专题02 高二上期末真题精选（选必一期末压轴）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点串讲（人教A版2019）

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空间向量数量积最值（或范围）问题
空间向量模最值（或范围）问题
线面角的最值问题
二面角的最值问题
线面角的探索性问题
二面角的探索性问题
椭圆中的离心率最值（或范围）问题
双曲线中的离心率最值（或范围）问题
圆锥曲线中面积定值问题
圆锥曲线中面积最值（范围）问题
圆锥曲线中的定点问题
圆锥曲线中的定值问题
圆锥曲线中的定直线问题
考点01 空间向量数量积最值（或范围）问题（共5小题）
1．（23-24高三上·北京顺义·期末）《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”，平面，，为底面及其内部的一个动点且满足，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二上·湖南·期中）已知正方体的棱长为2，球是正方体的内切球，点是内切球表面上的一个动点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（21-22高二下·安徽安庆·期末）已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为圆的直径，为圆上的点，则的最大值为（ ）
A．4B．C．5D．
4．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知正四面体的棱长为4，空间内动点满足，则的最大值为 .
5．（22-23高二上·广东江门·期中）正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是 ．
考点02空间向量模最值（或范围）问题（共4小题）
1．（22-23高二下·四川达州·期末）已知棱长为的正方体中，点P满足，其中，．当平面时，的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
2．（21-22高二上·安徽宿州·期末）如图，在直三棱柱中，，，D为AB的中点，点E在线段上，点F在线段上，则线段EF长的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
3．（22-23高一下·广东云浮·期末）如图，在正方体中，，E，M，N，P，Q分别为，，，，的中点，O为平面内的一个动点，则的最小值为 .

4．（21-22高二上·河南新乡·期末）如图，在棱长为2的正方体中，P为正方形（包括边界）内一动点，当P为的中点时，与所成角的余弦值为 ；若，则的最大值为 ．
考点03线面角的最值问题（共5小题）
1．（21-22高一下·福建南平·期末）如图，正方体中，，，， 当直线与平面所成的角最大时，（ ）
A．B．C．D．
2．（21-22高二上·辽宁·期末）如图，在正方体ABCD-EFGH中，P在棱BC上，BP=x，平行于BD的直线l在正方形EFGH内，点E到直线l的距离记为d，记二面角为A-l-P为θ，已知初始状态下x=0，d=0，则（ ）
A．当x增大时，θ先增大后减小B．当x增大时，θ先减小后增大
C．当d增大时，θ先增大后减小D．当d增大时，θ先减小后增大
3．（多选）（23-24高二上·陕西渭南·期末）已知正方体的棱长为1，H为棱上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．平面与平面的夹角为
C．三棱锥的体积为定值
D．若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
4．（多选）（23-24高二上·江西萍乡·期末）如图，正方体边长为1，是线段的中点，是线段上的动点，下列结论正确的是（ ）
A．
B．三棱锥的体积为定值
C．直线与平面所成角的正弦值为
D．直线与直线所成角的余弦值的取值范围为
5．（多选）（23-24高三上·山东淄博·期末）如图，多面体，底面为正方形，底面，，，动点在线段上，则下列说法正确的是（ ）
A．多面体的外接球的表面积为
B．的周长的最小值为
C．线段长度的取值范围为
D．与平面所成的角的正弦值最大为
考点04二面角的最值问题（共4小题）
1．（多选）（23-24高二上·山东泰安·期末）如图，在正四棱柱中，，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．若为的中点，则直线平面
C．异面直线与所成角的正弦值的范围是
D．直线与平面所成角的正弦的最大值为
2．（22-23高三上·安徽·期末）如图，在四棱锥中，，E是PB的中点．
(1)求CE的长；
(2)设二面角平面角的补角大小为，若，求平面PAD和平面PBC夹角余弦值的最小值．
3．（23-24高一下·天津南开·期末）如图①所示，矩形中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥，N为PB中点．
(1)求证：平面；
(2)若平面平面，求直线BC与平面所成角的大小；
(3)设的大小为θ，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．
4．（21-22高一下·山东青岛·期末）如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥．
(1)求四棱锥的体积的最大值；
(2)若棱的中点为，求的长；
(3)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．
考点05线面角的探索性问题（共5小题）
1．（22-23高一下·湖北武汉·期末）如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，、分别为、的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为45°.

