专题04 指数函数+对数函数+函数与方程-【寒假提升课】2025年高一数学寒假提升试题（人教A版2019）

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【考点1】求指数（对数）型复合函数的单调区间
【考点2】根据指数（对数）型复合函数的单调性求参数
【考点3】求指数（对数）型复合函数的值域（最值）
【考点4】比较指数幂的大小
【考点5】由指数（对数）型复合函数的单调性解不等式
【考点6】零点个数问题
【考点7】零点代数和问题
【考点8】新定义问题
知识点 1 ：指数函数的定义域与值域
1、定义域：
（1）指数函数的定义域为
（2）的定义域与函数的定义域相同
（3）的定义域与函数的定义域不一定相同.
2、值域
（1）指数函数的值域为
（2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域
（3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中.
知识点2：对数函数的图象及其性质
函数的图象和性质如下表：
知识点3：函数零点的概念
对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点.
几何定义:函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.
这样：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点
知识点4：函数零点存在定理及其应用
1、函数零点存在定理
如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解.
题型归纳
【考点1】求指数（对数）型复合函数的单调区间
1．（2024·河北·三模）函数的递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】对数型复合函数的单调性
【分析】根据题意，利用对数函数的性质以及复合函数单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数，则函数的递增区间满足，解得，
所以函数的递增区间为.
故选：C.
2．（23-24高三上·广西桂林·阶段练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】对数型复合函数的单调性、求对数型复合函数的定义域
【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的“同增异减”性质求解.
【详解】由对数函数的定义域知： ，即 的定义域为 ，
是减函数，当 时， 也是减函数，当 时，是增函数，
所以 的单调递增区间是 ；
故选：A.
3．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】对数型复合函数的单调性、解不含参数的一元二次不等式
【分析】利用复合函数法可求得原函数的单调递减区间.
【详解】令，，
由，得，即函数的定义域为，
因为函数是关于的递减函数，
函数在上递增，在上递减，
所以函数的单调递减区间是．
故选：C.
4．（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）函数的一个单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】对数型复合函数的单调性、求对数型复合函数的定义域
【分析】根据对数函数以及二次函数的单调性，结合复合函数单调性原则即可求解.
【详解】由于，解得，故函数的定义域为，
当，函数单调递减，而在定义域内单调递增，
故的单调递减区间是，
故选：C
【考点2】根据指数（对数）型复合函数的单调性求参数
1．（24-25高一上·重庆·阶段练习）设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】由指数（型）的单调性求参数、判断指数型复合函数的单调性
【分析】利用复合函数“同增异减”的性质求得二次函数对称轴解不等式可得结果.
【详解】易知函数是由指数函数和二次函数复合而成的；
再由复合函数单调性可得，使二次函数在区间上单调递减即可；
因此，可得.
故选：D
2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】由指数（型）的单调性求参数
【分析】根据复合函数的单调性，可得在的单调性，再根据其对称轴和区间端点值关系，即可求得参数范围.
【详解】因为为上的单调减函数，根据复合函数单调性可知，在单调递减，
故，解得.
故选：D.
3．（24-25高一上·广东东莞·期中）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】由对数（型）的单调性求参数、对数型复合函数的单调性
【分析】根据对数型函数单调性的性质，结合对数函数和二次函数的单调性进行求解即可.
【详解】二次函数的对称轴为，且开口向下，
因为函数是正实数集上的增函数，
又函数在区间上单调递减，
则在区间上单调递减，且恒成立，
只需满足，
故选：C.
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数且在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、根据函数的单调性求参数值、由对数（型）的单调性求参数
【分析】对数函数的单调性与底数有关，分和两种情况讨论，此外还要注意对数函数的定义域，即真数为正；复合函数单调性满足“同增异减”，根据对数函数单调性结合题干中“在区间上单调递减”得到真数部分函数的单调性，从而求得的取值范围.
【详解】设函数，则．
①若，则在定义域上单调递减．
又在区间上单调递减，所以在区间上单调递增，故对任意的恒成立．
又，所以对任意的显然成立．
又因为对任意恒成立，所以0，故．
②若，则在定义域上单调递增．
又在区间上单调递减，所以在区间上单调递减，故对任意的恒成立．
因为抛物线的开口向上，所以不可能对任意的恒成立．
所以的取值范围为．
故选：A．
【考点3】指数（对数）型复合函数的值域（最值）
1．（2024·宁夏银川·二模）已知函数，，则其值域为 ．
【答案】
【知识点】求指数型复合函数的值域
【分析】令，将问题转化为求二次函数在区间上的值域问题，结合二次函数单调性，即可求解.
