2024-2025学年广东省广州市从化三中高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省广州市从化三中高二（上）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.向量a=(x,1,3)，b=(2,−y,6)，若a//b，则( )
A. x=y=1B. x=−1，y=−2
C. x=1，y=−2D. x=−1，y=2
2.已知P(A)=14,P(B)=16,P(AB)=112，则P(A∪B)=( )
A. 512B. 13C. 14D. 16
3.若直线ax+y−2=0经过两直线5x−3y−17=0和x−y−5=0的交点，则a=( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
4.已知点A(3,1,4)，则点A关于x轴对称的点的坐标为( )
A. (3,−1,−4)B. (1,−3,4)C. (−3,−1,−4)D. (4,−1,3)
5.从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，给出以下事件：
①两球都不是白球；
②两球中恰有一白球；
③两球中至少有一个白球．
其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是( )
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
6.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC是等边三角形，AA1= 2，AB=2，则点C到直线AB1的距离为( )
A. 63
B. 233
C. 303
D. 153
7.如图，二面角α−l−β等于120°，A、B是棱l上两点，BD、AC分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB=AC=BD=2，则CD的长等于( )
A. 2 3 B. 2 2
C. 4 D. 2
8.在古装电视剧《知否》中，甲、乙两人进行一种投壶比赛，比赛投中得分情况分“有初”“贯耳”“散射”“双耳”“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”，“依竿”算“十筹”，三场比赛得筹数最多者获胜．假设甲投中“有初”的概率为13，投中“贯耳”的概率为16，投中“散射”的概率为19，投中“双耳”的概率为112，投中“依竿”的概率为136，乙的投掷水平与甲相同，且甲、乙投掷相互独立．比赛第一场，两人平局；第二场，甲投了个“贯耳”，乙投了个“双耳”，则三场比赛结束时，甲获胜的概率为( )
A. 85432B. 527C. 19D. 83432
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知事件A，B发生的概率分别为P(A)=12,P(B)=13，则下列说法正确的是( )
A. 若A与B互斥，则P(A+B)=23
B. 若A与B相互独立，则P(A+B)=23
C. 若P(AB−)=13，则A与B相互独立
D. 若B发生时A一定发生，则P(AB)=16
10.下列说法正确的是( )
A. “a=−1”是“直线a2x−y+1=0与直线x−ay−2=0互相垂直”的充要条件
B. “a=−2”是“直线ax+2y+a2=0与直线x+(a+1)y+1=0互相平行”的充要条件
C. 直线xsinα+y+2=0的倾斜角θ的取值范围是[0,π4]∪[3π4,π)
D. 若点A(1,0)，B(0,2)，直线l过点P(2,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是−12≤k≤1
11.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列结论正确的是( )
A. 三棱锥P−A1C1D的体积为定值
B. 异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[π4,π2]
C. 平面ADP与平面ABCD所成夹角的余弦值取值范围是[ 22,1]
D. 直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为 63
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线(k+1)x−y+2=0的倾斜角为135°，则k= ______．
13.已知平面α的一个法向量为n=(2,3,5)，点A(−1,−3,0)是平面α上的一点，则点P(−3,−4,1)到平面α的距离为______．
14.甲、乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得1分，答错一题得0分.已知甲队中每名选手答对题的概率都为12，乙队中3名选手答对题的概率分别为23,13,14.在第一轮比赛中，甲队得x分，乙队得y分，则在这一轮中，满足00)如图所示．
(1)求证：A1C⊥平面BCDE；
(2)当λ=12时，求二面角C−MB−E的正弦值；
(3)设直线BM与平面A1BE所成线面角为θ，求sinθ的最大值．
参考答案
1.C
2.B
3.C
4.A
5.A
6.C
7.C
8.D
9.BC
10.BCD
11.ACD
12.−2
13. 3819
14.79288
15.解：(1)因为点A(2,1)，B(0,3)，C(−1,2)，
所以kAB=3−10−2=−1，kBC=2−3−1−0=1，
所以直线AB的倾斜角为135°，
直线BC的点斜式方程为y−3=x−0，或写成y−2=x+1(注：写一个即可)．
(2)由(1)可得直线BC的一般式方程为x−y+3=0，
所以点A到直线BC的距离d=|2−1+3| 12+12=2 2．
16.解：基本事件总数为C42=6，
(1)甲被选中包含的基本事件数为C31=3，
∴甲被选中的概率为36=12；
(2)丁没被选中包含的基本事件数为C32=3，
∴丁没被选中的概率为36=12；
(3)甲、丁至少有1人被选中包含的基本事件数为6−C22=6−1=5，
∴甲、丁至少有1人被选中的概率为56．
17.解：(1)以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则A1(2,0,2)，E(2,1,0)，B(2,3,0)，C1(0,3,2)，C(0,3,0)，B1(2,3,2)，
可得A1E=(0,1,−2)，BC1=(−2,0,2)，EC=(−2,2,0)，
设平面A1EC的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅A1E=y−2z=0n⋅EC=−2x+2y=0，
令z=1，则x=y=2，可得n=(2,2,1)，
可得|cs|=|n⋅BC1||n||BC1|=|−4+2|3×2 2= 26，
所以直线BC1与平面A1EC所成角的正弦值为 26；
(2)由(1)可得：EB1=(0,2,2)，
所以B1到平面A1EC的距离为|n⋅B1E||n|=63=2..
