2024-2025学年九年级上学期数学期末模拟试卷（苏科版+含答案解析）

这是一份2024-2025学年九年级上学期数学期末模拟试卷（苏科版+含答案解析），共28页。试卷主要包含了考试时间，测试范围，已知O为的外心，，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．考试时间：120分钟，试卷满分：120分。本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：九年级数学上册+下册（苏科版）。
一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．方程x2-2x=0的根是（ ）
A．x=2 B．x=0 C．x1=-2，x2=0 D．x1=2，x2=0
2．一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个座位上，则A与B不相邻而坐的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．小明调查了班里40名同学一周的体育锻炼情况，结果如图所示．该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）
A．16小时15小时B．8小时、9小时C．10小时、8.5小时D．8小时、8.5小时
4．如图，是的直径，，点D是上一点，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在平面直角坐标系网格中，点都在格点上，过点的抛物线可能经过的点是（ ）
A．点B．点C．点D．点
6．如图，在中，，，D为上一点，且，在上取一点E，若以A、D、E为顶点的三角形与相似，则的长为（ ）
A．8B．C．8或D．8或
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
7．如图，乐器上的一根琴弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，则之间的距离为．
8．飞机着陆后滑行的距离与滑行的时间之间的关系式为，则飞机滑行停下．
9．已知O为的外心，，则．
10．已知是方程的两根，则代数式的值是．
11．在某次演讲比赛中，演讲最终得分按照“演讲内容占”、“语言表达占”、“形象风度占”进行计算，小亮同学这三项的得分依次为90，86，95，则小亮同学的最终得分是分．
12．如图所示的抛物线过原点，将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的函数表达式为．
13．如图，某圆锥形山峰，圆锥底面半径为，母线长为，欲从A处修一条最近的盘山公路到景点B（B位于母线的中点处），那么这条盘山公路的长度是．
14．如图，在中，，，，的半径为2，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则线段长的最小值为．
15．定义：由a，b构造的二次函数叫作一次函数的“滋生函数”，一次函数叫作二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数的“滋生函数”是，则二次函数的“本源函数”是．
16．如图，正方形的边长为，以AB边上的动点为圆心，为半径作圆，将沿翻折至，若过一边上的中点，则的半径为．
三、解答题（本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸）
17．（本小题8分）解方程：
（1）；（2）．
18．（本小题8分）已知二次函数的图象经过，且它的顶点坐标是．
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）判断点是否在这条抛物线的图像上．
19．（本小题6分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明“．小李同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（小雪）、B（寒露）、C（秋分）、D（立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀．
（1）小李从中随机抽取一张邮票，抽中是B（寒露）的概率是．
（2）小李先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树状图或列表的办法求小李两次抽取的邮票中至少有一张是D（立秋）的概率．
20．（本小题8分）的迅猛发展在多个领域影响着我们的生活．某校七、八年级利用课余时间举办了人工智能知识竞赛活动，并从七、八年级各随机抽取了10名学生代表的成绩（满分：5分）进行了整理、描述和分析，相关信息如下．
a．七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人．
b．七年级10名学生代表成绩的条形统计图（尚不完整），八年级10名学生代表成绩的扇形统计图及七、八年级学生代表成绩的平均数与方差对比表格如下．
请根据以上信息，详解下列问题．
（1）学生代表成绩比较整齐的是年级．（填“七”或“八”）
（2）补全条形统计图．
（3）若共有400名学生参与竞赛，根据七年级和八年级学生代表的成绩，请估计参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数．
21．（本小题8分）如图，在和中，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
22．（本小题8分）某商场将进货单价为20元的日用商品以销售单价35元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种商品的销售单价每上涨1元，其销售量就将减少10个，为了实现平均每月14 000元的销售利润，商场决定采取调控价格的措施，扩大销售量，减少库存，这种商品的销售单价应定为多少元？
