高二数学上学期期末考前终极刷题01（高频选填专练）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点串讲（人教A版2019）

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1．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵中，，若，，直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】线面角的向量求法、空间向量与立体几何
【分析】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法与同角三角函数的基本关系可求得直线与平面所成角的余弦值.
【详解】在堑堵中，平面，，，，
以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、A1,0,0、，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，则，
所以，
因此，直线与平面所成角的余弦值为．
故选：A．
2．正四面体中，，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】异面直线夹角的向量求法
【分析】根据向量法求得异面直线所成角的正弦值，在正方体中截取正四面体，根据坐标得到向量，即可求解.
【详解】从正方体中可截取一个正四面体，设正方体的边长为，根据正方体的性质建立空间直角坐标系如图所示：
，，
所以，
则，
因为，
所以，则，，
根据，
则，
所以异面直线PQ与BD所成角的正弦值为.
故选：D.
3．如图，在直三棱柱中，为线段的中点，为线段上一点，则面积的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】点到直线距离的向量求法
【分析】利用向量法求出到的距离的范围后可求面积的范围.
【详解】
由直三棱柱可得平面，而，
故建立如图所示的空间直角坐标系，，
设，其中，故，
而，，
故到直线的距离为，
因为，故，故，
故选：B.
4．正方体中，点M是上靠近点的三等分点，平面平面，则直线l与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】求异面直线所成的角、面面平行证明线线平行、异面直线夹角的向量求法
【分析】先根据面面平行性质定理得出交线l,再结合空间向量法求异面直线的余弦值.
【详解】因为是正方体，所以平面平面,
平面平面,平面平面,
所以,是靠近的三等分点，
所以,
平面平面即是,
如图建立空间直角坐标系,设正方体边长为3，
则
设直线l与所成角为
.
故选：D.
5．如图，在棱长为2的正方体中，已知，，分别是棱，，的中点，为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】空间位置关系的向量证明、立体几何中的轨迹问题
【分析】以为坐标原点，，，所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，由空间向量的位置关系可证得平面，可得点的轨迹为圆，由此即可得．
【详解】解：以为坐标原点，，，所在直线分别为、、轴，
建立空间直角坐标系，，，，，，
故，，
，设平面的法向量为m=x,y,z，
则，
令得，，故，
因为，故平面，
为平面上的动点，直线与直线的夹角为30°，
平面，设垂足为，以为圆心，为半径作圆，
即为点的轨迹，其中，
由对称性可知，，故半径，
故点的轨迹长度为.
故选：C.
6．若方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、根据直线的方向向量求直线方程
【分析】根据直线的方向向量得出斜率，设点斜式方程，再由圆心到直线距离等于半径求解.
【详解】由直线的方向向量为知，直线的斜率，
设直线方程为，
则由直线与圆相切知，圆心到直线的距离，
解得或，
所以直线的方程为或，
即或，
故选：B
7．设有一组圆，若圆上恰有两点到原点的距离为1，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围
【分析】由题意将问题转换成圆与圆有两个交点即可求解.
【详解】圆，其圆心为，半径为．
因为圆上恰有两点到原点的距离为1，所以圆与圆有两个交点．
因为圆心距为，所以，解得．
故选：B
8．已知直线与圆相交于两点，，则（ ）
A．0或1B．1或C．1或2D．0或2
【答案】D
【知识点】求点到直线的距离、已知圆的弦长求方程或参数
【分析】根据直线与圆相交，利用垂径定理可求参数的值.
【详解】
设圆心C0,1到直线的距离为，
则.由，得，
解得或.
故选：D
9．已知，，则的最小值等于（ ）
A．B．6C．D．
【答案】D
【知识点】用两点间的距离公式求函数最值、求点到直线的距离
【分析】令，，得到点，分别在直线，上，设线段的中点为，则，且点在直线上，将所求问题，转化为点到原点的距离的倍，根据点到直线距离公式，即可求出结果.
