专题03 高二上期末真题精选（数列）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点串讲（人教A版2019）

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数列常考 题
考点01：等差数列通项的基本量计算
考点02：等差数列角标和性质
考点03：等差数列前项和基本量计算
考点04：等差数列前项和性质
考点05：等比数列通项的基本量计算
考点06：等比数列角标和性质
考点07：等比数列前项和基本量计算
考点08：等比数列前项和性质
考点09：数列求通项
考点10：数列求和之倒序相加法
考点11：数列求和之分组求和法
考点12：数列求和之裂项相消法
考点13：数列求和之错位相减法
数列压轴 题
压轴一：数列求和之分组求和（分类讨论）
压轴二：数列求和之裂项相加法
压轴三：数列不等式中的恒（能）成立问题
一、等差数列通项的基本量计算（共4小题）
1．（23-24高二上·河南漯河·期末）等差数列中，，则其前100项和为（ ）
A．5050B．10010C．10100D．11000
2．（23-24高二下·河南·期末）已知等差数列满足，且，则首项（ ）
A．B．0C．1D．3
3．（23-24高二下·河南南阳·期末）若是正项无穷的等差数列，且，则的公差的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高二下·四川成都·期末）记 Sn 为等差数列的前 项和，若 ，则 （ ）
A．2B．3C．10D．4
二、等差数列角标和性质（共4小题）
1．（23-24高二下·河南信阳·期末）数列满足，已知，则的前19项和（ ）
A．0B．8C．10D．19
2．（23-24高二上·福建福州·期末）已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（ ）
A．9B．C．D．
3．（23-24高二上·陕西西安·期末）设为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．8B．12C．18D．24
4．（多选）（23-24高二上·河南商丘·期末）已知等差数列的前项和为，无论首项和公差如何变化，始终是一个定值，则下列各数也为定值的是（ ）
A．B．
C．D．
三、等差数列前项和基本量计算（共3小题）
1．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（多选）（23-24高二上·福建福州·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列B．
C．当取得最大值时，D．
3．（23-24高三上·河北·期末）设等差数列的前项和为，若，则 ．
四、等差数列前项和性质（共6小题）
1．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．30B．26C．56D．42
2．（23-24高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）设等差数列的前项和分别为，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（多选）（23-24高二上·江苏南京·期末）已知数列的前项和为，下列命题正确的有（ ）.
A．若为等差数列，则一定是等差数列
B．若为等比数列，则一定是等比数列
C．若，则一定是等比数列
D．若，则一定是等比数列
5．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知等差数列的前项和为，若，则 .
6．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知等差数列的前项和分别为，且，则 .
五、等比数列通项的基本量计算（共3小题）
1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，则的公比是（ ）.
A．1B．2.C．3D．5
2．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知等比数列的前n项和为，，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（23-24高二下·江西九江·期末）设是等比数列，且，则 .
六、等比数列角标和性质（共3小题）
1．（23-24高二下·青海·期末）在等比数列中，，，则（ ）
A．64B．128C．D．
2．（23-24高二下·贵州毕节·期末）已知等比数列的各项均为正数，若，则等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（23-24高二下·陕西榆林·期末）在各项均为正数的等比数列中，，则 ．
七、等比数列前项和基本量计算（共3小题）
1．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知正项等比数列的前n项和为，，且，则 ．
2．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知数列满足：，其前项和为，若，则 .
3．（22-23高三上·广东肇庆·阶段练习）已知等比数列的前项和为，且，，则 .
八、等比数列前项和性质（共3小题）
1．（多选）（23-24高二下·四川乐山·期末）在数列中，，，若不等式对任意恒成立，则实数λ的值可以是（ ）
A．1B．0C．D．
2．（23-24高二下·陕西渭南·期末）在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为 .
3．（23-24高二上·广东·期末）等比数列的前项和为，若，则 .
九、数列求通项（共16小题）
1．（23-24高二下·安徽·期末）设数列的前项和为，若，则（ ）
A．16B．31C．47D．63
2．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知正项等比数列的前项和为，且，则 ．
3．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的前12项和 .
4．（23-24高二下·上海宝山·期末）在数列中，，且，则 .
5．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知数列各项均为正数，且首项为1，，则 ．
6．（23-24高二上·内蒙古·期末）在数列中，，则 ．
7．（22-23高三上·辽宁葫芦岛·期末）在数列中，，，则数列的通项公式为 .
8．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）已知数列的前项和为，满足，则
9．（23-24高三下·四川·期末）若数列的前n项和为，，，则数列的通项公式为 ．
10．（23-24高二上·四川泸州·期末）已知各项均为正数的数列的前n项和为，满足，且，，则数列的通项公式 ．
11．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知数列的前项和为，且，则 .
12．（23-24高二上·宁夏银川·期末）数列中的前n项和，数列的前n项和为，则＝ .
