专题09 数列求通项+求和（期末压轴）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点串讲（人教A版2019）

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1．数列的首项为，且满足，数列满足，且，则 .
【答案】/
【知识点】累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式、求等比数列前n项和
【分析】利用构造常数列法求，利用累加法求，然后可求得结果.
【详解】当时，有，即，
再由可得：，
所以是常数数列，首项，则，即，
再由可得：，，
由累加法得，
所以，，
当时，，满足，
所以，
则，
故答案为：.
2．已知数列的前项和为，且．若，则数列的通项公式为 ；若数列为等比数列，则 ．
【答案】
【知识点】利用an与sn关系求通项或项、由定义判定等比数列
【分析】将代入，先求，再利用求出数列的通项公式为即可；先求，再利用求出时数列的通项公式，根据为等比数列，即可求解.
【详解】因为，所以，
时，又，即，
时，，
，
检验：不符合上式，所以；
因为，时，又， 即
时，，
，
所以，，所以，
所以时，数列为等比数列，
又因为数列为等比数列，所以符合上式，
即，解得.
故答案为：；
3．在首项为1的数列中，则
【答案】
【知识点】累加法求数列通项、错位相减法求和
【分析】先用累加法求出，再用错位相减法求和结合即可解出.
【详解】因为，
所以，
，
，
，
以上各式相加得：，
令，①
，②
错位相减：有，，
即，
所以，
又因为，所以有，所以,
检验时，符合上式，所以.
故答案为：
4．已知数列满足，，则 ， .
【答案】 0 2023
【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、裂项相消法求和、累乘法求数列通项
【分析】分别令可求出；由可得，再由累乘法即可求出，代入可求出.
【详解】令可得：，所以，
令可得：，所以，
由可得：，
所以，
，
……，
，以上个式子相加可得：
，所以，
则.
故答案为：0；2023.
5．在数列中，，则通项公式 ．
【答案】
【知识点】累加法求数列通项、裂项相消法求和
【分析】利用累加法求数列的通项公式，同时右边求和时需要利用裂项相消法求和.
【详解】因为，即
则，
，
所以
，
即，
又因为，所以，
故答案为：
6．已知数列的前项和为，且，，则 .
【答案】
【知识点】分组（并项）法求和、求等比数列前n项和、累加法求数列通项
【分析】利用累加法求出数列的通项，再分组求和即可得解.
【详解】数列中，由，得当时，，
则，
显然满足上式，因此，
所以.
故答案为：
7．已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【知识点】利用an与sn关系求通项或项
【分析】代入，得出.根据求出的表达式，代入检验，即可得出答案.
【详解】当时，.
当时，.
因为，
所以，.
故答案为：.
二、解答题
8．已知，是函数的图象上的任意两点（可以重合），点M为AB的中点，且M在直线上．
(1)求的值及的值；
(2)已知，当时，，求；
(3)若在（2）的条件下，存在n使得对任意的x，不等式成立，求t的范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【知识点】分段函数的性质及应用、倒序相加法求和、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）利用中点坐标公式求出，将带入化简求出；
（2）利用倒序相加求和法求出；
（3）根据条件将不等式转化为求解.
【详解】（1）由题意设，
①当时，，，；
②当时，，
因为M为AB的中点，所以，
，
综合①②得，，.
（2）由（1）可得，当时，，
所以，
当时，
，③
，④
③+④得，则，
当时，满足，
所以.
（3）令，则，
因为存在n使得对任意的x，不等式成立，
所以，
由（2）得，则，
所以，即，
所以t的范围为.
9．已知数列的前项和为，且，函数对任意的都有，数列满足….
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列满足，是数列的前项和，是否存在正实数，对于任意，不等式，恒成立？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）.；（2）存在，
【知识点】由Sn求通项公式、倒序相加法求和、错位相减法求和
【分析】（1）由求，根据得，再有得即可求出的通项公式；由，根据倒序相加法可求.
（2）用分离参数法，根据（1）由得，令求出即可.
【详解】解：（1）即
当时，，
当时，，，即
是等比数列，首项为，公比为，.
，.
….
….
①+②，得，
（2），
…. ①
… ②
①－②得…
即.
要使得不等式恒成立，
恒成立
对于一切的恒成立，
即 ，令，
则
当且仅当时等号成立，故.
故的取值范围为.
【点睛】本题考查由求的通项公式，倒序相加法求通项公式以及分离参数法求参数的取值范围，综合性比较强.
10．已知数列中，，.