【详解】令，，由已知可得点，分别在直线，上，
设线段的中点为，则，
到原点的距离，
依题意点在直线上，
所以点到原点的最小距离即为原点到直线的距离，为，
因此的最小值为，因此的最小值等于.
故选：D.
10．已知直线与直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【知识点】已知直线垂直求参数、既不充分也不必要条件
【分析】由，计算得或，即可判断.
【详解】因为，
所以，
解得或，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过上顶点作直线交椭圆于另一点.若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】先根据椭圆的定义确定中各边的长度，再结合，用余弦定理列式，化简可求椭圆的离心率.
【详解】如图：

因为的周长为，，，所以，.
又，
所以.
所以椭圆的离心率为.
故选：C
12．已知椭圆的右焦点是，直线交椭圆于、两点，则周长的最大值为（ ）
A．6B．8C．D．
【答案】B
【知识点】求椭圆中的弦长、求椭圆中的最值问题
【分析】设椭圆的左焦点为，连、，对的周长运用三角形不等式即可.
【详解】解：原点到直线的距离，
故直线为圆的切线，
设椭圆的左焦点为，连、，
则的周长，
当且仅当直线过左焦点时取到等号.
故选：B．
13．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若，则（ ）
A．B．C．D．4
【答案】A
【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据双曲线方程求a、b、c
【分析】根据双曲线的对称性及定义，求出、长度，由直角三角形求解可得解.
【详解】如图，
因为双曲线，所以，
由双曲线的对称性知，
所以，
由双曲线定义可得，
所以，又，
所以，即，
所以,
故，
故选：A
14．已知是抛物线上的动点，则点到直线的距离的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】求抛物线上一点到定直线的最值
【分析】设点的坐标为，利用点到直线的距离公式结合二次函数的最值可求得点到直线的距离的最小值.
【详解】设点的坐标为，
则点到直线的距离为，
当且仅当时，取最小值.
所以，点到直线的距离的最小值是.
故选：D.
15．抛物线的焦点为，准线与轴的交点为．过点作直线与抛物线交于两点，其中点A在点B的右边．若的面积为，则等于（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】D
【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题
【分析】先由题得直线斜率必存在且，故由对称性不妨设得A和B在第一象限，过作轴交于点，则根据题意可得结合点，然后利用结合条件条件即得.
【详解】由题可知，，直线斜率必存在，且，
由对称性不妨设，则A和B在第一象限，
因为，所以，过作轴交于点，
则，即，
又点在上，所以即，
代入得，
整理得，即，
所以或，此时或，
因为A和B在第一象限，所以，故，

所以
，
所以即.
故选：D.
【点睛】思路点睛：由图的结构特征可知，所以解决本题的方向是求出点A和B，先由题得直线斜率必存在，且，故由对称性不妨设得A和B在第一象限，过作轴交于点，则由得，再结合点在上计算整理得或，进而由A和B在第一象限求出点A和B.
16．已知双曲线：（，）的右焦点为，左、右顶点分别为，，点在上且轴，直线，与轴分别交于点，，若（为坐标原点），则的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程
【分析】由题意求出直线和直线的方程，分别令，可求出，结合代入化简即可得出答案.
【详解】由题意知，因为轴，
所以令，可得，解得：，设，
直线的斜率为：，
所以直线的方程为：，
令可得，所以，
直线的斜率为：
所以直线的方程为：，
令可得，所以，
由可得，解得：,
所以，解得：，即
所以的渐近线方程为，
故选：C.
17．定义：对于数列，若存在，使得对一切正整数，恒有成立，则称数列为有界数列．设数列的前项和为，则下列选项中，满足数列为有界数列的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】求等比数列前n项和、裂项相消法求和、分组（并项）法求和、数列新定义
【分析】对于A：根据题意结合等差数列求和公式分析判断；对于B：根据题意结合裂项相消法判断；对于C：根据题意结合并项求和法分析判断；对于D：根据题意结合等比数列求和公式分析判断.
