=4，求平面ADE与平面ACE夹角的余弦值．
17.(本小题12分)
已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数)．
(1)若a=−2，求证：f(x)在(1,+∞)上是增函数；
(2)当a=−4时，求函数f(x)在[1,e]上的最大值与最小值及相应的x值；
(3)若存在x∈[1,e]，使得f(x)≤(a+2)x成立，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an−4．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{nSn}的前n项和Tn．
19.(本小题12分)
已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(−2 5,0)，离心率 5．
(1)求双曲线C的方程；
(2)记双曲线C的右顶点为A，过点A作直线MA，NA与C的左支分别交于M，N两点，且MA⊥NA，AD⊥MN，D为垂足．
(i)证明：直线MN恒过定点P，并求出点P坐标．
(ii)判断是否存在定点Q，使得|DQ|为定值，若存在说明理由并求出Q点坐标．
参考答案
1.A
2.C
3.A
4.C
5.A
6.B
7.C
8.D
9.BD
10.BC
11.ACD
12.512
13.45
14.x24+y23=1
15.解：(1)∵圆M的半径r= (1+2)2+(3+1)2=5，
∴圆M的方程为(x+2)2+(y+1)2=25；
(2)∵直线l的方程为x+my+m=0，∴x+m(y+1)=0，
令x=0y+1=0，解得：x=0y=−1，∴定点Q的坐标为(0,−1)，
∵(0+2)2+(−1+1)2=40，解得x>1，
∴f(x)在(1,+∞)上是增函数．
(2)∵a=−4，∴f(x)=−4lnx+x2，∴f′(x)=−4x+2x=2x2−2x，
令f′(x)>0解得x> 2，令f′(x)lnx在x∈[1,e]恒成立，∴a≥x2−2xx−lnx，
即存在x∈[1,e]时，a≥x2−2xx−lnx，
令g(x)=x2−2xx−lnx，g′(x)=(x−1)(x+2−2lnx)(x−lnx)2，
令ℎ(x)=x+2−2lnx,ℎ′(x)=1−2x=x−2x，
令ℎ′(x)=x−2x>0，解得2