专题01 集合与常见逻辑用语-【寒假提升课】2025年高一数学寒假提升试题（人教A版2019）

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【考点1】 并、交、补集的简单运算
【考点2】根据元素与集合的关系求参数
【考点3】根据集合中元素个数求参数
【考点4】判断两个集合的包含关系
【考点5】根据集合的包含关系求参数
【考点6】根据集合的并、交、补集运算结果求参数
【考点7】集合新定义题
【考点8】充分性与必要性的判断
【考点9】根据充分性与必要性求参数
【考点10】根据命题的真假求参数
知识点 1：元素与集合
1元素与集合的关系
(1)属于(belng t)：如果是集合的元素，就说属于，记作 .
(2)不属于(nt belng t)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作.
特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：.
2集合元素的三大特性
（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性.
（2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性.
（3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性.
知识点2：子集
1子集：
一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集
（1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”)
（2）性质：
①任何一个集合是它本身的子集，即.
②对于集合，，，若，且，则
（3）图表示：
2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别
符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系.
知识点3：真子集的含义
如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集;
（1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”)
（2）性质：
①任何一个集合都不是是它本身的真子集.
②对于集合，，，若，且，则
（3）图表示：
知识点4：并集
一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：.
并集的性质：,,,,.
高频性质：若.
图形语言
知识点5：交集
一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：.
交集的性质：,,,,.
高频性质：若.
图形语言
知识点6：全集与补集
全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合.
补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即.
补集的性质： , , .
知识点7： 充分条件、必要条件与充要条件的概念
（1）若，则是的充分条件，是的必要条件；
（2）若且，则是的充分不必要条件；
（3）若且，则是的必要不充分条件；
（4） 若，则是的充要条件；
（5）若且，则是的既不充分也不必要条件.
知识点8 ：全称量词命题和存在量词命题的否定
1全称量词命题及其否定（高频考点）
①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：.
②全称量词命题的否定：.
2存在量词命题及其否定（高频考点）
①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：.
②存在量词命题的否定：.
题型归纳
【考点1】 并、交、补集的简单运算
1．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·全国·高考真题（甲卷文））若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全国·高考真题（甲卷理））已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·全国·高考真题（新课标Ⅰ卷））已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【考点2】根据元素与集合的关系求参数
1．（2024·广东河源·模拟预测）已知集合，，若且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·北京·三模）已知集合，若，则可能是（ ）
A．B．1C．2D．3
3．（多选）（2024·河南·模拟预测）已知，则的值可以为（ ）
A．2B．64C．256D．1024
4．（2024·上海宝山·二模）已知集合，且，则实数的值为 .
【考点3】根据集合中元素个数求参数
1．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若中有2个元素，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·陕西宝鸡·一模）若集合中只有一个元素，则实数（ ）
A．1B．0C．2D．0或1
3．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若中有2个元素，则实数a的取值范围是 ．
【考点4】判断两个集合的包含关系
1．（2024·宁夏·模拟预测）设集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·江西·一模）已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·湖北·模拟预测）已知集合，则下列表述正确的是（ ）
A．B．C．D．
【考点5】根据集合的包含关系求参数
1．（2024·北京朝阳·模拟预测）已知集合，若集合A、B满足：，则集合对共有（ ）个．
A．36B．48C．64D．81
2．（2024·河南·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·江西新余·模拟预测）已知集合，，若，则的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
4．（2024·河南·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【考点6】根据集合的并、交、补集运算结果求参数
1．（2024·陕西商洛·一模）已知集合，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2024·河南·模拟预测）已知集合，且，则实数的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（2024·福建·模拟预测）设集合，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·广东韶关·一模）已知集合，写出满足条件的整数的一个值 .
5．（2024·安徽·模拟预测）已知，，若，则的取值范围为 ．
【考点7】集合新定义题
1．（24-25高一上·上海杨浦·开学考试）已知集合A为非空数集，对于集合A，定义对A中任意两个不同元素相加得到一个绝对值，将这些绝对值重新组成一个新的集合，对于这一过程，我们定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合A的1次自相加集合”，再次进行n－1次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合A的n次自相加集合”，若集合A的任意k次自相加集合都不相等，则称集合A为“完美自相加集合”，同理，我们可以定义出“A的1次自相减集合”，集合A的1次自相加集合和1次自相减集合分别可表示为：.
