专题01 新增统计概率（根据教材精编）(十大题型)-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（上海专用）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27194" 题型01 伯努利分布、分布的表示 PAGEREF _Tc27194 \h 1
\l "_Tc22731" 题型02 等可能分布或均匀分布 PAGEREF _Tc22731 \h 2
\l "_Tc394" 题型03 随机变量及其分布2
\l "_Tc1766" 题型04 随机变量的期望与方差3
\l "_Tc8506" 题型05 二项分布 PAGEREF _Tc8506 \h 4
\l "_Tc6010" 题型06 超几何分布4
\l "_Tc22452" 题型07 正态分布 PAGEREF _Tc22452 \h 5
\l "_Tc5641" 题型08 成对数据的统计分析 PAGEREF _Tc5641 \h 6
\l "_Tc26157" 题型09 条件概率与全概率公式+独立事件、互斥事件 PAGEREF _Tc26157 \h 7
\l "_Tc31686" 题型10 判断事件的类型 概率公式综合辨析8
【解题规律·提分快招】
题型01 伯努利分布、分布的表示
【典例1-1】．抛掷1枚硬币，正面朝上的次数为X，则X的期望是 ．
【典例1-2】．以下分布中是伯努利分布的是（ ）．
A．掷一枚硬币正面次数的分布
B．掷两枚硬币正面次数的分布
C．抛一颗骰子点数的分布
D．从一个放有2个白球，和2个黑球的袋子中摸出两个球，用表示白球个数的分布
【变式1-1】．已知随机变量服从两点分布，且，，那么 ．
【变式1-2】．已知随机变量X服从两点分布，，则 ， .
【变式1-3】．已知X服从参数为0.3的两点分布，则 ；若，则 .
【变式1-6】．以下各项中是分布的为（ ）
A．B．
C． D．
题型02 等可能分布或均匀分布
【典例2-1】．已知随机变量X分布如下：，它是均匀分布，则为 ．
【变式2-1】．已知某个随机变量的分布，该分布是等可能分布，则的值为 ．
题型03 随机变量及其分布
【典例3-1】．已知随机变量的分布，则 ．
【典例3-2】．分别抛掷3枚硬币，正面次数的分布如下，其中c的值为 ．
【变式3-1】．设是一个随机变量，其分布为，则实数 ．
【变式3-2】．一袋中装5个大小与质地相同的球，编号为1、2、3、4、5，从袋中同时取出3个，以表示取出的三个球中的最大号码，则随机变量的分布为（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-3】．若随机变量的分布为，则 ， ．
题型04 随机变量的期望与方差
【典例4-1】．已知随机变量的分布为，则的方差为 .
【典例4-2】．已知一个随机变量X的分布为，且，则 ．
【变式4-1】．已知随机变量的分布是，则等于（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】．已知随机变量的分布列为：，若，且，则 .
【变式4-3】．随机变量的分布为，若，则 .
【变式4-4】．已知一个随机变量的分布为，且，则 .
【变式4-5】．随机变量X的分布是，其中a，b，c成等差数列．若，则的值为 ．
【变式4-6】．已知，随机变量的分布为，当增大时（ ）．
A．增大，增大B．减小，增大
C．增大，减小D．减小，减小
题型05 二项分布
【典例5-1】．已知随机变量服从二项分布，则 .
【典例5-2】．若随机变量服从二项分布，当且取得最大值时，则 ．
【变式5-1】．下列说法中正确的是
①设随机变量服X从二项分布，则；
②已知随机变量X服从正态分布且，则；
③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点互不相同”，事件B=“小赵独自去一个景点”，则；
④．
【变式5-2】．如果随机变量，，那么当X、Y变化时，使成立的的个数为 .
【变式5-3】．设随机变量服从二项分布，随机变量服从二项分布，若，则 ．
【变式5-4】．已知随机变量，若，则的值等于 ．
【变式5-5】．在一次新兵射击能力检测中，每人都可打5枪，只要击中靶标就停止射击，合格通过；5次全不中，则不合格．新兵A参加射击能力检测，假设他每次射击相互独立，且击中靶标的概率均为，若当时，他至少射击4次合格通过的概率最大，则 ．
题型06 超几何分布
【典例6-1】．某医院派出16名护士、4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去城市支援，设表示其中内科医生的人数，则
【典例6-2】．某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个．从袋中随机取出3个球，已知恰全为黑球的概率为，若记取出3个球中黑球的个数为，则 ．
【变式6-1】．在箱子中有个小球，其中有个红球，个白球.从这个球中任取个，记表示白球的个数，则 .
【变式6-2】．学校要从5名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为X，求 ．
【变式6-3】．盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以表示取到白球的个数，表示取到黑球的个数．给出下列各项：
①，；②；③；④.
其中正确的是 ．(填上所有正确项的序号)
题型07 正态分布
【典例7-1】．已知随机变量服从正态分布，若，则实数的取值范围是 ．
【典例7-2】．随机变量的概率分布密度函数，其图象如图所示，设，则图中阴影部分的面积为 ．
【变式7-1】．如图所示，该分布的0.25分位数为 ．
【变式7-2】．某地区高三年级2000名学生参加了地区教学质量调研测试，已知数学测试成绩服从正态分布（试卷满分150分），统计结果显示，有320名学生的数学成绩低于80分，则数学分数属于闭区间的学生人数约为 ．
【变式7-3】．若随机变量，且，，则等于（ ）
A．B．C．D．
题型08 成对数据的统计分析
【典例8-1】．在研究线性回归模型时， 样本数据（，，，，）所对应的点均在直线上，用表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则 .
【典例8-2】．从某大学中随机选取8名女大学生，其身高（单位：cm）与体重（单位：kg）的数据如下表：
若已知与的线性回归方程为，那么选取的女大学生身高为175cm时，相应的残差为 .