【详解】对于选项A：因为为等差数列，则，
可知对任意，当时，，
不满足有界数列的定义，故A错误；
对于选项B：因为，
则，
可知对任意，当时，，
不满足有界数列的定义，故B错误；
对于选项C：当为偶数时，，
可知对任意，当时，，
不满足有界数列的定义，故C错误；
对于选项D：可知数列是以首项、公比均为的等比数列，
则，
可知当时，，符合有界数列的定义，故D正确；
故选：D.
18．等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．3D．12
【答案】A
【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列前n项和的其他性质
【分析】按与两种情况分类讨论，根据等比数列前项和公式进行求解即可.
【详解】设等比数列的公比为，当时，，不合题意；
当时，等比数列前项和公式，
依题意，得：，解得：.
故选：A
19．记正项数列的前项积为，已知，若，则的最小值是（ ）
A．999B．1000C．1001D．1002
【答案】C
【知识点】由递推关系式求通项公式
【分析】由数列的前项积满足，可求得是等差数列，并求得的通项，
进而得到的通项，再由，即可求得正整数的最小值.
【详解】∵为正项数列的前项积， ，
∴当时，，
时，，又，
∴，即，
∴是首项为3，公差为2的等差数列，且.
由，得
若，则，∴
所以，正整数的最小值为1001.
故选：C.
20．已知数列满足，，，若数列的前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】利用定义求等差数列通项公式
【分析】先求得数列的通项公式，进而可得，进而分为偶数与奇数两种情况求得，进而可得，求解即可.
【详解】因为数列满足，，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
所以，
当为偶数时，
，
当为奇数时，
，
因为不等式恒成立，即，
所以，所以，所以
解得，所以的取值范围为.
故选：D.
21．已知定义在上的函数是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式
【分析】构造函数，由导数确定单调性，将已知不等式转化为关于不等式，然后利用单调性即可求解．
【详解】设，则 ，
因为，，所以，可得在上单调递减，
不等式，即，即，所以，
因为在上单调递减，所以，解得：，
所以不等式的解集为：，
故选：D
22．已知，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式
【分析】首先确定函数的定义域，利用奇偶性定义和导数可确定的单调性，根据单调性可将所求不等式化为自变量大小关系的比较，结合函数定义域可构造不等式组求得结果.
【详解】由得：，的定义域为；
，为定义在上的偶函数，
，，
当时，，即，又，，
，在上单调递增，又为偶函数，
图象关于轴对称，在上单调递减，
由得：，解得：，
的解集为.
故选：D.
23．已知函数在处取得极大值，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【知识点】根据极值点求参数
【分析】根据极值点求参数，再由所得参数验证在处是否取得极大值，即可得答案.
【详解】由题设，则，可得或，
当时，
当或时，则在和上递增，
当时，则在上递减，
此时在处取得极小值，不符；
当时，
当或时，则在和上递增，
当时，则在上递减，
此时在处取得极大值，符合；
综上，.
故选：C
24．已知函数存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】分段函数的性质及应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、已知函数最值求参数
【分析】根据分段函数分别应用复合函数单调性及导数求解单调性，分段求解函数值范围及最值再比较列不等式关系即可.
【详解】当时，函数单调递减，无最小值；
当时，函数
当时，函数，
所以单调递增，当时，
要使函数存在最小值，即.
故选：C.
25．已知函数，关于的不等式有且只有三个正整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据函数的单调性解不等式
【分析】根据题意，求导可得，即可得到当时，恒成立，将原不等式化简可得，然后分与讨论，代入计算，即可得到结果.
【详解】函数的定义域为R，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
则，而，故当时，恒成立，
不等式，
当时，或，由，得，
原不等式的整数解有无数个，不符合题意；
当时，或，由，得，无正整数解，
因此原不等式有且只有3个正整数解，等价于不等式有且只有3个正整数解，
3个正整数解只能是，因此，即，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
26．设是函数的导数，，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】由对称性研究单调性、函数对称性的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式
【分析】令，求导，得到在上单调递增，且，由得到，得到的对称性，故在上单调递减，且，得到当时，，则，当时，，则，求出成立的的取值范围.