23．（本小题8分）如图是小明家新房客厅地面，地上铺了大小相同的矩形地板砖，小明的妈妈想在靠墙处摆一组沙发，沙发的长是客厅长的三分之一，为了美观，沙发必须摆在矩形的中央，于是小明妈妈要把沙发摆放到的三等分点处．当时妈妈没有直尺，不能度量，聪明的小明灵机一动，他用一根绳索连接，交于点P，则P即是的三等分点．
（1）请仿照小明的方法，找出线段的另一个三等分点；
（2）请你证明：P是的三等分点．
24．（本小题8分）已知二次函数（是常数）．
（1）求证：该二次函数的图象与轴一定有两个交点；
（2）若点在该二次函数的图象上，且点在第四象限，该二次函数的图象与轴交于点，求点与点之间的距离．
25．（本小题8分）阅读与思考
任务一：
（1）材料中的依据是指__________________；
（2）选择②或③其中一个定理加以证明；
任务二：应用：
（3）如图2，正方形中，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作于点F，连接，证明：．
26．（本小题9分）如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为．
（1）求k的值；
（2）点M是线段上的动点，将点M向上平移（）个单位得到点N，若点N在二次函数的图象上，求h的最大值；
（3）在（2）的条件下，若，线段与二次函数的图象有公共点，求点M的横坐标m的取值范围．
27．（本小题9分）新定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，则称这个三角形为比例三角形．例如：三边的长分别为，，．因为，所以是比例三角形．
【问题提出】
（1）已知是比例三角形，，，求的长；
【问题探究】
（2）如图1，P是矩形的边上的一动点，平分，交边于点Q，．
①求证：；
②求证：是比例三角形．
【问题延伸】
（3）如图2，在（2）的条件下，当，时，点C与点Q能否重合？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理，定理内容为：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
如图1，在中，，是斜边上的高，则有如下结论：①；②；③．
下面是该定理的证明过程（部分）：
是斜边上的高，
．
，
，
（依据），
，
即．
参考答案
一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．方程的根是（ ）
A．B．
C．，D．，
【答案】D
【详解】解：由x2-2x=0得x（x-2）=0，∴x -2=0或x=0，解得x1=2，x2=0 故选：D．
2．一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个座位上，则A与B不相邻而坐的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：如图，
根据图可知：以B，C，D随机而坐的结果数共有6种，其中A与B不相邻而坐的结果有2种，
∴A与B不相邻而坐的概率为：．
故选：A．
3．小明调查了班里40名同学一周的体育锻炼情况，结果如图所示．该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）
A．16小时15小时B．8小时、9小时
C．10小时、小时D．8小时、小时
【答案】B
【详解】解：根据题意，可知这一组数据中出现次数最多的数是8，即该组数据的众数为8；
将这组数据从小到大的顺序排列，处于第20，21位两个数分别为9，9，
所以，这组数据的中位数是．
故选：B．
4．如图，是的直径，，点D是上一点，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：连接，
∵是的直径，
∴，
又∵，
由圆周角定理可得：，
∴，
故选：C．
5．如图，在平面直角坐标系网格中，点都在格点上，过点的抛物线可能经过的点是（ ）
A．点B．点C．点D．点
【答案】D
【详解】解：∵抛物线过点，
∴，即，
∵，
∴，
A.若抛物线过点，则，得，与矛盾，故选项A不符合题意；
B.若抛物线过点，则，与不相符，故选项B不符合题意；
C.若抛物线过点，则，得，与矛盾，故选项C不符合题意；
D.若抛物线过点，则，得，代入，得，与相符，故选项D符合题意；
故选：D．
6．如图，在中，，，D为上一点，且，在上取一点E，若以A、D、E为顶点的三角形与相似，则的长为（ ）
A．8B．C．8或D．8或
【答案】C
【详解】解：当时，如图1，
，
，，，
，
，
；
当时，如图2，
，
，，，
，
．
综上，的长为8或．
故选：C．
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
7．如图，乐器上的一根琴弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，则之间的距离为．
【答案】
【详解】解：弦，点是靠近点的黄金分割点，设，则，
，解方程得，，
点是靠近点的黄金分割点，则，
，之间的距离为，
故答案为：．
8．飞机着陆后滑行的距离与滑行的时间之间的关系式为，则飞机滑行停下．
【答案】20
【详解】解：，
∴当时间为时，滑行了，
∴飞机滑行了停下，
故答案为：．
9．已知O为的外心，，则．
【答案】或
【详解】解：当圆心与点在的同侧时，如图，
；
当圆心与点在的两侧时，如图，
延长交于点，连接，
，
．
四边形为圆的内接四边形，
．
．
综上，或．
故答案为：或
10．已知是方程的两根，则代数式的值是．
【答案】
【详解】解：∵是方程的两根，
∴，，，
即
∴
，
故答案为：．
11．在某次演讲比赛中，演讲最终得分按照“演讲内容占”、“语言表达占”、“形象风度占”进行计算，小亮同学这三项的得分依次为90，86，95，则小亮同学的最终得分是分．