【详解】令，∵，∴，
∴，
又关于对称，开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增，且，
时，函数取得最小值，即，时，函数取得最大值，即，
.
故答案为：.
6．（23-24高一上·广东广州）已知函数．
(1)若，求函数的值域；
(2)若，使成立，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求指数型复合函数的值域、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）根据参数的值求解出函数的解析式，再根据复合函数的性质求解值域即可；
（2）先将函数看成关于的一次函数，运用不等式恒成立问题的处理方法将问题转化为只含一个变量的函数问题，再运用存在性问题的处理方法求解参数的取值范围．
【详解】（1）解：，时，，
令，，，
可写出关于的二次函数，
根据二次函数的性质可得，
所以当，时，函数的值域为．
（2）解：，可看成关于的一次函数，且函数单调递减，
,不等式成立，成立，
又,，成立，,使得不等式成立，
令,，又，，问题转化为函数最大值不小于4．
①，,时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，
当且仅当时等号成立，故恒成立，又，，所以，
此时函数的最大值为，，解得；
②，,时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
又，所以，此时函数的最大值为，
，解得，
综上，的取值范围为．
3．（23-24高一上·吉林）设函数（且，，），若是定义在上的奇函数且．
(1)求k和a的值；
(2)判断其单调性（无需证明），并求关于t的不等式成立时，实数t的取值范围；
(3)函数，，求的值域．
【答案】(1)，
(2)增函数，或
(3)
【知识点】由奇偶性求函数解析式、求指数型复合函数的值域、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数
【分析】（1）为上的奇函数，利用和，列方程即可求出与；
（2）判断为增函数，利用的单调性解不等式；
（3）化简，利用，
可得，根据，判断出的范围，进而得到的值域.
【详解】（1）∵是定义域为上的奇函数，
∴，得．此时，，，即是R上的奇函数．
∵，∴，即，∴或（舍去）
故，
（2）明显地，为增函数，则只需，，
∴或．
（3）∴，
令，由（2），易知在上为增函数，
∴，∴
当时，有最大值；
当时，有最小值，∴的值域是．
4．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之和为.
(1)求函数解析式，并求出关于的不等式的解集；
(2)求函数，的值域，并求出取得最值时对应的的值.
【答案】(1)，或；
(2)，取最小值时，取最大值时.
【知识点】求二次函数的值域或最值、求对数型复合函数的值域、根据对数函数的最值求参数或范围、由对数函数的单调性解不等式
【分析】（1）根据给定条件，利用对数函数单调性求出最值列式求出，再利用单调性解不等式.
（2）由（1）的结论求出并换元，转化为二次函数求解.
【详解】（1）函数定义域为，且在上单调，
由函数在区间上的最大值与最小值之和为，
得，即，解得，
于是；
，
解，得或；
解，即，得或，
因此或，
所以不等式的解集或.
（2）由（1）知，，
令，由，得，，
当时，，此时；当时，，此时，
所以函数的值域为，取最小值时，取最大值时.
5．（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知函数为奇函数.
(1)解不等式；
(2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【知识点】对数函数最值与不等式的综合问题、由奇偶性求参数、由指数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题
【分析】
（1）根据题意，求得，得到，列出不等式，即可求解；
（2）根据题意，转化为函数的值域是函数的值域的子集，结合对数的运算，求得，结合，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）
解：由的定义域为，
因为为奇函数，可得，解得，所以，
又由不等式，可得，整理得，解得，
所以不等式的解集为.
（2）
解：因为，总有，使得成立，
所以函数的值域是函数的值域的子集，
而，
令，所以，
所以，又由在上递增，
所以，所以，解得，所以的取值范围为.
【考点4】比较指数幂的大小
1．（2024·四川雅安·一模）下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性可判断出结果.
【详解】对于A，因为底数，所以随着指数的增大而减小，又，所以，故选项A错误；
对于B，，因为底数，所以随着真数位置的增大而增大，又，所以，故选项B错误；
对于C，因为，，所以，故选项C正确；
对于D，因为，，函数有两个交点，分别是当，
增长速度比增长速度快，在0,2上，在上，
在上，所以，即，故选项D错误.