【详解】令，则，
因为时，，故当时，，
故在上单调递增，且．
因为，故，
即，所以，
故关于直线对称，故在上单调递减，且，
当时，，则；
当时，，则；
所以使得成立的的取值范围是.
故选：C．
27．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，若，，，则a,b,c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系
【分析】依题构建函数，判断函数的单调性和奇偶性，再利用抽象函数单调性比较函数值大小即得.
【详解】令，由是定义在上的奇函数，
可得是定义在上的偶函数，
又因为时，，
所以在上是减函数，所以是定义在上的增函数，
构建，则，
可知在内单调递增，则，可得；
构建，则，
可知在内单调递增，则，可得；
由，可得，
故，所以；
设，则，
所以在单调递增，
故，所以，即
所以，所以，
故选：D
【点睛】方法点睛：构造函数比大小问题，比较两个数大小的方法如下：
①将两个数恒等变形，使两数有共同的数字，
②将看成变量，构造函数，
③分析包含的某个区域的函数单调性，
④根据函数单调性比较大小.
28．已知函数（），若时，在处取得最大值，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】已知函数最值求参数、利用导数研究函数的零点
【分析】利用多次求导及分类讨论判定函数的单调性及最值即可.
【详解】∵，令，
∴，
当时，此时在上单调递增；
当时，此时在上单调递减.
由，故可大致作出的图象如下，
∴，
∴当时，，f'x≥0，在R上单调递增，不成立；
当时，，在0,2上单调递减，成立；
当时，有两个根（），
当时，，f'x>0，
当时，，f'x0恒成立，得在0,2上递增，则无极值点；
对于C选项，由可知点1,f1为曲线y=fx的对称中心；
对于D选项，假设存在实数，则，可推得无实数解，故假设不成立，即可判断.
【详解】对于A选项，函数的定义域为0,2，
当时， ，当时， ，
由函数零点的存在性定理可知至少有一个零点，故A正确；
对于B选项，，
当时，恒成立，
所以在0,2上递增，则无极值点，故B错误；
对于C选项，
，
所以对任意实数，点1,f1为曲线y=fx的对称中心，故C正确；
对于D选项，假设存在实数，使得的图像与轴切于点，
则，得，消去得，
设，则，
因为，故，
所以无实数解，故假设不成立，
则对任意实数，轴一定不是函数图象的切线，故D正确．
故选：ACD．
46．已知函数，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则在0,1上单调递减
D．若，则在上单调递增
【答案】ACD
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、已知函数最值求参数
【分析】由，可得是的极小值点，即可判断AB；求导，再根据导函数的符号即可判断CD.
【详解】对于AB，，
因为，所以是的极小值点，
则，解得，
此时，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故A正确，B错误；
对于C，若，则，
当时，，所以在上单调递减，故C正确；
对于D，若，则，
当时，，所以在上单调递增，故D正确.
故选：ACD.
47．已知三次函数有极小值点，则下列说法中正确的有（ ）
A．
B．函数有三个零点
C．函数的对称中心为
D．过可以作两条直线与的图象相切
【答案】ACD
【知识点】判断或证明函数的对称性、求过一点的切线方程、利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数
【分析】根据题意可得，即可判断A；求出函数的单调区间及极值，即可判断B；求出即可判断C；设出切点，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点求出切点，即可判断D.
【详解】，
因为函数有极小值点，
所以，解得，
所以，，
当或时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又
所以函数仅有个在区间上的零点，故A正确，故B错误；
对于C，由，
得，
所以函数的图象关于对称，故C正确；
对于D，设切点为，则，
故切线方程为，
又过点，所以，
整理得，即，
解得或，
所以过可以作两条直线与的图象相切，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
48．在正方体中，点P、Q分别在、上，且，，则异面直线与所成角的余弦值为
【答案】45/0.8
【知识点】异面直线夹角的向量求法
【分析】以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值.
【详解】设正方体中棱长为3，
以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，，
设异面直线与所成角为，则.
即异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
49．在正四棱柱中，底面边长为1，高为3，则异面直线与AD所成角的余弦值是 .