(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.
2．（22-23高三上·河南·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，其对角线与交于点，，.
(1)证明：平面；
(2)若，，为锐角三角形，点为的中点，直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积.
3．（23-24高三上·安徽合肥·期末）如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为6的正方形，下底面圆的一条弦EF交CD于点G，其中．

(1)证明：平面平面ABCD；
(2)判断母线BC上是否存在点P，使得直线PE与平面AEF所成的角的正弦值为，若存在，求CP的长；若不存在，请说明理由．
4．（23-24高二上·辽宁大连·期末）如图，三棱柱中，侧面为菱形，为中点，且平面，，，，为平面上一动点．
(1)若与平面成角的正切值为，求的最小值．
(2)若点在线段上，平面与所成角的正弦值为，求的值．
5．（23-24高二上·广东广州·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是棱的中点，点是棱上一点.
(1)证明：；
(2)若直线与平面所成角的正切值为，求点到平面的距离.
考点06二面角的探索性问题（共5小题）
1．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，且，平面平面ABCD，，点E为线段PC的中点，点F是线段AB上的一个动点．
(1)求证：平面平面PBC；
(2)设二面角的平面角为θ，当时，求的值．
2．（23-24高二下·云南临沧·期末）如图，在三棱锥中，，，点O是的中点，平面.
(1)求；
(2)点M在直线上，二面角的正弦值为，求三棱锥的体积.
3．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）如图所示，是的直径，点是上异于，平面ABC，、分别为，的中点，
(1)求证：EF⊥平面PBC；
(2)若，，二面角的正弦值为，求BC．
4．（23-24高二下·云南大理·期末）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，分别是的中点，点为线段上一点，.