故选：C.
2．（2024·北京顺义·二模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】利用对数运算计算a，利用指数函数单调性判断b，c即可得答案.
【详解】因为，，，
所以.
故选：D
3．（2024·福建宁德·模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】根据指数以及对数的单调性即可求解.
【详解】因为，所以，因为，所以.
因为，所以，所以.
故选：D
4．（2024·天津河北·二模）若，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】利用指数函数、对数函数单调性比较大小即得.
【详解】依题意，，
所以.
故选：D
【考点5】由指数（对数）型复合函数的单调性解不等式
1．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知函数，
(1)求证：为奇函数；
(2)解关于的不等式
(3)若恒成立，求实数k的取值范围；
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求对数型复合函数的定义域、基本不等式求和的最小值、由指数函数的单调性解不等式
【分析】（1）根据奇偶性定义判断可得答案；
（2）设，根据在R上的单调性可得答案；
（3）原不等式等价为对恒成立，再利用基本不等式可得答案.
【详解】（1）函数，即，
可得，解得或，
可得的定义域为或，关于原点对称，
又，则为奇函数；
（2）不等式，即为式，
设，即，可得在R上递减，
所以，所以，解得，
所以原不等式的解集为；
（3）由或，解得，
所以（）恒成立，即，
化为，即对恒成立
由，
当且仅当，即时，取得等号，
所以，即k的取值范围是.
2．（24-25高一上·福建福州·期中）已知定义域为的函数是奇函数，且.
(1)求实数，的值；
(2)试判断的单调性，并用定义证明；
(3)解关于的不等式.
【答案】(1)，
(2)函数在上为减函数，证明见解析
(3)
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式、由指数函数的单调性解不等式
【分析】（1）法1：根据求解出的值，并进行检验；法2：根据奇函数定义可得f-x=-fx，结合求得的值；
（2）计算并将其结果因式分解，根据条件判断出的正负，由此可知的单调性；
（3）根据奇偶性将不等式化为，再根据单调性求解出不等式解集.
【详解】（1）法1：函数是定义域为R的奇函数，
，即，
又，即，
由①②解得，，
经检验，，符合题意.
法2：函数是定义域为R的奇函数，
，即，
，即，
，
又，即，
由①②解得，.
（2）函数在R上为减函数.
证明如下：
由（1）得函数，任取且，
则，
，，又，
，即，
函数在R上为减函数.
（3）函数为奇函数，
可化为，
又函数在上为减函数，
，解得：，
原不等式的解集为.
3．（24-25高一上·山东淄博·期中）已知定义域为R的函数是奇函数．
(1)求实数的值．
(2)试判断的单调性（无需证明），并求的值域．
(3)解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)单调递增，理由见解析，的值域为；
(3)
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、求指数型复合函数的值域、由奇偶性求参数、由指数函数的单调性解不等式
【分析】（1）根据得到方程，得到，求出；
（2）定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论，并由，变形得到，解不等式，求出值域；
（3）由函数奇偶性和单调性，得到，解不等式，求出解集.
【详解】（1）为定义域为R上的奇函数，故，
，即，
故，解得；
（2）由（1）知，，在R上单调递增，
任取，且，
，
因为，在R上单调递增，故，
又，
所以，故，
所以在R上单调递增，
，变形得到，解得，
故的值域为；
（3）为定义域为R上的奇函数，
故，
由（2）知，在R上单调递增，
所以，令，
则，解得，
故，解得，
不等式解集为
4．（24-25高三上·河南·期中）已知函数为奇函数.
(1)求a的值；
(2)求满足的x的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】对数的运算性质的应用、由奇偶性求参数、由对数函数的单调性解不等式
【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可；
（2）先求出函数的定义域，再结合对数的运算性质及对数函数的性质求解即可.
【详解】（1）因为函数为奇函数，所以f-x=-fx，
则，
即，
则.
（2）由（1）知，，
由，解得，即函数的定义域为，
由，，
即，
即，
即，
则，解得，
又，则，
即x的取值范围为0,1.
5．（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，当时，．
(1)求和的解析式，并判断在区间上的单调性（需要证明）；
(2)若对，都有，求实数m的取值集合．
【答案】(1)；；证明见解析.