18.解：(1)BD1=AD1−AB=AD+AA1−AB，
因为AB=AD=1，AA1=2，∠BAD=π2,∠BAA1=∠DAA1=π3，
所以AD⋅AB=0，AD⋅AA1=AA1⋅AB=1×2×csπ3=1，
所以|BD1|2=(AD+AA1−AB)2=AD2+AA12+AB2+2AD⋅AA1−2AD⋅AB−2AA1⋅AB=12+22+12+2×1−2×0−2×1=6，
所以|BD1|= 6．
(2)由(1)知，BD1=AD+AA1−AB，|BD1|= 6，
而AC=AB+AD，|AC|= 2，
所以BD1⋅AC=(AD+AA1−AB)⋅(AB+AD)=AD⋅AB+AD2+AA1⋅AB+AA1⋅AD−AB2−AB⋅AD=0+12+1+1−12−0=2，
所以cs〈BD1,AC〉=BD1⋅AC|BD1|⋅|AC|=2 6× 2= 33．
19.(1)证明：翻折前，由∠C=90°，DE/​/BC，知DE⊥CD，DE⊥AD，
翻折后，DE⊥CD，DE⊥A1D，
因为CD∩A1D=D，CD、A1D⊂平面A1CD，
所以DE⊥平面A1CD，
又A1C⊂平面A1CD，所以DE⊥A1C，
因为A1C⊥CD，CD∩DE=D，CD、DE⊂平面BCDE，
所以A1C⊥平面BCDE．
(2)解：因为DE经过△ABC的重心，且BC=3，AC=6，
所以DE=2，CD=2，AD=4，
由(1)知A1C⊥平面BCDE，
所以A1C⊥CD，A1C⊥BC，
所以A1C= A1D2−CD2= AD2−CD2=2 3，
以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C(0,0,0)，B(0,3,0)，D(2,0,0)，E(2,2,0)，A1(0,0,2 3)，
当λ=12时，点M是A1D的中点，所以M(1,0, 3)，
所以CB=(0,3,0)，BM=(1,−3, 3)，BE=(2,−1,0)，
设平面BCM的法向量为n1=(x1,y1,z1)，则n1⋅BM=x1−3y1+ 3z1=0n1⋅CB=3y1=0，
令z1=1，则x1=− 3，y1=0，所以n1=(− 3,0,1)，
设平面BEM的法向量为n2=(x2,y2,z2)，则n2⋅BM=x2−3y2+ 3z2=0n2⋅BE=2x2−y2=0，
令x2= 3，则y2=2 3，z1=5，所以n2=( 3,2 3,5)，
设二面角C−MB−E的夹角为α，
则|csα|=|cs|=|n1⋅n2||n1|⋅|n2|=−3+52×2 10= 1020，
所以sinα= 1−|csα|2= 1−( 1020)2= 39020，
故二面角C−MB−E的正弦值为 39020．
(3)解：由(2)知，A1D=(2,0,−2 3)，BE=(2,−1,0)，A1B=(0,3,−2 3)，
所以A1M=λA1D=(2λ,0,−2 3λ)，
所以BM=BA1+A1M=(0,−3,2 3)+(2λ,0,−2 3λ)=(2λ,−3,2 3−2 3λ)，
设平面A1BE的法向量为m=(a,b,c)，则m⋅BE=2a−b=0m⋅A1B=3b−2 3c=0，
令a=1，则b=2，c= 3，所以m=(1,2, 3)，
所以sinθ=|cs|=|BM⋅m||BM|⋅|m|=|2λ−6+6−6λ| 4λ2+9+(2 3−2 3λ)2×2 2= 2λ 16λ2−24λ+21= 2 21λ2−24λ+16，
当1λ=47，即λ=74时，sinθ取得最大值 148．