【答案】
【知识点】异面直线夹角的向量求法
【分析】连接，即为异面直线与AD所成的角，解三角形即可．
【详解】，即为异面直线与AD所成的角，

连接，在中，
正四棱柱的底面边长为1，高为3，
，
，，
∴，，
.
故异面直线与AD所成角的余弦值是．
故答案为：．
50．已知正方体的棱长为1，是棱的中点，为棱上的动点（不含端点），记㫒面直线与所成的角为，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】复合函数的最值、异面直线夹角的向量求法、求异面直线所成的角
【分析】方法1：通过作平行线找出异面直线AB与EG所成角，设，在直角三角形中用x表示出，将问题转化为求在上的值域即可.
方法2：建立空间直角坐标系，运用坐标法求得异面直线AB与EG所成角的余弦值的范围，进而求得其正弦值的范围即可.
【详解】方法1：取的中点N，连接，如图所示，

则，面，
所以异面直线AB与EG所成角即为，，
设，（），
所以，
又因为，
所以，
所以，即： .
方法2：如图所示建立空间直角坐标系，

则，，，，
所以，，
所以，（），
又因为当时，；当或时，，
所以，
又因为，
所以.
故答案为：.
51．若过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，且，则 ．
【答案】2或4
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、切线长
【分析】根据圆的切线性质可求出相关线段的长，利用，即可求出答案.
【详解】如图，记圆的圆心为与交于点，圆的半径为r，
由题意可得，
，所以，
即，解得或16，即或4，
经检验，都满足题意．
故答案为：2或4
52．点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】求点关于直线的对称点、点与圆的位置关系求参数
【分析】根据题意利用轴对称的性质算出对称点Q的坐标，结合点Q在已知圆的内部，建立关于的不等式，解出实数的取值范围．
【详解】设与关于直线对称，则，解得，即，
因为在圆的内部，
所以，解得，即实数的取值范围是．
故答案为：．
53．设双曲线（）的右顶点为F，且F是抛物线的焦点．过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，满足，若点A也在双曲线C上，则双曲线C的离心率为 ．
【答案】/
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据抛物线方程求焦点或准线、求直线与抛物线的交点坐标
【分析】求出直线的方程，与抛物线方程联立求出点坐标，再结合已知求出双曲线的离心率.
【详解】抛物线的焦点，直线不垂直于轴，设其方程为，
由消去得：，设，则，
由，得，由对称性不妨令点在第一象限，解得，，
由点在双曲线上得，，又，解得，
所以双曲线C的离心率.
故答案为：

54．已知点为椭圆的右焦点，直线与椭圆相交于，两点，且与圆在轴右侧相切.若经过点且垂直于轴，则 ；若没有经过点，则的周长为 .
【答案】 ；
【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的周长问题
【分析】当直线经过点且垂直于轴时，线段，当直线不经过点时由圆与直线相切的位置关系计算可得结果.
【详解】设，易知长半轴长，离心率；
设与圆相切于点，若垂直于轴，此时与重合，则有，
所以，得，
此时直线，将代入得，所以.
若没有经过点，设Ax1,y1，Bx2,y2，
由椭圆性质和题意可知，，所以，
.
由椭圆方程得，
代入上式有.
，
则，
同理，所以的周长.
故答案为：，.
55．已知椭圆（）的长轴长为4，离心率为.若，分别是椭圆的上、下顶点，，分别为椭圆的上、下焦点，为椭圆上任意一点，且，则的面积为 .
【答案】
【知识点】数量积的坐标表示、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积
【分析】先根据长轴及离心率列式求出a,b,c得出椭圆方程，再设点应用数量积得出点P的坐标，最后计算面积即可.
【详解】因为,
所以,
所以椭圆方程为,
设,椭圆的上、下顶点,
所以且，
所以，
所以
即得.
故答案为：.
56．如图，已知分别是双曲线的左、右焦点，分别为双曲线的左支、右支上异于顶点的点，且.若，则双曲线的离心率为

【答案】
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】延长与双曲线交于另一点，连接.因为，所以根据对称性可得四边形是平行四边形，则，根据双曲线的定义及余弦定理建立等量关系求解即可.