(2)
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、由函数奇偶性解不等式、由对数函数的单调性解不等式
【分析】（1）由即可求得函数的解析式，再由函数是上的偶函数，即可得到其解析式，再由函数单调性的定义法即可证明的单调性；
（2）根据题意，由偶函数的性质可得，再由函数的奇偶性以及单调性可得，由对数函数的单调性即可求解不等式.
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，即，
所以，且满足，即；
设，则，即，
又是定义在上的偶函数，则，
所以；
在区间上单调递减.
证明：任取，且，
则
，
由可得，，，，
所以，即，
所以在区间上单调递减.
（2）因为是定义在上的偶函数，
且当时，，其对称轴为，
所以当时，单调递增，
对，都有，即，
由（1）可知，是定义在上的奇函数，
且时，单调递减，
所以，
所以，即或，
当时，即，解得；
当时，即，解得；
综上所述，实数m的取值集合为.
6．（22-23高一上·湖南长沙·期末）已知（，且）.
(1)求函数的定义域；
(2)当（其中，且t为常数）时，是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由；
(3)当时，求满足不等式的实数x的取值范围.
【答案】(1)
(2)当时存在最小值，当时，不存在最小值，理由见解析
(3)
【知识点】求对数型复合函数的定义域、求对数型复合函数的值域、对数型复合函数的单调性、由对数函数的单调性解不等式
【分析】(1)根据真数大于零解不等式即可求定义域；
(2)讨论函数的单调性即可求最小值；
(3)利用函数的奇偶性单调性解不等式.
【详解】（1）由可得或，
解得，即函数的定义域为.
（2）设，则，
∵，∴，，∴，
①当时，则在上是减函数，又，
∴时，有最小值，且最小值为；
②当时，，则在上是增函数，又，
∴时，无最小值.
（3）由于的定义域为，定义域关于原点对称，
且，所以函数为奇函数.
由（2）可知，当时，函数为减函数，由此，不等式等价于，
即有，解得，
所以x的取值范围是.
【考点6】零点个数问题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数（），函数，则函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【知识点】求函数零点或方程根的个数
【分析】根据曲线在点处的切线方程判断曲线和的交点情况，求方程的根，并根据函数的单调性及零点存在定理判断该根的大致范围，判断的图象与直线，的交点情况
【详解】函数的零点个数即方程的根的个数．令，则方程等价于．
求曲线在点处的切线方程，得曲线和的交点情况
对于函数，易知当时，，，
故曲线在点处的切线方程为，
因此曲线和无交点．（技巧：通过研究曲线在点处的切线，
数形结合判断曲线和的交点情况）
求方程的根，并判断该根的大致范围：
将代入，得，
则，令，得或，
故当时，，与无交点，
作出函数和的大致图象如图所示，结合图象可知，
方程有且仅有1个解，且此解就是方程的解．
易知函数是增函数，且，（点拨：因为，所以，故）因此方程的解．
又当时，，所以无解，显然有2个解，
所以函数有2个零点，
故选：B．
2．（2024·广东湛江·一模）函数零点的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】对数函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数
【分析】数形结合思想，分别作出和的图象即可求解.
【详解】解：由，得函数的定义域为，
函数零点的个数零点个数，
即函数的图象和函数的图象的交点个数，
如图所示：
数形结合可得函数的图象和函数的图象的交点个数为．
故选:C．
【考点7】零点代数和问题
1．（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知函数的零点分别为，，，则（ ）
A．0B．2C．4D．6
【答案】A
【知识点】求零点的和、反函数的性质应用
【分析】将问题转化为与、、的交点横坐标，结合指数函数与对数函数的对称性计算可得.
【详解】由题设，，，，
所以问题可转化为与、、的交点问题，函数图象如下：
因为与关于对称，而与互相垂直，
所以，，则.
故选：A
2．（2024·广东珠海·一模）已知函数在R上没有零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围
【分析】将问题转化为 与函数 的图象没有交点，利用数形结合法求解.
【详解】设 ，的图象如图所示，
问题转化为与函数 的图象没有交点，
所以或,
解得或,
故选：A.
3．（2024·四川绵阳·一模）已知函数，m为正的常数，则的零点之和为 ．
【答案】
【知识点】求零点的和、判断或证明函数的对称性、对数函数图象的应用
【分析】根据给定条件，探讨函数的对称性，再结合零点的意义即可求解得答案.
【详解】函数的定义域为，
由，得，令函数，
，则函数的图象关于直线对称，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，

直线与函数的图象有4个交点，令其横坐标从左到右依次为，
观察图象得，所以的零点之和为.