13．（23-24高二下·辽宁锦州·期末）已知数列满足，则 .
14．（22-23高二上·广东·期末）已知首项为2的数列对满足，则数列的通项公式 .
15．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知数列满足，，设，则 ；的最小值为 .
16．（23-24高一下·上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为 .
十、数列求和之倒序相加法（共4小题）
1．（21-22高二上·江西九江·期末）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列，则（ ）
A．96B．97C．98D．99
2．（21-22高二下·广东佛山·期末）已知数列的前项和为，且，设函数，则 ， .
3．（21-22高二上·安徽六安·期末）已知函数，数列是正项等比数列，且，则 ．
4．（21-22高三上·湖北鄂州·期末）设函数，定义，其中，，则 .
十一、数列求和之分组求和法（共6小题）
1．（23-24高二下·云南保山·期末）已知的前项和是，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设求数列的前项和．
2．（23-24高二上·河南郑州·期末）设等差数列的前项和为，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的首项为，且对任意的都有，求数列的前项和．
3．（23-24高三上·湖北襄阳·期末）已知数列的前项和为，首项，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
4．（23-24高二上·山东济南·期末）已知等差数列，满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求的前2n项和．
5．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知等差数列的前n项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前10项和．
6．（23-24高三上·湖南常德·期末）已知数列的前n项和为，点在直线的图象上．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列是首项为1且公比为2的等比数列，求数列的前n项和．
十二、数列求和之裂项相消法（共5小题）
1．（23-24高二下·陕西西安·期末）在等差数列中，，，且12是，的等比中项．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
2．（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知数列的前项和为，数列为等比数列，且，分别为数列第二项和第三项.
(1)证明数列是等差数列，并求其通项公式；
(2)求数列的通项公式及其前项和；
(3)若数列，证明：数列的前项和.
3．（23-24高二下·辽宁本溪·期末）设正项数列是公差为的等差数列，其前项和为，已知.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
4．（23-24高二下·福建福州·期末）已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，数列的前项和为，证明：.
5．（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知为正项数列的前n项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
十三、数列求和之错位相减法（共5小题）
1．（23-24高二下·湖南·期末）数列的前项和为，当时，，数列满足：.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)记数列，数列的前项和为，求.
2．（23-24高二上·江苏南京·期末）设数列的前项和为，且，其中．
(1)证明为等差数列，求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和
3．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知正项数列满足，且
(1)求数列的通项公式；
(2)若的前项和为，求.
4．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）在数列中，.
(1)求证：是等比数列；
(2)若，求的前项和.
5．（23-24高二下·辽宁大连·期末）已知数列的首项为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求.
压轴一：数列求和之分组求和（分类讨论）（共4小题）
1．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足，且对任意正整数n都有．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，，（），若且，求集合A中所有元素的和．
2．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知数列，满足的前项和，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的通项公式.
3．（22-23高三上·山东青岛·期末）记数列的前项和为，，______.给出下列两个条件：条件①：数列和数列均为等比数列；条件②：.试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
(1)求数列的通项公式；
(2)记正项数列的前项和为，，，，求.
4．（21-22高三上·天津河西·期末）已知公差不为零的等差数列的前项和为，，，，成等比数列，数列满足，.
(1)求数列和通项公式；
(2)求的值；
(3)证明
压轴二：数列求和之裂项相加法（共6小题）
1．（23-24高二下·天津·期末）已知数列是递增的等差数列，是等比数列，，求，
(1)求数列和的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，若对恒成立，求实数m的取值范围；
(3)设，求的值.
2．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知正项数列的前项和为，且．
(1)求数列通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)若数列满足，求证：
3．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知数列满足，，且数列是等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
4．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
5．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，且.
(1)求的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
6．（23-24高二上·湖北武汉·期末）设数列的前项和为，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)已知数列，求数列的前项和．
压轴三：数列不等式中的恒（能）成立问题（共7小题）
1．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知等差数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
2．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知等差数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，且，若，求正整数的最小值．
3．（22-23高二下·天津·期末）已知数列的前项和为且；等差数列前项和为满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)设，若，对任意的正整数都有恒成立，求的最大值.
4．（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前n项和为，若恒成立，求实数的取值范围．
5．（22-23高三上·天津东丽·期末）若为等差数列，为等比数列，．
(1)求和的通项公式；
(2)对任意的正整数，设求数列的前项和．
(3)记的前项和为，且满足对于恒成立，求实数的取值范围．
6．（21-22高一下·四川广安·期末）已知数列中，，．
(1)证明数列为等差数列，并求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和；
(3)若存在，使得成立，求实数k的取值范围．
7．（21-22高二上·浙江杭州·期末）已知正项等比数列的前项和为，满足，.记.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列前项和，求使得不等式成立的的最小值.