(1)求证：数列为等差数列，并求；
(2)求的前n项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、错位相减法求和
【分析】（1）利用等差数列的定义可证是等差数列，利用等差数列的通项公式可求；
（2）利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）因为，所以，
故，又，
即数列是以为首项，2为公差的等差数列，
故，
所以.
（2）依题意可得，
则，
两式相减可得
，
所以.
11．已知数列的前n项和为，且．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、构造法求数列通项
【分析】（1）由条件可得，，故可证明数列为等比数列.
（2）表示数列的通项公式，利用错位相减法可得结果.
【详解】（1）∵，
∴当时，，
两式相减得，，整理得，即，
令得，，，，
∴是以为首项，公比的等比数列.
（2）由（1）得，，，
∴.
，
，
两式相减得，
，
∴.
12．已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【知识点】写出等比数列的通项公式、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）令，求出的值，令，由可得，两个等式作差可推出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式；
（2）求得，利用错位相减法可求得.
【详解】（1）因为数列的前项和为，且，
则，可得，
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，且，
所以，数列是首项为，公比也为的等比数列，
所以，.
（2）因为，
所以，①，
则②，
②得
，
因此，.
13．已知数列的前项和为，，（）.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】写出等比数列的通项公式、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题
【分析】（1）由，得时，，相减得出数列的递推关系，再确定关系式对是否适用，得证其为等比数列，从而得通项公式；
（2）用错位相减法求得和，不等式恒成立，化为，
利用不等式法（最大项不比前后两项小）或作差法得出最大项，从而得参数范围．
【详解】（1）由，可得：
时，，两式相减可得：，所以，
时，，所以，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，的通项公式为
（2），.
，
，
两式相减得：，
所以，
因为恒成立，可得，
记，
法一：
令，则，解得，
则，即当时，取到最大值2，
可得，所以实数的取值范围.
法二：
，
时，，即，
时，，即，
则，即当时，取到最大值2，
可得，所以实数的取值范围
14．已知等比数列的公比，，是，的等差中项.等差数列满足，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)，求数列的前项和；
(3)将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】求等差数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、错位相减法求和
【分析】（1）根据给定条件，结合等比数列通项列出方程组求出，进而求出通项作答；
（2）利用错位相减法求和；
（3）利用（1）的结论，确定新数列前项中，数列所占项数，再借助等比数列、等差数列前n项和公式计算作答.
【详解】（1）依题有，
因为，解得：，，.
数列是等差数列，设其公差为，，
解得：，.
（2）数列的前项和记为，则，
因为，
所以，
，
两式相减有
，
所以.
（3）因为，，设新数列为，因为数列与数列都是递增数列，
且，，
又因为，
所以数列的前项由中的前项和中的前项构成，
所以

.
15．已知数列满足：，且，等差数列的公差为正数，其前项和为，，且、、成等比数列．
(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、由定义判定等比数列、裂项相消法求和、数列不等式恒成立问题
【分析】（1）由已知条件可得出，利用等比数列的定义可证得结论成立，确定数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式；
（2）设等差数列的公差为，由等差数列的求和公式可得出的值，结合已知条件求出的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式，利用裂项相消法求出，即可结论成立.
【详解】（1）由可得，且，
所以数列是公比和首项都为的等比数列，
所以，，故.
（2）设等差数列的公差为，且，
因为，可得，
因为、、成等比数列，即，
因为，解得，所以，
，
因为，
综上所述，对任意，.
16．已知公比大于1的等比数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)若，记 的前项和为，证明
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和
【分析】（1）根据等比数列的通项公式列方程组求解即可；
（2）利用裂项相消法证明即可.
【详解】（1）因为数列是等比数列，设公比为，
所以由题意可得，解得，
所以，即的通项公式为.
（2）由（1）得，则，
所以，
所以.
17．已知正项等比数列的前项和为且.
(1)求；
(2)求数列的前项的和.
【答案】(1)
(2)
【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、裂项相消法求和
【分析】（1）根据等比数列的性质可得，即可根据求解公比，进而可求解；
（2）利用等比求和公式可得，进而利用裂项相消法求和即可求解.
【详解】（1）设公比为，由可得，
又，解得或，
由于为正项数列，所以，故；
（2）由可得，
，
故
.
18．已知等比数列的各项均为正数，成等差数列，且满足，等差数列数列的前项和．
(1)求数列和的通项公式：
(2)设的前项和，求证：．
【答案】(1)，
(2)证明见详解
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和
【分析】（1）根据等差数列，等比数列的基本量运算列式求解；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和得证.
【详解】（1）由题，设数列的公比为（），的公差为，
由，即，
解得，，
又，即，
解得，.
所以数列的通项公式为，数列的通项公式为.
（2）由（1）得，，
所以
，
，，
所以.