故答案为：
4．（2024·天津红桥·一模）设函数，若有四个实数根，，，，且，则的取值范围 ．
【答案】
【知识点】分段函数的性质及应用、函数与方程的综合应用、函数图象的应用
【分析】作出的图象，根据图象确四个根间的关系，从而得到，且，再利用函数的单调性即可求出结果.
【详解】因为，所以，其图象如图所示，
又有四个实数根，由图知，得到，即，且，
由，得到或，所以，
所以，
令，，易知在区间上单调递增，所以，
所以的取值范围为，
故答案为：.
5．（2024·河南·模拟预测）已知，函数.
(1)若，求的值；
(2)若分别为fx,gx的零点，求的值.
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、对数的运算性质的应用、对数型复合函数的单调性
【分析】（1）根据两函数值相等利用对数与指数运算的互化解方程即可得；
（2）由零点定义代入函数表达式，再由对数函数单调性可知，即可得.
【详解】（1）由可得，即，
所以，
又，所以，因此；
因为，即，
解得；
（2）因为分别为的零点，所以，
即，也即，
又因为，所以在上单调递增，
由可得，
与联立可得。
所以.
6．（2024·河南·模拟预测）设且，函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若函数在区间上有零点，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【知识点】由对数函数的单调性解不等式、根据二次函数零点的分布求参数的范围
【分析】（1）化简不等式为，按照和分类讨论，利用对数函数的单调性解不等式即可；
（2）将零点问题转化为有解，设，则，利用函数的单调性求解参数范围即可.
【详解】（1）当时，不等式可化为，
若，则，解得，
所以不等式的解集为；
若，则，解得，
所以不等式的解集为；
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
（2）由题意可知，
令，即，因为，所以，
所以，所以，
设，则，
因为函数在上单调递减，
所以，所以.
【考点8】新定义问题
1．（2024·上海·二模）对于函数f(x)，若在定义域内存在实数，满足，则称f(x)为“类函数”.
(1)已知函数，试判断f(x)是否为“类函数”？并说明理由；
(2)设是定义域上的“类函数”，求实数m的取值范围；
(3)若为其定义域上的“类函数”，求实数取值范围.
【答案】(1)是，理由见解析；
(2)；
(3).
【知识点】函数新定义、函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题
【分析】（1）根据题意，得到，利用三角恒等变换化简，得，得到存在满足，即可作出判断；
（2）利用f(x)为“类函数”，得出，令，得到方程在有解可保证f(x)为“类函数”，分离参数即可求解；
（3）由为其定义域上的“类函数”，得到存在存在实数，满足，根据分段函数的解析式，结合函数单调性，分类讨论即可求解.
【详解】（1）由题意，函数f(x)在定义域内存在实数，满足，
可得，即，
化简整理，得，解得，
所以存在满足
所以函数是“M类函数”；
（2）当时，
可化为，
令，则，
所以方程在有解可保证f(x)是“类函数”，
即在)有解可保证f(x)是“类函数”，
设在为单调递增函数，
所以当时，取得最小值为
即，解得.
所以实数的取值范围为；
（3）由在上恒成立，
转化为在上恒成立，即
所以.
因为为其定义域上的“类函数”，
所以存在实数使得，
当时，则，所以，所以，
即在)有解可保证f(x)是“类函数”
设在为单调递增函数，
，即，解得；
当时，，此时，不成立；
当时，则，所以，所以，
即在)有解可保证f(x)是“类函数”
设在为单调递减函数，
，即，解得.
综上所述，实数的取值范围为.
【点睛】解决本题的关键准确理解函数的新定义“类函数”的含义，然后将问题转化为有解问题，结合函数的单调性即可求解.