(1)已知有两个集合，集合，集合，判断集合B和集合C是否是完美自相加集合并说明理由；
(2)对（1）中的集合B进行11次自相加操作后，求：集合B的11次自相加集合的元素个数；
(3)若且，集合，，求：的最小值．
2．（2025·江苏南通·一模）已知有限集，若，则称为“完全集”.
(1)判断集合是否为“完全集”，并说明理由；
(2)若为“完全集”，且，用列举法表示集合（不需要说明理由）；
(3)若集合为“完全集”，且均大于0，证明：中至少有一个大于2.
3．（2024·安徽马鞍山·三模）已知S是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，则称S是数环．设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域．由定义知有理数集是数域．
(1)求元素个数最小的数环；
(2)证明：记，证明：是数域；
(3)若是数域，判断是否是数域，请说明理由．
4．（2024·全国·模拟预测）已知有序数对，有序数对，定义“变换”：，，，可以将有序数对转化为有序数对．
(1)对于有序数对，不断进行“变换”，能得到有序数对吗？请说明理由．
(2)设有序数对经过一次“变换”得到有序数对，且有序数对的三项之和为2024，求的值．
(3)在（2）的条件下，若有序数对经过次“变换”得到的有序数对的三项之和最小，求的最小值．
【考点8】充分性与必要性的判断
1．（2024·山东威海·一模）已知命题，命题，则成立是成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2024·浙江台州·一模）已知集合，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2024·河南·模拟预测）若，则使成立的一个充分不必要条件为（ ）
A．B．C．D．
【考点9】根据充分性与必要性求参数
1．（2024·湖北黄冈·一模）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是 .
2．（2024·山西·模拟预测）已知集合，.
(1)若，，且是的必要不充分条件，求的取值范围；
3．（2024·四川遂宁·模拟预测）已知集合，函数的定义域为.
(1)若集合，求集合；
(2)在（1）条件下，若，求；
(3)在（1）条件下，若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围.
4．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知集合、集合（）.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【考点10】根据命题的真假求参数
1．（2024·河南·模拟预测）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A．0,4B．0,4C．0,2D．0,2
2．（2024·四川凉山·二模）已知命题“，”是假命题，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·上海长宁·一模）若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围 .
4．（23-24高三上·安徽铜陵·阶段练习）若命题“，使得”是假命题，则的取值范围是 ．
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一、单选题
1．（2024·天津·高考真题）集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全国·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题B．和q都是真命题
C．p和都是真命题D．和都是真命题
3．（2024·宁夏吴忠·一模）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．，或D．
4．（2024·福建·三模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·山东威海·一模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·河北石家庄·模拟预测）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·陕西榆林·模拟预测）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充要条件
8．（2024·吉林长春·模拟预测）设，则使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
9．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知命题：命题.若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024·全国·模拟预测）设集合，，若，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2025·全国·模拟预测）已知：哥德巴赫猜想认为任一大于2的偶数都可写成两个质数之和．定义为全体素数的集合，那么以下形式化命题中和哥德巴赫猜想不等价的是（ ）
A．，，，
B．
C．
D．或
二、多选题
12．（2024·吉林长春·模拟预测）对于集合，若，则称为对偶互存集，则下列为对偶互存集的是（ ）
A．B．
C．D．
13．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．. 是的必要不充分条件
C．若，，，则“”的充要条件是“”
D．若，，则“”是“”的充要条件
14．（2024·新疆乌鲁木齐·三模），运算“”为，则（ ）
A．B．
C．D．若，则
三、填空题
15．（2022·福建宁德·模拟预测）已知命题，命题，若命题是命题的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ．
16．（2024·海南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围为 .
17．（2024·江苏常州·三模）集合，，若，则实数m的取值范围为 ．
18．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是 ．
19．（2024·山东泰安·三模）已知集合，，若，则的取值范围是 .
20．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）设表示不超过的正整数集合，表示k个元素的有限集，表示集合A中所有元素的和，集合，则 ；若，则m的最大值为 ．
四、解答题
21．（2024·宁夏·模拟预测）已知集合.
(1)若，且是的必要不充分条件，求的取值范围；
(2)若函数的定义域为，且，求的取值范围.
22．（23-24高一上·湖北·期中）已知集合，或x≥4，为实数集．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，且，求实数的取值范围．
23．（2023·安徽·模拟预测）已知集合，集合，全集为.
(1)若，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
24．（23-24高一上·河南信阳·阶段练习）已知：，：.
(1)若是真命题，求对应的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求的取值范围.
考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢
重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺
难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升
提升专练：真题感知+精选专练，全面突破