2024-2025学年浙江省杭州学军中学高二上学期12月月考数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年浙江省杭州学军中学高二上学期12月月考数学试题（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知直线l经过点M(−1,0)，N(0,7)，则直线l的方程为( )
A. 7x+y+7=0B. 7x+y−7=0C. 7x−y−7=0D. 7x−y+7=0
2.若椭圆x2a2+y23=1(a> 3)的长半轴长等于其焦距，则a=( )
A. 2B. 2 2C. 2 3D. 4
3.已知直线l1:2x+3y−1=0与l2:3x+m+1y+2=0垂直，则实数m=( )
A. 3B. −3C. 2D. 1
4.抛物线y=−2025x2的准线方程为( )
A. x=20252B. x=20254C. y=14050D. y=18100
5.在四面体ABCD中，E为棱AD的中点，点F为线段BE上一点，且BF=4FE，设AB=m，AC=n，AD=t，则CF=( )
A. 15m−n−25tB. 15m−n+25tC. 15m+n−25tD. 25m−n+15t
6.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )
A. 3699块B. 3474块C. 3402块D. 3339块
7.已知点P为圆C:(x−2)2+y2=r2(r>0)上一动点，若直线x− 3y+6=0上存在两点A，B，满足|AB|=4，且∠APB=90∘，则r的最小值为( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
8.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，M为棱A1D1的中点，G为侧面CDD1C1的中心，点P，Q分别为直线AD，AB上的动点，且PG⊥MQ，当|PQ|取得最小值时，点Q到平面PMG的距离为( )
A. 62B. 52C. 1D. 32
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设l，m是两条不同直线，α，β是两个不同平面，下列命题为真命题的是( )
A. 若l⊥β，l⊥α，则α//βB. 若l//α，m//α，则l//m
C. 若α⊥β，l⊥α，则l//β或l⊂βD. 若l⊥m，l⊥α，则m//α或m⊂α
10.一般地，对于数列an，如果存在一个正整数t，使得当n取每一个正整数时，都有an+t=an，那么数列an就叫作周期数列，t叫作这个数列的一个周期，则下列结论正确的是( )
A. 对于数列an，若ai∈1,2i=1,2,3,⋯，则an为周期数列
B. 若an满足：a2n=a2n+2，a2n−1=a2n+1n∈N∗，则an为周期数列
C. 若an为周期数列，则存在正整数M，使得anb>0的左、右焦点，以F2为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A，B两点，若2AB=F1F2，则双曲线的离心率是 ．
14.已知a>0，函数fx=x+2,xa.设Px3,fx3，Qx4,fx4，其中x30,b>0)，由a2+b2=4，
过点 3,1，可得3a2−1b2=1，可得a2=2，即得a2=b2=2，
故双曲线标准方程为：x22−y22=1；
(2)由y=kx−1x22−y22=1，得(1−k2)x2+2k2x−k2−2=0
由题意得1−k2≠0Δ=4k4−4(1−k2)(−k2−2)=0，解得k=± 2．
当1−k2=0，即k=±1时，直线与双曲线的渐近线y=±x平行，直线与双曲线只有一个公共点，
所以k=± 2或k=±1．

