四川省成都市蓉城联盟2024-2025学年高二上学期12月期末考试数学试题

这是一份四川省成都市蓉城联盟2024-2025学年高二上学期12月期末考试数学试题，共10页。试卷主要包含了 在空间直角坐标系中，，则等内容，欢迎下载使用。
考试时间120分钟，满分150分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案：非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
2. 若直线方向向量为，且过点，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
3. 成都市某高中为鼓励全校师生增强身体素质，推行了阳光校园跑的措施，随机调查了10名同学在某天校园跑的时长（单位：分钟），得到统计数据如下：20，25，32，38，40，43，56，62，67，74，则这组数据的第70百分位数是（ ）
A. 56B. 59C. 62D. 64.5
4. 设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 不透明的口袋里有4个白球，2个红球，这6个球除了颜色外完全相同，从中不放回地抽取2个球，则抽出的2个球均为白球的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则的取值范围为（ ）
A. B. C. 或D. 或
7. 如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在空间直角坐标系中，，则（ ）
A. B. 点到直线的距离为
C. D. 直线与平面所成角的正弦值为
10. 已知事件，事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若事件与事件互斥，则
B. 若事件与事件相互独立，则
C. 若事件发生时事件一定发生，则
D. 若，则事件与事件相互独立
11. 已知椭圆与双曲线的左、右焦点相同，分别为，椭圆与双曲线在第一象限内交于点，且，椭圆与双曲线的离心率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 当时，
C. 的最小值为D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设一组数据的平均数为11，则的平均数为______.
13. 过三点的圆的标准方程为______.
14. 已知椭圆的上顶点为分别为椭圆的左、右焦点，过点作线段的垂线，垂线与椭圆交于两点，若椭圆的离心率为，且，则的周长为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. “世界图书与版权日”又称“世界读书日”，2024年4月23日是第29个“世界读书日”.自“世界读书日”确定以来，某高校每年都会举办读书知识竞赛活动来鼓励该校学生阅读，现从参加竞赛学生中抽取100人，将他们的竞赛成绩分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求这100名学生成绩的众数和平均数（取各组区间中间值计算）；
（2）已知成绩落在的学生平均成绩为62，方差为9，落在的学生平均成绩为77，方差为4，求这两组成绩的总体平均数和总体方差.
16. 已知圆是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点分别为.
（1）当点的横坐标为2时，求切线的方程；
（2）当点在直线上运动时，求四边形面积的最小值.
17. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮一次，规则如下：若命中，则此人继续投篮一次，若未命中，则换对方投篮一次.已知甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，甲、乙每次投篮的结果相互独立，第一次投篮者为甲.
（1）求第3次投篮者为乙的概率；
（2）求前4次投篮中甲投篮次数不少于3次的概率.
18. 在平行四边形中（如图1），为中点，将等边沿折起，连接，且（如图2）.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余
弦值.
19 一动圆与圆外切，与圆内切.
（1）设动圆圆心的轨迹为，求曲线的方程；
（2）①若点是直线上的动点，直线与曲线分别交于两点，证明：直线过定点；
②设和的面积分别为和，求的最大值.
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
2. 若直线的方向向量为，且过点，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
3. 成都市某高中为鼓励全校师生增强身体素质，推行了阳光校园跑的措施，随机调查了10名同学在某天校园跑的时长（单位：分钟），得到统计数据如下：20，25，32，38，40，43，56，62，67，74，则这组数据的第70百分位数是（ ）
A. 56B. 59C. 62D. 64.5
【答案】B
4. 设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
5. 不透明的口袋里有4个白球，2个红球，这6个球除了颜色外完全相同，从中不放回地抽取2个球，则抽出的2个球均为白球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
6. 已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则的取值范围为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】A
7. 如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
8. 设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在空间直角坐标系中，，则（ ）
A. B. 点到直线的距离为
C. D. 直线与平面所成角的正弦值为
【答案】BC
10. 已知事件，事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若事件与事件互斥，则
B. 若事件与事件相互独立，则
C. 若事件发生时事件一定发生，则
D. 若，则事件与事件相互独立
【答案】ABD
11. 已知椭圆与双曲线的左、右焦点相同，分别为，椭圆与双曲线在第一象限内交于点，且，椭圆与双曲线的离心
率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 当时，
C. 的最小值为D. 的最大值为
【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设一组数据的平均数为11，则的平均数为______.
【答案】90
13. 过三点的圆的标准方程为______.
【答案】
14. 已知椭圆的上顶点为分别为椭圆的左、右焦点，过点作线段的垂线，垂线与椭圆交于两点，若椭圆的离心率为，且，则的周长为______.
【答案】26
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. “世界图书与版权日”又称“世界读书日”，2024年4月23日是第29个“世界读书日”.自“世界读书日”确定以来，某高校每年都会举办读书知识竞赛活动来鼓励该校学生阅读，现从参加竞赛的学生中抽取100人，将他们的竞赛成绩分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求这100名学生成绩的众数和平均数（取各组区间中间值计算）；
（2）已知成绩落在的学生平均成绩为62，方差为9，落在的学生平均成绩为77，方差为4，求这两组成绩的总体平均数和总体方差.
【答案】（1）众数为75，
（2），
16. 已知圆是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点分别为.
（1）当点的横坐标为2时，求切线的方程；
（2）当点在直线上运动时，求四边形面积的最小值.
【答案】（1）或
（2）
17. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮一次，规则如下：若命中，则此人继续投篮一次，若未命中，则换对方投篮一次.已知甲每次投篮命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，甲、乙每次投篮的结果相互独立，第一次投篮者为甲.
（1）求第3次投篮者为乙的概率；
（2）求前4次投篮中甲投篮次数不少于3次的概率.
【答案】（1）
（2）
18. 在平行四边形中（如图1），为的中点，将等边沿折起，连接，且（如图2）.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）连接，
在中，，
，
在中，，
同理可得：，
平面

（2）
（3）
19. 一动圆与圆外切，与圆内切.
（1）设动圆圆心的轨迹为，求曲线的方程；
（2）①若点是直线上的动点，直线与曲线分别交于两点，证明：直线过定点；
②设和的面积分别为和，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
① 如图，设点，因
则直线方程为，
代入椭圆中，得：，
依题意，，解得：，
同理可得：，
，
直线的方程为，
整理得：，
直线恒过定点；

；②3