【答案】
【分析】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的运算是解题的关键．利用加权平均数公式求解即可．
【详解】解：小亮同学的最终得分是：（分）．
故答案为：．
12．如图所示的抛物线过原点，将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的函数表达式为．
【答案】
【详解】解：根据图象可知，二次函数的顶点坐标为，
∴设图中二次函数解析式为：，
∵二次函数图象过原点，
∴把代入得：，
解得：，
∴图中二次函数解析式为y=x-12-1，
∴将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的函数表达式为：
．
故答案为：．
13．如图，某圆锥形山峰，圆锥底面半径为，母线长为，欲从A处修一条最近的盘山公路到景点B（B位于母线的中点处），那么这条盘山公路的长度是．
【答案】
【详解】解：如图，将圆锥展开得展开图，为的中点，连接，则是这条盘山公路的长度，设展开图的圆心角为．
∴，
∵圆锥的底面半径是，
∴的长为，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
14．如图，在中，，，，的半径为2，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则线段长的最小值为．
【答案】
【详解】解：连接，如图所示，
∵是的切线，
∴，
根据勾股定理知：，
∴当时，线段最短，
∵在中，，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
故答案为：．
15．定义：由a，b构造的二次函数叫作一次函数的“滋生函数”，一次函数叫作二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数的“滋生函数”是，则二次函数的“本源函数”是．
【答案】
【详解】解：由题意得，
解得，
∴函数的本源函数是．
故答案为：．
16．如图，正方形的边长为，以AB边上的动点为圆心，为半径作圆，将沿翻折至，若过一边上的中点，则的半径为．
【答案】或或
【详解】设的半径为，当经过的中点，即经过的中点，
∴，
当经过的中点，则，
∴，，
在中，
∴
解得：（负值舍去）
当经过的中点，即经过的中点，设的中点为，
∴
∴
解得：
综上所述，半径为、、
故答案为：或或．
三、解答题（本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸）
17．（本小题8分）解方程：
（1）；
（2）．
【详解】（1）解：，，，
， ……………………1分
方程有两个不相等的实数根， ……………………2分
，
，．……………………4分
（2）解：
，
，……………………6分
或，……………………7分
解得，．……………………8分
18．（本小题8分）已知二次函数的图象经过，且它的顶点坐标是．
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）判断点是否在这条抛物线的图像上．
【详解】（1）解：设抛物线的顶点式为……………………1分
将点代入得，
解得：，……………………3分
∴抛物线的解析式为；……………………4分
（2）解：当时，，……………………6分
∴点不在这条抛物线的图象上．……………………8分
19．（本小题6分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明“．小李同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（小雪）、B（寒露）、C（秋分）、D（立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀．
（1）小李从中随机抽取一张邮票，抽中是B（寒露）的概率是．
（2）小李先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树状图或列表的办法求小李两次抽取的邮票中至少有一张是D（立秋）的概率．
【详解】（1）解：一共有4张邮票，符合题意的有1张，
所以，抽中B的概率是．
故答案为：；……………………2分
（2）画树状图如下：
……………………5分
一共有16种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，符合题意的有7种，所以两次抽取邮票中至少有一张是D的概率是．……………………6分
20．（本小题8分）的迅猛发展在多个领域影响着我们的生活．某校七、八年级利用课余时间举办了人工智能知识竞赛活动，并从七、八年级各随机抽取了10名学生代表的成绩（满分：5分）进行了整理、描述和分析，相关信息如下．
a．七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人．
b．七年级10名学生代表成绩的条形统计图（尚不完整），八年级10名学生代表成绩的扇形统计图及七、八年级学生代表成绩的平均数与方差对比表格如下．
请根据以上信息，详解下列问题．
（1）学生代表成绩比较整齐的是年级．（填“七”或“八”）
（2）补全条形统计图．
（3）若共有400名学生参与竞赛，根据七年级和八年级学生代表的成绩，请估计参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数．
【详解】（1）解：∵，
∴学生代表成绩比较整齐的是七年级．
故答案为：七．……………………2分
（2）解：∵七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人，
∴2分和3分的人数分别有1人和4人，……………………4分
补全条形统计图如下：
……………………6分
（3）解：抽取的八年级学生的成绩不低于4分的人数有（人），
