2024-2025学年广东省东莞市翰林高级中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省东莞市翰林高级中学高二（上）期中数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线 3x+y+1=0的倾斜角为( )
A. 150°B. 120°C. 60°D. 30°
2.已知向量a=(1,−3,−2),b=(3,2,−5)，则下列结论正确的是( )
A. a//bB. a⊥b
C. a−b=(−2,−5,−3)D. |a|= 14
3.已知直线x+2y−4=0与直线2x+my+m+3=0平行，则它们之间的距离为( )
A. 5B. 10C. 3 52D. 3 102
4.已知点A(1,0,0)，B(1,0,2)，C(1,1,1)，则点A到直线BC的距离是( )
A. 1B. 2C. 2 2D. 4
5.如图，某圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形，点B是底面圆周上的一点，且∠AOB=2π3，点M是SA的中点，则异面直线AB与CM所成角的余弦值是( )
A. 34
B. 74
C. 13
D. 32
6.已知点A(2,−3)，B(−5,−2)，若直线l：mx+y+m−1=0与线段AB(含端点)有公共点，则实数m的取值范围为( )
A. [−43,34]B. (−∞,−43]∪[34,+∞)
C. [−34,43]D. (−∞,−34]∪[43,+∞)
7.设双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，过点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为D，E，若PF1⋅PF2=0，且3|PD||PE|=S△PF1F2，则双曲线C的离心率为( )
A. 2 33B. 2C. 3D. 2
8.吹奏乐器“埙”(如图1)在古代通常是用陶土烧制的，一种埙的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆.半椭圆y2a2+x2b2=1(y≥0,a>b>0且为常数)和半圆x2+y2=b2(y0，则a与b夹角为锐角
D. 若直线l的方向向量为m=(2,4,−2)，平面α的一个法向量为n=(−1,−2,1)，则l⊥α
10.已知直线l：kx−y+k=0，圆C：x2+y2−6x+5=0，点P(x0,y0)为圆C上一动点，则下列说法正确的是( )
A. x02+y02的最大值为5B. y0x0的最大值为2 55
C. x0+y0的最大值为3+2 2D. 圆心C到直线l的距离最大为4
11.设F1，F2是椭圆x216+y212=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|−|PF2|=2.则下列说法中正确的是( )
A. |PF1|=5，|PF2|=3B. 离心率为12
C. △PF1F2的面积为6D. △PF1F2的面积为12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(−1,3,−2),b=(2,−1,3),c=(4,3,m)，若{a,b,c}不能构成空间的一个基底，则实数m的值为______．
13.由直线x−y−2=0上的一点P向圆(x+3)2+y2=1引切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为______．
14.已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C的离心率的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知△ABC顶点A(3,0)、B(−1,−3)、C(1,1)．
(1)求BC边上中线所在的直线方程；
(2)求BC边上高线所在的直线方程；
(3)求△ABC的面积．
16.(本小题12分)
已知圆心在直线x−y+3=0上的圆C经过两点M(0,2)和N(1,3)．
(1)求圆C的方程；
(2)设点Q(a,0)(a>0)，若圆C上存在点P满足|PQ|= 2|PO|，求实数a的取值范围．
17.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD//BC，AB⊥AD，AB=AD=12BC=1，PA=2，E为棱BC上的点，且BE=14BC，点Q在棱CP上(不与点C，P重合)．
(1)求证：平面DEQ⊥平面PAC．
(2)求二面角A−PC−D的平面角的余弦值．
(3)直线QE能与平面PCD垂直吗？若能，求出CQCP的值；若不能，请说明理由．
18.(本小题12分)
在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F( 3,0)，短轴长为2.过点F且不平行于坐标轴的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值；
(3)求△AOB面积的最大值．
19.(本小题12分)
《瀑布》(图1)是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲.此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体”(图2)

埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形AnBnCnDn，n=1，2，3的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为Pn，Qn，将极点P1，Q1，分别与正方形A2B2C2D2的顶点连线，取其中点记为Em，Fm，m=1，2，3，4，如(图3).埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图4我们构造了其中两个四棱锥A1−P1E1P2E2与A2−P2E1P3F1
(1)求异面直线P1A2与Q1B2成角余弦值；
(2)求平面P1A1E1与平面A1E2P2的夹角正弦值；
(3)求埃舍尔体的表面积与体积(直接写出答案)．
参考答案
1.B
2.D
3.C
4.B
5.A
6.D
7.C
8.D
9.ABD
10.BC
11.ABC
12.5
13. 462
14.[13,1)
15.解：△ABC顶点A(3,0)、B(−1,−3)、C(1,1)．
(1)BC边的中点D(−1+12,−3+12)，即D(0,−1)，
故直线AD：y+10+1=x−03−0，即AD：x−3y−3=0．
(2)kBC=−3−1−1−1=2，故AE的斜率kAE=−1kBC=−12，
故直线AE：y=−12(x−3)，即AE：x+2y−3=0．
(3)由(2)可知kBC=2，由点斜式即可得BC：y−1=2(x−1)，即BC：2x−y−1=0，
三角形的高是点A到直线BC的距离，所以ℎ=d=|2×3−0−1| 22+11= 5，
|BC|= (−1−1)2+(−3−1)2=2 5，
S△ABC=12|BC|ℎ=12×2 5× 5=5．
16.解：(1)设M(0,2)和N(1,3)的中点为点A，则A点坐标为(12,52)，易知kMN=1，
则过A点且与直线MN垂直的直线方程为y−52=(−1)(x−12)，
即x+y−3=0，
又圆心也在直线x−y+3=0上，
联立x+y−3=0x−y+3=0，解得x=0y=3，
即圆心为C(0,3)，又易知|CM|=1，
因此圆C的方程为x2+(y−3)2=1；
(2)设P(x0,y0)，
由题圆C上存在点P满足|PQ|= 2|PO|，可得 (x0−a)2+y02= 2 x02+y02，
(x0−a)2+y02=2(x02+y02)，x02+a2−2ax0+y02=2x02+2y02，
化简得(x0+a)2+y02=2a2，
可知点P轨迹是以(−a,0)为圆心，以 2a为半径的圆C1，
依题意可知圆C与圆C1有公共点，即| 2a−1|≤|CC1|= a2+9≤ 2a+1，
解得 10− 2≤a≤ 10+ 2．
即实数a的取值范围为[ 10− 2, 10+ 2].
17.解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，
又AB⊥AD，则以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，E(1,12,0)，D(0,1,0)，C(1,2,0)，P(0,0,2)，
所以DE=(1,−12,0)，AC=(1,2,0)，AP=(0,0,2)，
所以DE⋅AP=0，DE⋅AC=1−1=0，
所以DE⊥AP，DE⊥AC，且AP∩AC=A，AP，AC⊂平面PAC，
所以DE⊥平面PAC，DE⊂平面DEQ，
所以平面DEQ⊥平面PAC．

(2)由(1)知DE=(1,−12,0)是平面PAC的一个法向量，PD=(0,1,−2)，PC=(1,2,−2)，
设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z)，
则PD⊥nPC⊥n，所以PD⋅n=0PC⋅n=0，即y−2z=0x+2y−2z=0，
令z=−1，则x=2，y=−2，所以n=(2,−2,−1)，
所以cs〈DE,n〉=DE⋅n|DE|×|n|=2+1 54× 9=2 55，
又由图可知二面角A−PC−D的平面角为锐角，
所以二面角A−PC−D的平面角的余弦值为2 55．
(3)由(1)得C(1,2,0)，P(0,0,2)，E(1,12,0)，CP=(−1,−2,2)，
设CQCP=λ(0