2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数和的定义域分别为和，若对任意的都存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”．
(1)试判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由；
(2)求证：是的“4重覆盖函数”；
(3)若为的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围．
【答案】(1)不是的“2重覆盖函数”理由见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【知识点】求已知指数型函数的最值、对数函数最值与不等式的综合问题、分段函数的值域或最值、复合函数的最值
【分析】（1）：根据两个函数的值域，结合偶函数的性质进行判断即；
（2）：可根据两个函数的值域，结合余弦函数的周期性进行判断即可；
（3）：将题转化为对任意，有2个实根，根据的性质即可求解．
【详解】（1）由可知：，函数的图像如图所示：
当时， ，
当时，解得，
所以不是的“2重覆盖函数”；
（2）证明：因为，
所以，
又因为，
又因为，
所以，
所以，
又因为，
所以，
又因，可得为奇函数且单调递增，
作出两函数的内的大致图像，如图所示：
，
而函数在上单调递增，且，所以，
由此可知在内有4个解．
所以是在的“4重覆盖函数”；
（3）可得的定义域为，
即对任意，存在2个不同的实数，使得（其中），
∵，∴，
所以，
所以，
即，
即对任意，有2个实根，
当时，已有一个根，故只需时，仅有1个根，
当时，，符合题意，
当时，则需满足，解得，
当时，抛物线开口向下，有最大值，不能满足对任意，仅有1个根，故不成立．
综上，实数a的取值范围是．
【点睛】在处理两函数图像交点问题时，可通过分离变量交点问题转化为与两个函数的图像交点情况.
过关检测
一、单选题
1．（2024·贵州六盘水·模拟预测）声强级（单位：）由公式给出，其中I为声强（单位：），若某人交谈时的声强级为，则其声强约为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化
【分析】利用给定的公式代入计算即得.
【详解】由，，得，所以.
故选：C
2．（2024·四川宜宾·一模）下列函数中，既是奇函数，又在是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断指数函数的单调性、比较对数式的大小、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义分别进行判断即可．
【详解】对于A，是偶函数，不满足条件．
对于B，，函数是奇函数，由于
均在单调递增，故在单调递增，符合条件，
对于C,，则是奇函数，
在单调递增,且为正，函数在单调递减，不满足条件．
对于D，，函数是奇函数，当时，，
，，此时，不是增函数，不满足条件．
故选：B．
3．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知函数在R上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】对数型复合函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参数、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】分段函数单调递减，需满足每一段函数均单调递减，且分段处左端点函数值大于等于右端点函数值，从而得到不等式，求出答案.
【详解】显然在上单调递减，
要想在R上单调递减，
则，解得.
故选：D
4．（2024·广东湛江·一模）函数零点的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】对数函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数
【分析】数形结合思想，分别作出和的图象即可求解.
【详解】解：由，得函数的定义域为，
函数零点的个数零点个数，
即函数的图象和函数的图象的交点个数，
如图所示：
数形结合可得函数的图象和函数的图象的交点个数为．
故选:C．
5．（2024·吉林·模拟预测）已知，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】比较指数幂的大小
【分析】已知变形得，再证明后即可得．
【详解】则已知，，所以，
由，则，因此，又，所以，
故选：B．
6．（2024·四川眉山·一模）若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】结合指数函数和对数的运算性质易得，，，进而分析比较与的大小，进而比较与的大小，进而判断即可.
【详解】，，
，
则，，下面比较与的大小，
即比较与的大小，
即比较与的大小，
即比较与的大小，而，
则，所以.
故选：B.
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数，记，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】比较对数式的大小、比较函数值的大小关系
【分析】应用介值法比较的大小，再应用的单调性比较大小即可.
【详解】解：因为，
所以；
又因为，
所以，
又因为在上单调递减，
所以，
故选：D．
8．（2024·江西景德镇·一模）函数的定义域为，是奇函数，当时，则的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、由对数函数的单调性解不等式
【分析】根据函数是奇函数可得关于1,0成中心对称，先解出当时的解，即可利用对称性得不等式的解.
【详解】∵f2x+1是奇函数，
∴，即关于1,0点对称．
又函数的定义域为，故f1=0．
当时，
令，即，解得．
根据对称性可知当时，．
综上所述，的解集是．
故选：B．
9．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递减，满足，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式
【分析】根据题意可得，利用单调性解不等式结合对数运算即可求解
【详解】函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递减，
所以在上是减函数，
，即，
所以，
所以，
所以，即实数a的取值范围为.
故选：.
10．（2024·宁夏·模拟预测）已知定义在上的奇函数满足：，且当时，（为常数），则的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】D
【知识点】对数函数的概念判断与求值、由奇偶性求参数、由函数的周期性求函数值
【分析】首先根据其为奇函数，从而得，解出值，再根据其周期计算即可.
【详解】因为在R上的奇函数，所以，解得，
所以，
因为，所以的周期为6，
所以.
故选：D.