（人），
答：估计参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数有160人．……………………8分
21．（本小题8分）如图，在和中，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴．……………………4分
（2）由（1）得，，
∵，
∴，
∵，
∴．……………………8分
22．（本小题8分）某商场将进货单价为20元的日用商品以销售单价35元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种商品的销售单价每上涨1元，其销售量就将减少10个，为了实现平均每月14 000元的销售利润，商场决定采取调控价格的措施，扩大销售量，减少库存，这种商品的销售单价应定为多少元？
【详解】解：设这种商品的售价为x元，依题意得……………………1分
，……………………4分
解得：，，……………………6分
因需扩大销售量，减少库存，所以应舍去，
∴．……………………7分
答：这种商品的销售单价应定为55元．……………………8分
23．（本小题8分）如图是小明家新房客厅地面，地上铺了大小相同的矩形地板砖，小明的妈妈想在靠墙处摆一组沙发，沙发的长是客厅长的三分之一，为了美观，沙发必须摆在矩形的中央，于是小明妈妈要把沙发摆放到的三等分点处．当时妈妈没有直尺，不能度量，聪明的小明灵机一动，他用一根绳索连接，交于点P，则P即是的三等分点．
（1）请仿照小明的方法，找出线段的另一个三等分点；
（2）请你证明：P是的三等分点．
【详解】（1）解：如图，
为线段的另一个三等分点；……………………4分
（2）证明：由题意得
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
P是的三等分点．……………………8分
24．（本小题8分）已知二次函数（是常数）．
（1）求证：该二次函数的图象与轴一定有两个交点；
（2）若点在该二次函数的图象上，且点在第四象限，该二次函数的图象与轴交于点，求点与点之间的距离．
【详解】（1）解：当时，，
∴无论为何值，
∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
二次函数（是常数）的图象与轴有两个交点；……………………4分
（2）点在二次函数的图象上，
，整理得，
解得或
∵点在第四象限，
，
点坐标为，二次函数表达式为，
当时，
∴点坐标为
∴点与点之间的距离为．……………………8分
25．（本小题8分）阅读与思考
任务一：
（1）材料中的依据是指__________________；
（2）选择②或③其中一个定理加以证明；
任务二：应用：
（3）如图2，正方形中，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作于点F，连接，证明：．
【详解】（1）是斜边上的高，
．
，
，
（两角分别相等的两个三角形相似），
，
即，
故答案为：两角分别相等的两个三角形相似；……………………3分
（2）选择②，证明：，
，
，
，
，
；
或选择③．证明：，
，
，
，
，
；……………………6分
（3）证明：四边形为正方形，
，
，
，
，
．……………………8分
26．（本小题9分）如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为．
（1）求k的值；
（2）点M是线段上的动点，将点M向上平移（）个单位得到点N，若点N在二次函数的图象上，求h的最大值；
（3）在（2）的条件下，若，线段与二次函数的图象有公共点，求点M的横坐标m的取值范围．
【详解】（1）解：把代入得：，
解得，
∴k的值为．……………………2分
（2）根据题意，轴且在抛物线上，如图：
由（1）知直线解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，h取最大值，
∴h的最大值为．……………………5分
（3）由得或，
∴，，
同（2）当M的横坐标为m时，，
∵把M向上平移个单位得到点，
∴，
∵线段与二次函数的图象有公共点，
∴，
∴，
解得或，
∵点M在线段上，，
∴或．……………………9分
27．（本小题9分）新定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，则称这个三角形为比例三角形．例如：三边的长分别为，，．因为，所以是比例三角形．
【问题提出】
（1）已知是比例三角形，，，求的长；
【问题探究】
（2）如图1，P是矩形的边上的一动点，平分，交边于点Q，．
①求证：；
②求证：是比例三角形．
【问题延伸】
（3）如图2，在（2）的条件下，当，时，点C与点Q能否重合？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
【详解】解：（1）是比例三角形，且，，
①当时，得，
解得，
，
（不符合题意，舍去）；……………………1分
②当时，得，
解得.
，
（不符合题意，舍去）；……………………2分
③当时，得，
解得（负值已舍去），
当时，是比例三角形，……………………3分
（2）①证明：四边形是矩形，
，
，
又，
；……………………4分
②证明：由①，知，
，即.
∵，
，
平分，
，
，
，
，
是比例三角形；……………………6分
（3）能，
当点C与点Q重合时，，
，
，
，
，
，……………………7分
，，
；
在中，，即，
解得或（舍去），
．……………………9分射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理，定理内容为：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
如图1，在中，，是斜边上的高，则有如下结论：①；②；③．
下面是该定理的证明过程（部分）：
是斜边上的高，
．
，
，
（依据），
，
即．