(1)证明：；
(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，试求的值.
5．（23-24高二下·湖南长沙·期末）由四棱柱截去三棱锥后得到如图所示的几何体，四边形是菱形，为与的交点，平面.
(1)求证：平面；
(2)若二面角的正切值为，求平面与平面夹角的大小.
考点07椭圆，双曲线中的离心率最值（或范围）问题（共7小题）
1．（23-24高三上·河北·期末）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·河南驻马店·期末）如图，椭圆和有相同的焦点，离心率分别为为椭圆的上顶点，与椭圆交于点B，若，则的最小值为 ．
3．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知椭圆的离心率为，点，若椭圆上存在四个不同的点到点的距离相等，则的取值范围为 ．
4．（23-24高二上·安徽合肥·期末）如图，在中，已知，其内切圆与AC边相切于点D，且，延长BA到E，使，连接CE，设以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为，以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为，则的取值范围是 ．
5．（23-24高二上·湖南·期末）如图，椭圆与双曲线有公共焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为两曲线的一个公共点，且为的内心，三点共线，且轴上点满足，则的最小值为 ；的最小值为 .
6．（23-24高二上·广东深圳·期末）设椭圆的左右焦点分别为，，焦距为，点在椭圆的内部，椭圆上存在点使得成立，则椭圆的离心率的取值范围为 .
7．（23-24高二上·四川成都·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，A为右顶点，B为上顶点，若在线段AB上有且仅有一个点P使，则椭圆离心率的取值范围为 （写成集合或区间形式）．
考点08圆锥曲线中面积定值问题（共9小题）
1．（23-24高二下·河北·期末）已知点和点在椭圆上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点P的直线l交椭圆C于一点B，且的面积为，求直线l的方程.
2．（23-24高二下·湖南益阳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，在椭圆上，且面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆相交于P，Q两点，且，求证：（为坐标原点）的面积为定值.
3．（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知椭圆的离心率为，，，，，设P为椭圆C上一点的面积的最大值为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当P在第三象限，直线与y轴交于点M，直线与x轴交于点N，求证：四边形的面积为定值.
4．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知分别为双曲线的左，右焦点，过双曲线左顶点的直线与圆相切.
(1)求直线的方程；
(2)若直线与双曲线交于另一点求的面积.
5．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若为坐标原点，直线交双曲线于两点，求的面积．
6．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，且的离心率为2，焦距为4．
(1)求的方程；
(2)直线过点且与交于两点，为坐标原点，若的面积为，求的方程．
7．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知圆，动圆与圆内切，且与定直线相切，设动圆圆心的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)过点的直线与交于、两点，若（为坐标原点）的面积为，求直线的方程．
8．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知点在抛物线上，斜率为的直线与交于两点，记直线的斜率分别为
(1)证明：为定值:
(2)若，求的面积．
9．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C：（）与圆O的一个交点为．
(1)求抛物线C及圆O的方程；
(2)设直线l与圆O相切于点R，与抛物线C交于A，R两点，求的面积．
考点09圆锥曲线中面积最值（范围）问题（共10小题）
1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知椭圆的离心率为，椭圆的左，右焦点与短轴两个端点构成的四边形面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与轴交于点，与椭圆交于两点，过点作轴的垂线交椭圆交于另一点，求面积的最大值.
2．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆的焦距为，且过点．
(1)求的方程．
(2)记和分别是椭圆的左、右焦点．设是椭圆上一个动点且纵坐标不为．直线交椭圆于点（异于），直线交椭圆于点（异于）．若的中点为，求三角形面积的最大值．
3．（22-23高三上·河南·期末）已知椭圆：的离心率为，直线过椭圆的左焦点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点且与轴不重合的直线交椭圆于两点，为椭圆的右焦点，求面积的取值范围.
4．（23-24高二上·江苏南京·期末）设，在平面直角坐标系中，已知双曲线 的左焦点为，直线 与双曲线的右支交于两点，与双曲线的渐近线交于两点.
(1)求的取值范围；
(2)记的面积为的面积为，求取值范围.
5．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）已知中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的焦距为4，且过点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线交双曲线的右支于，两点，连接并延长交双曲线的左支于点，求的面积的最小值.
6．（23-24高二上·重庆·期末）已知双曲线的右焦点，渐近线方程．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过点F的直线l与双曲线C的右支交于A、B两点，交y轴于点P，若，，求证：为定值；
(3)在（2）的条件下，若点Q是点P关于原点O的对称点，求面积的取值范围．
7．（23-24高二上·上海青浦·期末）已知双曲线，是双曲线上一点．
(1)若椭圆以双曲线的顶点为焦点，长轴长为，求椭圆的标准方程；
(2)设是第一象限中双曲线渐近线上一点，是双曲线上一点，且，求的面积（为坐标原点）；
8．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）抛物线C：，椭圆M：，．
(1)若抛物线C与椭圆M无公共点，求实数r的取值范围；
(2)过抛物线上点作椭圆M的两条切线分别交抛物线C于点P，Q，当时，求面积的最小值．
9．（23-24高二上·江西吉安·期末）已知抛物线C：的焦点F在x轴正半轴上，过F的直线l交C于A，B两点，过F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为，的中点．已知当l的斜率为2时，．
(1)求抛物线C的解析式；
(2)试判断直线是否过定点，若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；
(3)设G为直线与直线的交点，求面积的最小值．
10．（23-24高三上·山东日照·期末）已知椭圆，其上焦点与抛物线的焦点重合.若过点的直线交椭圆于点，同时交抛物线于点（如图1所示，点在椭圆与抛物线第一象限交点下方）.
(1)求抛物线的标准方程，并证明；
(2)过点与直线垂直的直线交抛物线于点（如图2所示），试求四边形面积的最小值.
考点10圆锥曲线中的定点问题（共9小题）
1．（23-24高二下·江西九江·期末）已知，是椭圆C：的左、右焦点，点是C上一点，的中点在y轴上，O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知过椭圆上一点的切线方程为.设动直线l：与椭圆C相切于点P，且与直线相交于点Q，求证：以PQ为直径的圆与轴交于定点.
2．（23-24高二下·广东茂名·期末）已知椭圆：（）的一个顶点为，离心率为.
(1)求的方程；
(2)设，直线（且）与交于不同的两点，，若直线与交于另一点，则直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
3．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知椭圆：的离心率为，过右焦点的直线与相交于、两点．当垂直于长轴时，．
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆上是否存在点，使得当绕点转到某一位置时，四边形为平行四边形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（23-24高二下·陕西延安·期末）已知双曲线经过点．
(1)求的离心率；
(2)设直线经过的右焦点，且与交于不同的两点，点N关于x轴的对称点为点P，证明：直线过定点．
5．（23-24高二上·山东枣庄·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上顶点为，离心率为.
(1)求双曲线的方程；
(2)记双曲线的上、下顶点为、，为直线上一点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，求证：直线过定点，并求出定点坐标.
6．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）过点作直线l与双曲线C：交于A，B两点，P是双曲线C的左顶点，直线与y轴分别交于．
(1)求直线l斜率的取值范围；
(2)求证：线段的中点M为定点，并求出点M的坐标．
7．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知为抛物线上的一点，为的焦点.
(1)设的准线与轴交于点，过点作，垂足为，求四边形的面积；
(2)若、为上横坐标不同的两动点，、与均不重合，且直线、的斜率之积为，证明：直线过定点.
8．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知为拋物线的焦点，为坐标原点，为的准线上一点，直线的斜率为的面积为．已知，设过点的动直线与抛物线交于两点，直线与的另一交点分别为．