二、多选题
11．（2024·陕西宝鸡·二模）已知函数，则（ ）
A．在0,1单调递增B．y=fx的图象关于点1,0对称
C．y=fx的图象关于直线对称D．函数有两个零点
【答案】ACD
【知识点】判断指数函数的单调性、复合函数的单调性、求函数零点或方程根的个数
【分析】先求出函数的定义域，然后将函数利用对数的运算变形，再利用复合函数的单调性的判断法则以及二次函数的性质依次判断A,B,C即可；分析函数与函数的单调性结合图象的交点，即可判断函数零点个数，从而判断D.
【详解】函数定义域为，又，
令，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又为单调递增函数，
所以在上单调递增，在上单调递减，故选项A正确；
因为函数的对称轴为，则函数关于直线对称，故选项B错误，选项C正确；
因为，所以函数，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又函数在上为增函数，
则函数与函数在平面直角坐标系中的图象如下图所示：
故函数与函数在区间上有两个交点，即函数有两个零点，故D正确.
故选：ACD．
12．（2024·贵州铜仁·模拟预测）设是定义在上的偶函数，且对于恒有，已知当时，，则下列判断正确的是（ ）
A．的周期是2
B．在上递减，在上递增
C．的最大值是2，最小值是1
D．当时，
【答案】ACD
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用
【分析】由即可判断A选项；利用和函数的对称性可判断B，C的正误；结合周期性和奇偶性可求当时，，故可判断D的正误．
【详解】对于A，对于恒有，则的周期为2，故A正确；
对于B，时，，，则函数在上是减函数，
因为且为偶函数，故，故的图象关于对称，
函数在上是增函数，结合的周期为2可得在上是减函数，故B不正确；
对于C，由B的分析可得在,的最大值是，
最小值为，结合函数的周期性可得的最大值为2，最小值为1，故C正确；
对于D，设，则，故，故D正确．
故选：ACD．
13．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数的定义域为R，且，的图象关于对称.当时，，若，则下列说法正确的是（ ）
A．的周期为4B．的图象关于对称
C．D．当时，
【答案】AB
【知识点】函数周期性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值
【分析】由已知可得，结合，可求周期判断A；由已知可得的图象关于2,0对称，结合对称性与周期性可得的图象关于对称，判断B；由已知可得，，结合已知可求判断C；利用对称性可求当时，的解析式判断D.
【详解】因为的图象关于对称，所以，
又，所以fx=-fx+2，所以fx+4=-fx+2=fx，
所以的周期为4，故A正确；
因为的图象关于对称，所以的图象关于2,0对称，
因为，所以关于对称，所以的图象关于对称，
又的周期为4，所以可得的图象关于对称，故B正确；
因为关于对称，所以，
又的图象关于对称，所以，所以，
，
又，所以，解得,
所以当时，，
，故C错误；
当，则，
因为，所以，故D错误.
故选：AB.
【点睛】思路点睛：本题解题思路在于利用函数的对称性及相关条件推断出函数具备的轴对称和中心对称的特征，再利用对称性推断结论，得到相关点的函数值，确定参数值，得到函数的解析式，再利用函数对称性求出相应解析式.
三、填空题
14．（2024·四川泸州·一模）已知函数，对任意实数，方程有解，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】求对数函数在区间上的值域、研究对数函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数、函数不等式恒成立问题
【分析】根据题意知的值域为R，由对数函数的性质及分段函数形式确定在上的单调性和界点值范围，即可得参数范围.
【详解】由题设的值域为R，而在上递增，且值域为，
所以在上的一次函数也递增，且，
则.
故答案为：
15．（2024·内蒙古赤峰·三模）已知函数 （且）， 若有最小值， 则实数a的取值范围是 .
【答案】
【知识点】根据对数函数的最值求参数或范围、根据分段函数的值域（最值）求参数
【分析】利用单调性确定最小值后可得．
【详解】是减函数，在时最小值是，
若，则是减函数，时，，没有最小值，不合题意，
时，是增函数，因此要使得取得最小值，则，解得，
故答案为：．
16．（2024·广东广州·三模）函数，其中且，若函数是单调函数，则a的一个可能取值为 ．
【答案】4（答案不唯一）
【知识点】根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参数
【分析】根据题意，在R上单调递增，根据分段函数单调性列式求解.
【详解】因为且，若函数是单调函数，结合二次函数可知：在R上单调递增，
，解得.
