安徽省歙县中学2024-2025学年度高三上学期期中考试数学测试卷（试卷+完整解析）

这是一份安徽省歙县中学2024-2025学年度高三上学期期中考试数学测试卷（试卷+完整解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x=2k+1,k∈Z}，集合B={x|x=4k+1,k∈Z}，则A∩B=( )
A. BB. A
C. {x|x=8k+1,k∈Z}D. {x|x=6k+1,k∈Z}
2.已知复数z满足|z−1−i|=1，则|z+i|的最大值为( )
A. 2+1B. 5+1C. 2 2+1D. 2 5+1
3.已知a=(34)−13，b=lg4，c=lg32，则( )
A. a>b>cB. a>c>bC. c>a>bD. c>b>a
4.已知△ABC中，AB⋅AC=4，|AB|=4，∠BAC=α，且csα=12，则|AC|的值为( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3+a8=8，a5=3，则S20=( )
A. 220B. 240C. 260D. 280
6.在(x− 2)2024的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x= 2时，S等于( )
A. 23035B. −23035C. 23036D. −23036
7.已知抛物线M：y2=4x，圆N：(x−1)2+y2=r2(其中r为常数，r>0).过点(1,0)的直线l交圆N于C、D两点，交抛物线M于A、B两点，且满足|AC|=|BD|的直线l只有三条的必要条件是( )
A. r∈(0,1]B. r∈(1,2]C. r∈(32,4)D. r∈[32,+∞)
8.若函数f(x)=xex−x−lnx+a−2有两个零点，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,1]B. (−∞,0]C. (−∞,0)D. (−∞,1)
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.某类汽车在今年1至5月的销量y(单位：千辆)如表所示(其中2月份销量未知)：
若变量y与x之间存在线性相关关系，用最小二乘法估计建立的经验回归方程为y =0.85x+1.45，则下列说法正确的是( )
A. m=3.1
B. 残差绝对值最大为0.2
C. 样本相关系数r0,b>0)的左、右两支分别交于点A，B，l2//l1，直线l2与E的左、右两支分别交于点D，C，AC交BD于点P，若点P恒在直线l：y=−3x上，则E的离心率为_________．
13.甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛11分制，若比分打到10：10时，需要一人比另一人多得两分，比赛才能结束.已知甲赢得每一分的概率为34，在两人的第一局比赛中，两人达到了10：10，此局比赛结束时，两人的得分总和为n，则此时的概率P(n)=__________．
14.由函数f(x)=lnx图象上一点P向圆C：x2+(y−2)2=4引两条切线，切点分别为点A、B，连接AB，当直线AB的横截距最大时，直线AB的方程为________，此时cs∠APB=_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且ab=csA2−csB．
(Ⅰ)求ac；
(Ⅱ)若b=4，csC=14，求△ABC的面积；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，求cs(2C+π3)的值．
16.(本小题15分)
流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利一些病毒繁殖和传播，科学测定，当空气月平均相对湿度大于65%或小于40%时，有利于病毒繁殖和传播．下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度
(Ⅰ)从上表12个月中，随机取出1个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率；
(Ⅱ)从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X，求X的分布列；
(Ⅲ)若a+b=108，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，求M的最大值和最小值．(只需写出结论)
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，AB/​/CD，AB⊥AD，AP⊥DP，CD=3AB=3，AD=2AP=4，PB= 5，AD=4AE，连接BE，CE，PE．
(1)求证：平面PBE⊥平面PCE；
(2)求直线CE与平面PCD所成角正弦值的大小．
(本小题17分)
已知常数s>0，向量a=(0,1)，b=(s,0)，经过点A(s,0)的直线AD以λa+b为方向向量，经过点B(−s,0)的直线BD以λb+4a为方向向量，其中λ∈R．
(1)求点D的轨迹方程，并指出轨迹E．
(2)当s=3时，点A为轨迹E与x轴正半轴的交点，过点T(6,0)的直线l2与轨迹E交于P、Q两点，直线AP、AQ分别与直线x=6相交于M，N两点，试问：是存在定点R在以M、N为直径的圆上？若存在，求出R的坐标；若不存在，请说明理由．
(本小题17分)
对于各项均为整数的数列{an}，如果满足ai+i(i=1,2,3,…)为完全平方数，则称数列{an}具有“P性质”；
不论数列{an}是否具有“P性质”，如果存在与{an}不是同一数列的{bn}，且{bn}同时满足下面两个条件：①b1，b2，b3，…，bn是a1，a2，a3，…，an的一个排列；②数列{bn}具有“P性质”，则称数列{an}具有“变换P性质”．
(Ⅰ)设数列{an}的前n项和Sn=n3(n2−1)，证明数列{an}具有“P性质”；