(1)求拋物线的方程；
(2)当直线与的斜率均存在时，讨论直线是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
9．（23-24高二上·陕西汉中·期末）已知抛物线过点，直线与抛物线交于两点，为坐标原点，．
(1)求抛物线的方程；
(2)求证：直线过定点；
(3)在轴上是否存在点，使得直线与直线的斜率之和为0？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
考点11圆锥曲线中的定值问题（共9小题）
1．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知椭圆的右焦点坐标为，两个焦点与短轴一个端点构成等边三角形.
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)若过点与点的直线交椭圆于，两点，过点且与直线平行的直线交轴于点，直线与直线于点，求的值.
2．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知椭圆的离心率为，点在上，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的右顶点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆上一点的坐标为，若为钝角，求横坐标的取值范围；
(3)过点的直线与椭圆交于不同的两点D，E(D，E与不重合)，直线分别与直线交于P，Q两点，求的值.
3．（23-24高二下·福建厦门·期末）已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，记的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)过原点的直线交于两点，过作直线的垂线交于点（异于点），直线与轴，轴分别交于点.设直线，的斜率分别为，.
（ⅰ）证明：为定值；
（ⅱ）求四边形面积的最大值.
4．（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知双曲线：过点，离心率为.
(1)求的方程；
(2)过点且斜率为的直线交双曲线左支于点，平行于的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，点A在第一象限，直线的斜率为.若四边形为平行四边形，证明：为定值.
5．（23-24高二上·广东广州·期末）已知双曲线：与圆的一个交点为.
(1)求双曲线E的方程；
(2)设点A为双曲线E的右顶点，点B，C为双曲线E上关于原点O对称的两点，且点B在第一象限，直线与直线交于点M，直线与双曲线E交于点D.设直线与的斜率分别为，，请问是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
6．（23-24高二上·山东淄博·期末）已知双曲线（，）的离心率为2，且经过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)点，在双曲线上，且，，为垂足.证明：①直线过定点；②存在定点，使得为定值.
7．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于两点，
(1)求抛物线的方程；
(2)若抛物线上有一动弦为弦的中点，，求点的纵坐标的最小值，
8．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知P是抛物线的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为．
(1)若点P纵坐标为0，求此时抛物线C的切线方程；
(2)设直线的斜率分别为，求证：为定值．
9．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知是过抛物线焦点且互相垂直的两弦，
(1)若直线的倾斜角为，求弦长；
(2)求的值.
考点12圆锥曲线中的定直线问题（共5小题）
1．（23-24高三上·湖北襄阳·期末）已知点A、分别是椭圆：的上、下顶点，、是椭圆的左、右焦点，，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆交于不同两点、（、与椭圆上、下顶点均不重合），证明：直线、的交点在一条定直线上．
2．（23-24高二上·安徽宣城·期末）已知分别是椭圆的左､右焦点，是椭圆上的一点，当时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)记椭圆的上下顶点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程.
3．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知A，B分别为椭圆的左右顶点，点，在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率不为零的直线与椭圆交于C，D两点，若直线AC与BD相交于点，求证：点在定直线上．
4．（22-23高二下·江苏盐城·期末）已知双曲线上点到两定点的距离分别为，，且满足．
(1)求双曲线的方程；
(2)设经过点且不垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，是直线上关于轴对称的两点，求证：直线与的交点在定直线上．
5．（22-23高二下·福建福州·期末）如图，正六边形ABCDEF的边长为4．已知双曲线的焦点分别为A，D，两条渐近线分别为直线BE，CF．

(1)建立适当的平面直角坐标系，求的方程；
(2)过点A的直线l与交于P，Q两点，，若点M满足，证明：点M在一条定直线上．