故答案为：4（答案不唯一）.
17．（2024·河北秦皇岛·三模）已知奇函数的定义域为，，且，则在上的零点个数的最小值为 .
【答案】9
【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、求函数零点或方程根的个数
【分析】由结合是奇函数可求出的周期为3，即可求出，再由的对称性和周期性可得.
【详解】由，可得的图象关于点对称，
又是奇函数，所以，
则的周期为3，所以，
，
而，则.
故在上的零点个数的最小值为9.
故答案为：9.
四、解答题
18．（2024·四川德阳·一模）已知函数的定义域为，
(1)若，求函数的值域；
(2)若，且，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求对数型复合函数的定义域、求对数型复合函数的值域
【分析】（1）当时，先求内层函数的值域，进而再求函数的值域即可；
（2）由对数函数定义域可知方程的两根分别为，利用韦达定理可得，，代入化简即可求解.
【详解】（1）当时，由解得，
令，当时取最大值，
所以，从而的值域为.
（2）由于，且，
所以方程的两根分别为，且，，
又，即，
将，代入整理得
，
从而，
所以
即实数的取值范围为.
19．（2024·山东·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且．
(1)求函数的解析式；
(2)是否存在正实数m，n，使得当时，函数的值域为．若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，
【知识点】根据函数的最值求参数、由奇偶性求函数解析式、根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、指数式与对数式的互化
【分析】（1）根据函数是偶函数及即可求解；
（2）根据函数的单调性，将问题转化为方程有两个不相等的正根，再利用根与系数的关系即可求解.
【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数，
当时，，且，
所以，解得，
所以当时，，
当时，，所以，
所以函数的解析式为.
（2）假设存在正实数满足题意.
因为当时，，
所以函数在上是增函数，
所以，即，
所以是方程的两个不相等的正根，
所以，且，
所以,所以,
所以存在正实数，使得当时，函数的值域为.
20．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的值域；
(2)若不等式在上恒成立，求的取值范围；
(3)当时，函数的值域为，求正数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【知识点】根据值域求参数的值或者范围、求指数型复合函数的值域、根据二次函数零点的分布求参数的范围、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）求出函数式，结合指数函数、二次函数值域求解即得.
（2）变形给定不等式，按分段讨论求出的范围.
（3）利用函数的单调性求出给定区间上的值域，结合已知转化为一元二次方程有两个不等的正实根求解即得.
【详解】（1）依题意，，
由，得，则，
当，即时，；当，即时，，
所以函数在时的值域为.
（2）不等式，
当时，；
当时，，则恒成立，
又在上递减，在上的值域为，因此；
当时，，则恒成立，
又在上递减，在上的值域为，因此，
所以实数的取值范围为.
（3）当时，在上单调递增，
又当时，值域为，
因此，即，
则是关于的方程，即的两个不相等的正根，
则，解得，
所以正数的取值范围为.
21．（23-24高三上·浙江杭州）已知函数满足．
(1)求函数的解析式；
(2)若关于x的方程恰有四个不同的实根，求实数k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数方程组法求解析式
【分析】（1）构造等式，即可解得的解析式；
（2）对k的符号分类讨论，其中时，由参变分离可得恰有四个不相等的实根，结合对勾函数性质数形结合讨论即可.
【详解】（1）由题意得：，∴，
解得；
（2）i.当时，明显无解；
ii.当时，只有一个实根，不符合条件；
iii.当时，恰有四个不相等的实根.
∴与共有四个不相等的实根.
∴解得或，∴或，
∴实数k的取值范围是．
22．（23-24高一上·云南昆明）已知函数为奇函数．
(1)求常数的值；
(2)当时，判断的单调性；
(3)若函数，且在区间上没有零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)单调递增
(3)
【知识点】对数型复合函数的单调性、根据函数零点的个数求参数范围、由奇偶性求参数
【分析】（1）根据奇函数及对数函数的性质求参数值；
（2）令，结合对数函数的性质判断的大小关系即可.
（3）将问题转化为在区间上无解，根据右侧函数的单调性求值域，即可确定m的范围.
【详解】（1）由，即，
所以，故，则，
当时，显然不成立，经验证：符合题意；
所以；
（2）单调递增
由（1）知：，若，
则，
而，即，
所以，故单调递增.
（3）由，令，
所以，由（2）知：在上递增，而在上递减，
所以在上递减，则.
又在区间上无解，故
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