(Ⅱ)试判断数列1，2，3，4，5和数列1，2，3，…，11是否具有“变换P性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列{bn}，不具此性质的说明理由；
(Ⅲ)对于有限项数列A：1，2，3，…，n，某人已经验证当n∈[12,m2](m≥5)时，数列A具有“变换P性质”，试证明：当n∈[m2+1,(m+1)2]时，数列A也具有“变换P性质”．
答案详解
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x=2k+1,k∈Z}，集合B={x|x=4k+1,k∈Z}，则A∩B=( )
A. BB. A
C. {x|x=8k+1,k∈Z}D. {x|x=6k+1,k∈Z}
【答案】A
【解析】解：因为集合A={x|x=2k+1,k∈Z}是全体奇数，
B={x|x=4k+1,k∈Z}是除以4余1的奇数，
则B⊆A，
所以A∩B=B．
故选：A．
判断集合A，B的关系，再利用交集的定义求解即得．
本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．
2.已知复数z满足|z−1−i|=1，则|z+i|的最大值为( )
A. 2+1B. 5+1C. 2 2+1D. 2 5+1
【答案】B
【解析】解：由|z−1−i|=1为复平面内复数z对应的点Z的轨迹是以点C(1,1)为圆心，1为半径的圆，
|z+i|是点Z到点A(0,−1)的距离，则|AC|= (−1)2+(−1−1)2= 5．
故|z+i|的最大值为 5+1．
故选：B．
根据给定条件，利用复数模的几何意义，结合圆的性质求出最大值．
本题考查复数模的几何意义，考查圆的性质，是基础题．
3.已知a=(34)−13，b=lg4，c=lg32，则( )
A. a>b>cB. a>c>bC. c>a>bD. c>b>a
【答案】B
【解析】解：0=lg10)的左、右两支分别交于点A，B，l2/​/l1，直线l2与E的左、右两支分别交于点D，C，AC交BD于点P，若点P恒在直线l：y=−3x上，则E的离心率为__________．
【答案】 7
【解析】解：如图所示：
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4)，P(x0,y0)，
AB的中点M(xM,yM)，CD的中点N(xN,yN)，
则x12a2−y12b2=1x22a2−y22b2=1，两式相减，得x12−x22a2−y12−y22b2=0，化简得y1+y22x1+x22⋅y1−y2x1−x2=b2a2，
所以b2a2⋅xMyM=y1−y2x1−x2=−2，所以yM=−b22a2xM①，同理yN=−b22a2xN②，
因为AB/​/CD，所以P，M，N三点共线，所以yM−y0xM−x0=yN−y0xN−x0，
将①②代入得−b22a2xM−y0xM−x0=−b22a2xN−y0xN−x0，即(xM−xN)(b22a2x0+y0)=0，
因为xM≠xN，所以b22a2x0+y0=0，即点P恒在直线y=−b22a2x上，
又点P恒在直线l：y=−3x上，所以−b22a2=−3，所以b2a2=6，
所以双曲线E的离心率为e=ca= 1+b2a2= 7．
故答案为： 7．
设出各点的坐标及中点坐标，代入双曲线作差得yM=−b22a2xM，yN=−b22a2xN，利用三点共线表示点P的坐标，代入已知直线方程得−b22a2=−3，即可求出离心率．
本题考查双曲线的性质，涉及中点弦问题，常采用点差法，属于中档题．
13.甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛11分制，若比分打到10：10时，需要一人比另一人多得两分，比赛才能结束.已知甲赢得每一分的概率为34，在两人的第一局比赛中，两人达到了10：10，此局比赛结束时，两人的得分总和为n，则此时的概率P(n)=_________．
【答案】1016(38)n2−11,n=2k,k≥11,k∈N0,n=2k−1,k≥11,k∈N
【解析】解：因为比赛结束时，两人的得分总和为n，其中且两人的得分的差的绝对值为2，
所以n≥22，且n为偶数，
所以当n=2k−1，k≥11，k∈N时，P(n)=0，
当n=22时，P(n)=(34)2+(14)2=1016=58，
当n≥24，且n为偶数时，
若甲赢得比赛，则最后两局比赛甲胜，余下比赛中，第21球开始，奇数球与其之后的偶数球均为甲乙一胜一负，
所以事件甲赢得比赛的概率为(2×34×14)n2−11(34)2=(38)n2−11(34)2，
同理乙赢得比赛的概率为(2×14×34)n2−11(14)2=(38)n2−11(14)2，
所以P(n)=916(38)n2−11+116(38)n2−11=1016(38)n2−11，
n=22时，P(n)的值也符合关系P(n)=1016(38)n2−11，
所以P(n)=1016(38)n2−11，n=2k，k≥11，k∈N，
故答案为：1016(38)n2−11,n=2k,k≥11,k∈N0,n=2k−1,k≥11,k∈N．
由条件分析n的特点，讨论n，结合比赛流程及概率乘法公式分别求甲赢得比赛的概率和乙赢得比赛的概率，相加可得结论．
本题解决的关键在于认真审题，分析事件的特征，选择适当的概率运算公式求解，是中档题．
14.由函数f(x)=lnx图象上一点P向圆C：x2+(y−2)2=4引两条切线，切点分别为点A、B，连接AB，当直线AB的横截距最大时，直线AB的方程为_________，此时cs∠APB= _________．
【答案】ex−y−2=0 e2−7e2+1．
【解析】解：设点P(t,lnt)，则以线段PC为直径的圆的方程为x(x−t)+(y−2)(y−lnt)=0，
整理得x2+y2−tx−(2+lnt)y+2lnt=0，与圆C：x2+(y−2)2=4相交，得直线AB：tx+(lnt−2)y−2lnt=0，
令y=0，解得x=2lntt，令g(x)=lntt，则g′(x)=1−lntt2，
令g′(x)>0，解得0