19．已知数列是公差大于0的等差数列，其前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，其前项和为，则是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，.
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差中项的应用、裂项相消法求和
【分析】（1）根据题意建立关于的方程组，解方程组即可得解.
（2）先求的通项公式，然后再利用裂项相消求和法求得，根据等差中项定义得出等式关系，代入即可得出关于的等式关系，然后取值验证即可得解.
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，则，
解得：，，
于是有，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，
因此，.
假设存在正整数m，n，使得成等差数列，
则，
即，整理得，
显然是50的正约数，又，则或25，50.
当时，即时，与矛盾，
当时，即时，，符合题意，
当时，即时，无解
所以存在正整数使得成等差数列，此时.
20．设是等比数列，公比大于0，是等差数列.已知，，，.
(1)求和的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求的值；
(3)设其中，求.
【答案】(1)，，，
(2)
(3)
【知识点】利用定义求等差数列通项公式、写出等比数列的通项公式、错位相减法求和、裂项相消法求和
【分析】（1）根据等差数列以及等比数列定义计算即可求得其通项公式；
（2）由（1）中的结论可得，再利用裂项相消求和可得结果；
（3）根据的表达式，采用分组求和以及错位相减法计算可得结果.
【详解】（1）设数列的公比为，，数列的公差为，
因为且，所以，
解得或，又因为，所以，
所以，，
则，，
因为且数列是等差数列，
所以，，
又，所以，，
所以，，，
所以，.
所以数列的通项公式为，，数列的通项公式为，.
（2）由（1）可知
因此数列的前n项和为
即可得.
（3）由可知
所以，
其中，
记；
则，
两式相减可得，
可得，
即；
所以
21．已知数列的前n项和为，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和；
(3)证明：对于中任意项，在中都存在两项，，使得.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【知识点】写出等比数列的通项公式、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式能成立（有解）问题
【分析】（1）根据与的关系式计算即可；
（2）运用裂项相消计算即可；
（3）找出符合条件的，即可.
【详解】（1）当时，，解得.
当时，，
所以，即，
而，故，故，，
∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以.
（2）由（1）可得，
所以
所以.
（3）∵，，，，
则，
所以结论成立.
22．已知数列和数列，为数列的前项和，，，.
(1)求数列和数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和
【答案】(1)，；
(2).
【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）利用判断为等比数列，再求通项公式；又因为，解得，再证明为常数即可求解；
（2）由（1）得，然后利用裂项相消法即可.
【详解】（1）已知①，
当时，，得，
当时，②，
①-②得：，即，
又，，则，
所以是首项为，公比为的等比数列，则
因为，所以，
又由，得，
所以是首项为，公差为的等差数列，则，即
（2）由（1）得，
则
23．已知等差数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和
【分析】（1）设出等差数列的公差，结合已知条件列出方程，进而求出通项公式.
（2）由（1）的结论，利用分组求和法及等差、等比数列前项和公式求解即得.
【详解】（1）设等差数列的公差为，由，，
得，解得，
所以数列的通项公式为：.
（2）由（1）知，则
.
24．已知数列的前n项和为，，数列为单调递增等比数列，，且，，成等差数列.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）根据得到，再结合，即可得到为等差数列，从而求出其通项公式；设的公比为，依题意得到方程，求出，即可得解；
（2）利用分组求和法计算可得.
【详解】（1）因为,
即，
即，，又，
故为公差为，首项为的等差数列，
所以，
又，，成等差数列，故，
设的公比为，其中，
则，解得或，
当时，，此时，为递增数列，满足要求，
当时，，此时，为递减数列，舍去，
综上，，；
（2）由（1）可得，
所以
.
25．设数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【知识点】写出等比数列的通项公式、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）根据与关系，可得是等比数列，求得答案；
（2）由（1）求出，根据分组求和求得答案.
【详解】（1）因为，所以当时，，
所以，即.
当时，，解得，
则是首项为1，公比为3的等比数列，
故．
（2）由（1）可知当为奇数时，；
当为偶数时，.
当为奇数时，
，
当为偶数时，
.
综上，.
26．已知数列的前n项和为，数列满足，，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求使得成立的n的最小整数.（表示不超过x的最大整数）
【答案】(1)
(2)46
【知识点】由递推关系证明等比数列、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）根据和的关系可得，进而结合，利用递推关系易得，可得数列是以2为首项，2为公比的等比数列，进而求解即可；
（2）根据分组求和和等比数列的前项和公式可得，进而结合x的定义可得，进而结合题设求解即可.