【变式8-1】．已知一组成对数据的回归方程为，则该组数据的相关系数 （精确到0.001）．
【变式8-2】．下列说法中，正确的有 （填序号）.
①回归直线恒过点，且至少过一个样本点；
②根据列联表中的数据计算得出，而，则有99%的把握认为两个分类变量有关系，即有1%的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；
③是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当的值很小时可以推断两类变量不相关；
④某项测量结果服从正态分布，则，则.
【变式8-3】．近五年来某草原羊只数量与草地植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：

若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为，去掉第一年数据后得到的相关系数为，则 （填，，，）
【变式8-4】．为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下图所示列联表：
取显著性水平，若本次考察结果支持“药物对疾病预防有显著效果”，则()的最小值为 ．
(参考公式：；参考值：）
题型09 条件概率与全概率公式+独立事件、互斥事件
【典例9-1】．甲､乙两气象站同时作天气预报，如果甲站､乙站各自预报的准确率分别为0.8和0.7，且假定甲､乙两气象站预报是否准确相互之间没有影响，那么在一次预报中，甲站､乙站预报都错误的概率为 .
【变式9-1】．某科研型农场试验了生态柳丁的种植，在种植基地从收获的果实中随机抽取100个，得到其质量（单位：g）的频率分布直方图及商品果率的频率分布表如图．已知基地所有采摘的柳丁都混放在一起，用频率估计概率，现从中随机抽取1个柳丁，则该柳丁为商品果的概率为 ．
【变式9-2】．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为，现从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过的概率为 .
【变式9-3】．研究人员开展甲、乙两种药物的临床抗药性研究实验，事件为“对药物甲产生抗药性”，事件为“对药物乙产生抗药性”，事件为“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”．若，，，则 ．
题型10 判断事件的类型 概率公式综合辨析
【典例10-1】．事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例10-2】．已知事件与相互独立，且，则下列选项不一定成立的是（ ）
A．；B．；
C．；D．.
【变式10-1】．已知、分别为随机事件A、的对立事件，，，则下列等式错误的是（ ）
A．B．
C．若A、独立，则D．若A、互斥，则
【变式10-2】．抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，记录骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验结果，设事件；事件：至少有一颗点数为6；事件；事件.则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件为互斥事件B．事件与事件为互斥事件
C．事件与事件相互独立D．事件与事件相互独立
【变式10-3】．现有4个礼品盒，前三个礼品盒中分别装了一支钢笔，一本书以及一个笔袋，第4个礼品盒中三样均有.现随机抽取一个礼盒，事件A为抽中的盒子里面有钢笔，事件B为抽中的盒子里面有书，事件C为抽中的盒子里面有笔袋，则下面选项正确的是（ ）
A．A与B互斥B．A与B相互独立
C．A与互斥D．A与相互独立
【变式10-4】．设，为两个随机事件，以下命题正确的为（ ）
A．若，是对立事件，则
B．若，是互斥事件，，则
C．若，且，则，是独立事件
D．若，是独立事件，，则
【变式10-5】．设A，B为两个随机事件，
①若A，B是互斥事件，，则；
②若A，B是对立事件，则；
③若A，B是独立事件，，，则；
④若，，且，则A，B是独立事件.
以上4个命题，正确的序号选项为（ ）.
A．①③B．②③C．②④D．②③④
【变式10-6】．甲箱中有个红球，个白球和个黑球；乙箱中有个红球，个白球和个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以、、表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．事件与事件不相互独立D．、、两两互斥
【变式10-7】．假定生男生女是等可能的，设事件：一个家庭中既有男孩又有女孩；事件家庭中最多有一个女孩.针对下列两种情形：①家庭中有2个小孩；②家庭中有3个小孩，下面说法正确是（ ）.
A．①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件相互独立
B．①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件相互独立
C．①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件不相互独立
D．①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件不相互独立
一、填空题
1．（2024·上海·模拟预测）某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ．
2．（2024·上海·三模）设随机变量X服从成功概率为的二项分布，若，，则 ．
3．（2024·上海浦东新·三模）一袋中装有大小与质地相同的2个白球和3个黑球，从中不放回地摸出2个球，记2球中白球的个数为X，则 .
二、单选题
4．（2023·上海奉贤·一模）下列结论不正确的是（ ）
A．若事件与互斥，则
B．若事件与相互独立，则
C．如果分别是两个独立的随机变量，那么
D．若随机变量的方差，则
5．（2024·上海浦东新·三模）有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球.甲、乙两人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球.若第一局中甲先摸球，记第局甲获胜的概率为，则关于以下两个命题判断正确的是（ ）
①，且；
②若第七局甲获胜的概率不小于0.9，则不小于1992.
A．①②都是真命题B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题D．①②都是假命题
1、离散型随机变量分布列的性质的应用
(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值．
(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率．
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．
2、求离散型随机变量ξ的期望与方差的步骤
(1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值．
(2)求ξ取每个值的概率．
(3)写出ξ的分布列．
(4)由期望、方差的定义求E(ξ)，D(ξ)．
3、判断某随机变量是否服从二项分布的关键点
(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同．
(2)各次试验中的事件是相互独立的．
(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．
4、(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型．
5、解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.
165
165
157
170
175
165
155
170
48
57
50
54
64
61
43
59
年份
1
2
3
4
5
羊只数量/万只
1.4
0.9
0.75
0.6
0.3
草地植被指数
1.1
4.3
15.6
31.3
49.7
药物
疾病
合计
未患病
患病
服用
50
未服用
50
合计
80
20
100
质量/g
商品果率
0.7
0.8
0.8
0.9
0.7