【详解】延长与双曲线交于另一点，连接.

因为，所以根据对称性可得四边形是平行四边形，
则.
设，则.
根据双曲线的定义可得，则，
所以.
在中，根据余弦定理可得，得.
在中，由，得，
则双曲线的离心率为.
故答案为：
57．设等差数列的前n项和为，若，则的公差 ．
【答案】3
【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和
【分析】利用等差数列的性质，结合，可得，与相减可求公差的值.
【详解】由，
所以公差.
故答案为：3
58．在正项等比数列中，，记，其中表示不超过的最大整数，则 ．
【答案】
【知识点】求等差数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】设等比数列的公比为，由计算出，然后根据，计算即可.
【详解】设等比数列的公比为．
由题意知，，
整理得，解得或（负值舍去），
故．
所以．
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
故．
故答案为：.
59．若在上单调递减，则实数的最大值为 ．
【答案】/
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】由题意可知在上恒成立，分离参数，令，由基本不等式求出的最小值，即可得出答案.
【详解】因为在上单调递减，
所以在上恒成立，所以在上恒成立，
所以在上恒成立，令，
则，
当且仅当，即时等号成立，所以，
故实数的最大值为.
故答案为：.
60．已知，且是函数的极大值点，则的取值范围为 .
【答案】
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数极值点的辨析、根据极值点求参数
【分析】根据函数导数，分区间讨论a的取值范围，验证是否为函数的最大值即可得解.
【详解】.
令，易知在上单调递增，.
当时，，则存在，使得，
此时，当，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
是函数的极大值点；
当时，则存在，使得，当时，
，函数单调递减，当时，，
函数单调递增，不符合是函数的极大值点；
当时，，故，，
函数在上单调递增，不符合是函数的极大值点.
综上，的取值范围为0,1.
故答案为：0,1
61．已知函数的极小值点为2，则的极大值点为 ．
【答案】3
【知识点】根据极值点求参数、求已知函数的极值点
【分析】求导函数，令，由极值点的定义得，方程必有一根为2，且2是的极小值点，结合函数单调性可得答案.
【详解】由题意，，
因为函数的极小值点为2，
所以，
即，解得，
则，
令，则或，
因为，函数的极小值点为2，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
从而，所以，
由，故，
所以的极大值点为.
故答案为：3.
62．若不等式对任意恒成立，则实数的最大值为 ．
【答案】3
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】根据给定条件，分离参数并构造函数，再求出函数的最小值得解.
【详解】当时，恒成立，当时，，
令，求导得，
当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，则，
所以实数的最大值为3.
故答案为：3
63．已知函数，则关于的不等式的解集为 .
【答案】,或
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式
【分析】判断出函数的奇偶性，利用导数判断出单调性，利用奇偶性、单调性可得答案.
【详解】x∈R，，
所以为奇函数，
，
当且仅当等号成立，
所以在x∈R上单调递减，
由得，
可得，解得，或，
所以不等式的解集为,或.
故答案为：,或.
64．若实数，满足，则 .
【答案】
【知识点】对数的运算、由导数求函数的最值（不含参）、基本不等式求积的最大值
【分析】先利用对数的运算法则进行化简，，右边使用不等式，根据不等式的传递性，，换元后利用函数的单调性得，所以只能，再根据取等条件求出即可.
【详解】，
，即，
根据不等式得，，
令，所以，
因为，所以.
，，
所以，单调递增，单调递减，
所以，即，，
所以只能，即，
所以，当成立，即，
所以.
故答案为：.
65．已知函数，则不等式的解集为 .
【答案】
【知识点】判断或证明函数的对称性、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式
【分析】要先证明函数的中心对称性，即，这样原不等式就可以化为，再用求导来证明单调递增，从而就可以解出结果.
【详解】由已知得：，
所以，即
则不等式等价于，
再由，
可得在上单调递增，所以，解得，
故答案为：.