【详解】（1）由，
则，
两式相减得，，
因为，且时，，又，解得；
当时，，
则，又，则，
即，即，，
又，则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
则，即.
（2）由（1）知，，
则
，
则，
则，，，，，，，
则，则，
则由，得，
即，又，则，
所以n的最小整数为46.
27．已知数列是等差数列，且恒成立，它的前四项的平方和为54，且这四项中首尾两数的积比中间两数的积少2．
(1)求的通项公式．
(2)若，，求数列的前100项和．
【答案】(1)；
(2)5150.
【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、分组（并项）法求和
【分析】（1）根据给定条件，建立首项、公差的方程，进而求出通项公式.
（2）由（1）求出，再利用并项求和法求解即得.
【详解】（1）设的首项为，公差为d，
依题意，，解得或，
由恒成立，得，
又，而，解得，
所以的通项公式.
（2）由（1）知，，
则，
所以.
28．已知数列满足：，且.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和、构造法求数列通项
【分析】（1）利用等比数列的定义求证即可；
（2）利用（1）的结论，可求得，利用分组求和的方法求和即可.
【详解】（1）由可得，
又，所以，
则，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）知，，
所以，
所以
.
29．已知数列的首项为，且满足.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设数列的前n项和为，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、求等差数列前n项和、数列求和的其他方法
【分析】（1）将递推数列变形，结合等差数列的定义，即可证明；
（2）由（1）的结果可知，再分别讨论为奇、偶的两种情况的前项和.
【详解】（1）因为，，
若，则，与矛盾，
所以，所以，
所以，因为，所以，
所以数列是以首项为2，公差为4的等差数列.
（2）由（1）知，
数列的前项和为，
所以，
设数列的前n项和为，
当n为偶数时，，
因为，
所以，
当为奇数时，为偶数.
，
所以
30．记为数列的前n项和，已知，，数列满足：，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和的最值.
【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、数列求和的其他方法、利用an与sn关系求通项或项、数列综合
【分析】（1）由知为等差数列，然后求出的通项公式，利用化简，得到与关系，求出数列的通项公式.
（2）对化简，分n为奇数和偶数，求出数列的前n项和，从而确定最值.
【详解】（1）因为，所以为等差数列.
因为，，所以.
所以数列的首项为1，公差为，所以.
所以，即.
当时，，
所以，化简可得.
所以，所以数列是常数列，即，
所以.
（2）由（1）可知.
所以
.
当n为奇数时，，是关于n单调递减的数列，所以，即；
当n为偶数时，，是关于n单调递增的数列，所以，即.
所以的前n项和的最大值为，最小值为
31．已知数列的前项和为，数列是以为首项，为公差的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【知识点】由Sn求通项公式、数列求和的其他方法
【分析】(1)根据题意求出,再由即可写出的通项公式；
(2)根据的通项公式，找到其正负临界的值，去掉绝对值符号再求和.
【详解】（1）设等差数列的首项为,公差为，
则，所以
当时，
又也符合上式，
故数列的通项公式为.
（2）当时，，数列的前n项和；
当时，，
数列的前n项和
，
.
综上所述：
32．已知数列的前项和为，对于任意满足，且，数列满足，，其前项和为.
（1）求数列、的通项公式；
（2）令，数列的前项和为，求证：对于任意正整数，都有；
（3）将数列、的项按照“当为奇数时，放在前面”，“当为偶数时，放在前面”的要求进行“交叉排列”得到一个新的数列：、、、、、、、、求这个新数列的前项和.
【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）.
【知识点】由Sn求通项公式、写出等比数列的通项公式、错位相减法求和、数列求和的其他方法
【分析】（1）由题意可知数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求出数列的通项公式，可求出，再由可求出数列的通项公式，由等差中项法可知数列为等差数列，从而可得出数列为等比数列，且设该等比数列的公比为，结合题中条件求出和的值，即可求出数列的通项公式；
（2）利用错位相减法求出数列的前项和，即可证明出；
（3）求出数列的前项和，对进行分类讨论，利用等差数列和等比数列的求和公式可得出.
【详解】（1）且，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，，.
当时，.
也适合上式，所以，.
，即，
所以，数列为等差数列，设其公差为，则，
，所以，数列是正项等比数列，设其公比为，则.
由题意可得，解得，
因此，；
（2），
，①
则，②
①②得，
化简得；
（3）数列的前项和为，
数列的前项和为，
①当时，；
②当时，，
特别地，当时，也适合上式；
③当时，.
综上所述，.
【点睛】本题考查了等差数列的定义、利用前项和求通项、等比数列通项的求解、错位相减法，同时也考查了新定义的求和问题，考查计算能力与推理能力，属于中等题.