16.(1)解：连接AC，因为四边形ABCD为菱形，又∠ABC=60∘，所以△ABC为等边三角形，取BC的中点E，连接AE，则AE⊥BC，所以AE⊥AD，因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AE，以A为原点，以AE，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，
，
则A(0,0,0)，P(0,0,3)，C( 3,1,0)，D(0,2,0)，AP=(0,0,3)，由DP=3MP，可知M(0,23,2)，所以CM=(− 3,−13,2)，于是cs=AP⋅CM|AP||CM|=63×83=34，故直线AP与直线CM所成角的余弦值为34；
(2)证明：因为AP=2AH，AG=GB，所以G，H分别为AB，AP的中点，则G( 32,−12,0)，H(0,0,32)，连接CG，CH，则CH=(− 3,−1,32)，CG=(− 32,−32,0)，设CH=μCG+λCM，由(1)知CM=(− 3,−13,2)，则(− 3,−1,32)=μ(− 32,−32,0)+λ(− 3,−13,2)，
则− 32μ− 3λ=− 3−32μ−13λ=−12λ=32,
解得μ=12，λ=34，
所以CH=12CG+34CM，故M，C，G，H四点共面．
17.解：(1)证明：[方法一]：
由已知 2Sn+1bn=2 得 Sn=2bn2bn−1 ，且 bn≠0 ， bn≠12 ，
取 n=1 ，由 S1=b1 得 b1=32 ，
由于 bn 为数列 Sn 的前n项积，
所以 2b12b1−1⋅2b22b2−1·⋅⋅⋅·2bn2bn−1=bn ，
所以 2b12b1−1⋅2b22b2−1·⋅⋅⋅·2bn+12bn+1−1=bn+1 ，
所以 2bn+12bn+1−1=bn+1bn ，
由于 bn+1≠0，
所以 22bn+1−1=1bn ，即 bn+1−bn=12 ，其中 n∈N∗，
所以数列 bn 是以 b1=32 为首项，以 d=12 为公差等差数列;
[方法二]【最优解】：
由已知条件知 bn=S1⋅S2⋅S3⋅⋯⋅Sn−1⋅Sn ①
于是 bn−1=S1⋅S2⋅S3⋅⋯⋅Sn−1(n≥2) . ②
由①②得 bnbn−1=Sn ， ③
又 2Sn+1bn=2 ， ④
由③④得 bn−bn−1=12 ，
令 n=1 ，由 S1=b1 ，得 b1=32 ，
所以数列 bn 是以 32 为首项， 12 为公差的等差数列；
[方法三]：
由 2Sn+1bn=2 ，得 bn=Sn2Sn−2 ，且 Sn≠0 ， bn≠0 ， Sn≠1 ，
又因为 bn=Sn⋅Sn−1⋯⋯⋅S1=Sn⋅bn−1 ，所以 bn−1=bnSn=12Sn−2 ，所以 bn−bn−1=Sn2Sn−2−12Sn−2=Sn−12Sn−1=12(n≥2) ，
在 2Sn+1bn=2 中，当 n=1 时， b1=S1=32 ，
故数列 bn 是以 32 为首项， 12 为公差的等差数列；
[方法四]：数学归纳法
由已知 2Sn+1bn=2 ，得 Sn=2bn2bn−1 ， b1=32 ， b2=2 ， b3=52 ，猜想数列 bn 是以 32 为首项， 12 为公差的等差数列，且 bn=12n+1 ，
下面用数学归纳法证明，
当 n=1 时显然成立，
假设当 n=k 时成立，即 bk=12k+1,Sk=k+2k+1 ，
那么当 n=k+1 时， bk+1=bkSk+1=12k+1 ⋅k+3k+2=k+32=12(k+1)+1 ，
综上，猜想对任意的 n∈N∗ 都成立，
即数列 bn 是以 32 为首项， 12 为公差的等差数列；
(2)由(1)可得，数列 bn 是以 b1=32 为首项，以 d=12 为公差的等差数列，
∴bn=32+n−1×12=1+n2 ，
Sn=2bn2bn−1=2+n1+n ，
当n=1时， a1=S1=32 ，
当n≥2时， an=Sn−Sn−1=2+n1+n−1+nn=−1nn+1 ，显然对于n=1不成立，
∴ an=32,n=1−1nn+1,n≥2 ．

18.解：(1)
取EF中点H，连接AH,A′H．
∵AE=AF，∴EF⊥AH，由折叠得EF⊥A′H．
∵AH∩A′H=H,AH,A′H⊂平面A′AH，∴EF⊥平面A′AH．
∵A′A⊂平面A′AH，∴A′A⊥EF．
(2)∵平面A′EF⊥平面BEF，平面A′EF∩平面BEF=EF，A′H⊂平面A′EF，A′H⊥EF，∴A′H⊥平面BEF．
∵AE=EB=AF=23FD=4,∠EAF=π2，
∴AB=8,FD=6,AD=10,EF=4 2,AH=A′H=12EF=2 2．
以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则F(4,0,0)，E(0,4,0)，H(2,2,0)，A′(2,2,2 2)，D(10,0,0)，C(10,8,0)，
∴FD=(6,0,0)，A′F=(2,−2,−2 2)，
设平面A′FD的法向量为n=(x,y,z)，则6x=02x−2y−2 2z=0，取n=(0,− 2,1)．
由题意得，平面FDC的法向量为m=(0,0,1)，
∴csm,n=m⋅nmn=1 3×1= 33，
由图可得二面角A′−FD−C的平面角为锐角，∴二面角A′−FD−C的余弦值为 33．
(3)连接A′M,CM．
设FM=x0≤x≤6，则M(x+4,0,0)．
∵翻折后C与A′重合，∴A′M=CM，
由(2)得，A′(2,2,2 2)，C(10,8,0)，
∴x+22+−22+−2 22=x−62+−82+02，解得x=214，即FM=214．

19.解：(1)设M(x,y)，由“倒影距离”的定义可知，[M,F1]=|x−0|+|−2−y|=|x|+|y+2|，
[M,F2]=|x−0|+|2−y|=|x|+|y−2|，
由题可知[M,F1]+[M,F2]=6，即2|x|+|y−2|+|y+2|=6.所以“倒影椭圆”C的方程为2|x|+|y−2|+|y+2|=6．
(2)由2|x|+|y−2|+|y+2|=6得，2|x|=6−|y−2|−|y+2|，
当x≥0时，x=y+3,−3≤y≤−2,1,−2